La formule (LXXIe) donne ensuite
sn(M, l) =
2o4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
En appliquant les formules de transformation (XLVII3), on a donc
, , .^■(fL)^'(fL).
sn(tt, l) = ^
^'HfL)Hn)'
mais, en vertu de la valeur trouvée plus haut pour L et des formules (LXXIe-g), on a
en
donc
sn r-, en
sn(M, l) = -—
dn
k Comme nous venons de voir (LXXXI,) que — est égal à \ -\-k' ,
on a donc enfin
sn rp en p
(LXXXII,) sn(u, /) = (! + A:') — ^— ^^^^—
dn "
On est amené ainsi à cette conclusion : si la fonction /(m) vérifie l'équation différentielle
la fonction
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3" ET DES FONCTIONS S. 2o5
vérifiera l'équation difTérentielle
et c'est ce que le lecteur constatera en effet sans peine.
On trouve de même, en tenant compte des formules qui donnent y//, ^/l' en fonction de k et de k',
dn* — — k' I — (i H- A') sn^
, , / ,v \ -h k' ' i^ k' (■2) cn( u,l)= = -i
(i — A- ) an T-, an
(Lxxxii) ;
dn2— ^-)-A' i(i A-')sn2 "
(3) dn(M, /)= — =
(H- a: ) dn j-, dn
La transformation que nous venons de considérer est dite transformation de Landen.
329. Le cas où l'on remplace w,, (03 par w,, -^, ou t par -, se
traite de la même façon au moyen des formules (XLVIIl); nous nous contenterons d'inscrire les résultats.
Si l'on désigne ici par y/X et y/)7 les quantités cp-(-|, '}-(-) et parE, , e'^ les quantités (XXIV5); si enfin l'on pose
(3) A = loiv/fii — e's = ^â-Ho^j,
Il 2K
(LXXXIII5) M^ ^^' ^'
on aura
(I) s/l = sfl *^^
et (LXXXIIIs)
d'où (LXXXIII)
Sr^ro
(3) A = (n-/OK=^,
330. On aura aussi en faisant usage des formules (LXXl6 8) (i) sn(j<, X) = (n- A) -
A-sn2
(2) cn{u,\)
(3) cln(tf, X)
en r dn r
I + A sn2 I — A sn2 -
