Les formules de transformation quadratique des fonc
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS j ET DES FONCTIONS &. 207
lions 2r, à l'aide desquelles nous venons d'établir les formules de Landen et de Gauss, permettent aussi, comme l'a montré M. Hermile ('), d'obtenir des développements pour les fonctions elliptiques sn, en, dn, dont l'importance a été mise en pleine lumière par l'illustre auteur.
Les formules
h{v)'^-Av)
2ri((^)xr3(p)
2r2(p)2ri(p) = J-"^^ qi
dont les deux premières sont identiques à deux des formules (XLVII3), dont les deux suivantes sont identiques à deux des formules (XLVIII3), et dont les deux dernières se déduisent des précédentes par le changement de t en t+ i, donnent immédiatement, par de simples divisions et en tenant compte de la définition des fonctions o(t), '}(':), d'une part, les relations
v/^ &7ii U7-ii ^ A?^^ '
(') Comptes rendus, t. LVII, p. 996, et dans son Mémoire : Sur quelques formules relatives au m.odule dans la théorie des fonctions elliptiques {Journal de Liouville, 2« séi-ie, t. IX, p. 3i3).
cn« = —r=
(\nu = ^k
= gS ^(x)
iK
et, d'autre part, les relations
sn M = — =
Cp3(x)
(JL
v/P ^Ki)^'(A
iSr,
^'^^kJ^U^k
jf\ //f q\
dn u = v/f'
^■'^K)MA)^,,^^-.--(Ar-?^)
^'ià
Par un groupement convenable des termes des séries (XXXII, .,) qui définissent les fonctions 2r,, STo? ^3, ^a, on peut déduire de ces six relations les développements donnés par M. Hermite.
En remarquant que, si l'on change x en » q devient «\/^'
on a, par exemple, pour le développement de la fonction
Sr, (— jT ) qui figure aux numérateurs de la première et de
la dernière des six relations,
"Ki ~^ 4/1 (/! + 11 + 1
= 26» 2^{—\)i q « sin(2/H-l)— ,
OU, en séparant les termes de rang pair et ceux de rang impair,
2 -.v(2v-,)^v(2v-i)+î sin(4v -I) ^
— 1 ,^ = 2^8 ^» 7 (— i)^5'^(«v+»'sin(iv-l-i)^,
OÙ dans la dernière somme l'indice v prend toutes les valeurs entières de — 00 à +00.
On a ainsi les développements
^ 2(,)v^v'2v+.)sin(4v + .)^
I /~ « V sriM = — — - Kiiq*
^^ '' > (— lj''gr2v' C0S2V —
T. et M. — IL 14
CilM = — — - ^1 q
V g,v(2v+i) cos(4v + 0 rF
^^ ■ > (— i;Vgr2V- C0S2V -r^
y ^vvi2v+i)sin(4v + i) ~
dnn = <l^('r)
> (— r)V5rV(2V+l) C0S(4V -t- l) —
y (-iy'<7v(2v+i)sin(4v + i) ^ y ^vi2v+i)sin(4v-i-[) ^
332. Pour u = o, les développements de cn^^ et dnu donnent, eu prenant préalablement les dérivées par rapport à u des numérateurs et dénominateurs des derniers membres qui se présenteni sous la forme J- ,
y<yv(2v+-i) y 2(4v4- i)^v/(2v+i)
I = -4— ^ /a g* = -Vt-t V 2 '7^ ■ '
y ^V(2V+-1) y ( l)V(4v + l)gV(2V+-l)
> ( i)V ^yV(2V+l) y, (4''-^ I) gV(2V+l)
on a donc, pour les fonctions modulaires 'f (t), ^('^), 'fH"^)» '}^(')' les développements
y (l)VgV{2V+l)
2^(-.)Vg2v^
y/A-3 = o3(z) = s/%ql
dont les deux premiers ont été déduits par Jacobi des développements en produits infinis, qui nous ont servi de définition pour les fonctions ç(t) et •}(t).
333. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de sn(2?^), cn(2w), dn(2f/) en fonction de snw, cnw, dn«,
l , 2 sn H en II dn u
