I . \ -^-.-^21 ( W3+ — Wi
^,C03)=blC03jJ
ou, en tenant compte des formules (LX/,), pour t^ = — 10,, a = 3, ^ = 2, Y = I et des formules (XXXVII4, XIII4),
ou encore
(LXXXVI,) ^ = ^"I1^?2(^^>)' (/' = r„ />.... ,r„,)
yr)
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS O" ET DES FONCTIONS 2r, "2 17
puis
V t /wi 1 "1 \ c ^'1~l \ ^ /
(/■ = /-,, r.2, ..., r„i) OU, toujours en tenant compte des formules (LX4) et (XXXVlIs),
^ /2 7--t-I — rt \
Si l'on observe que l'on peut ajouter sans inconvénient 2to, à l'argument de ^os" et que ^23(0) est égal à un, on voit que le second membre peut s'écrire
(r') ?|:i ( ^ Wl
OÙ Z prend n valeurs entières assujetties seulement à celte condition que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par n; on peut donc, en reprenant nos notations habituelles, écrire
(LXXXVIO ^' = ^''^ JX;l2(^w,V (/' = ri, r,,..., /•„,)
(ri \ * /
ou
Formons encore la quantité y/E, — E3 ; rappelons-nous que l'on
a(LXO
\/ei — É-3 = ^3oWi; on en conclura
v/ei-E3 V'il^. / \«/AA f h' \,A
•^ (r) Us \ "^ '^M
ou, en donnant à r les valeurs
2l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et en observant que la dernière valeur de ;* met en évidence le facteur ^os^i = - on trouve, après quelques réductions
immédiates,
(LXXXVI,). M = ^à^^ = TT -^ L
Si l'on admet, comme on le montrera plus tard, que la quantité
p ( ;■ — J , où r est un nombre entier, est une fonction algébrique
de e,, 621 63, il sera évident par les formules précédentes que les quantités /, /', M sont elles-mêmes des fonctions algébriques de 6i) ^2, 63 j ou, si l'on veut, de 64 et de A; mais il est manifeste que <?, ne doit pas y figurer; en effet, les quantités /, /', M, de même que k et A-', ne dépendent que de x, en d'autres termes, ne changent pas quand on multiplie to, , 0)3 par un même nombre m ; mais alors
e, est multiplié par — ; par conséquent/, V , M sont des fonctions algébriques de k seul 5 en d'autres termes, il existe une équation algébrique entre / et />:, et une équation algébrique entre M et k. Ces équations sont dites respectivement équation modulaire et équation au multiplicateur .
339. Il suffit de se reporter aux foi-mules de passage des fonctions \ aux fonctions sn, en, dn pour obtenir les expressions de sn(M, /), en (m, l), dn(w, /); on obtient tout d'abord pour les constantes
v/ej — E3
snM^^^^K
„2rK
sn2
OU encore
(LXXXVfs) M = TT
cn^a,.,o
7=1 Maintenant, la première des formules du n° 336, en y supposant
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS rf ET DES FONCTIONS 2r. 219
a = 3, donne
■ sn(?<v/Ei — E3, /)
v/ei — E3
OU, en remplaçant u par
v/^i — t'a (LXXXVII.) sn (ii, /) ^ ±sn« JJ.^"^"^^'-'"^
sna,.,o De même
340. Dans ces diverses formules, /• doit prendre les valeurs /•,, /o, ..., r,i-\ ; on les transforme aisément en supposant qu'il prenne les valeurs
les divers produits qui figurent dans les seconds membres se présentent alors comme des fonctions rationnelles de sn^M; en particulier pour sn ( — > /j, le résultat auquel on parvient est naturellement le même que celui qui résulte immédiatement de la première des formules du n° 337, pour a = 3, savoir :
(LXXXVIIO «n(|'0=M«n"nT
On voit ici apparaître un phénomène analytique sur lequel nous avons appelé déjà plusieurs fois l'attention; y étant une fonction de u qui vérifie l'équation différentielle
2SiO CALCUL DIFFERENTIEL.
il existe une fonction rationnelle z de y qui vérifie l'équation différentielle
M et / étant des fonctions algébriques de k. On a de même
dn2a,.,o ,
(5) en — , / = cnu I I 7-; — ~ — ,
(LXXXVII) l ^ i /,2 ^!l!^?;z^i! sn2 „
(6) àn(^,l)=dnuT\ ,/";"--° , ,
^ ^ \M / 11 I — /c2sn2a;.osn2M
341. C'est des formules relatives aux fonctions l, ou plutôt aux fonctions a", que nous avons déduit les formules de transformation des fonctions sn, en, dn^ il va de soi qu'on aurait pu partir tout aussi bien des formules de transformation relatives aux fonctions 2r; nous ferons même observer que ce mode de calcul, que nous laissons au lecteur le soin de développer, présente, relativement au calcul des modules transformés /, /', un avantage : il permet d'obtenir y/7, y//', avec leur signe; on a en
effet, par définition,
• ,j ^ Sr2(o| ni) ^ /- Sr^fol nz) ^
&3(o|nT)' ^ ~ S3(olnx)'
et par conséquent (LL, )
(r = ri,r^, ...,/'„i)
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3" ET DES FONCTIONS 3f. 221
OU
(,.xxxv..) /7=(„^'(/x-)"nss::'
(LXXXVIO v//' = (v^)"I^^^^' (/• = A-,, /■,,...,/•„,). En se reporlant à la valeur de M, on trouve enfin
342. Les fonctions snf^j) /Lcnfjr.» l],dn(^, l\ s'expriment aussi par des sommes de fonctions sn, en, dn, dont le module est A". Nous parviendrons plus tard à ces expressions par une voie très simple et presque sans calculs; mais il est intéressant d'observer qu'on peut les déduire, dès maintenant, des formules (LXXXVIl4 c) en décomposant en fractions simples les fonctions rationnelles, regardées comme des polynômes en sn^(u,k), qui représentent les fonctions
^"(m'O ""(sï'O ''"(m'O > > — -j •
sn u en u anu
Le dénominateur commun de ces fonctions rationnelles de sn'^(M, k) n'a que des racines simples, comme on le reconnaîtra lacilement en se reportant au n° 310. On a donc
/ u ,\ HÏX- u
sn — ' * ' — ^ r>
y iVl / ^ TT sn^CT,.,o ^ ^ ^ V ^
sn tf XJL I — X:^ sn-M sn^a,. y ^à i — k^ sn^u sn^Ur^o'
Le calcul des coefficients B^se fait d'après les règles ordinaires;
222 CALCUL DIFFÉREMIEL.
on trouve (' )
2/fM2
( — i)'B,. = — - — cna,.,o (ln«,.,o;
puis, en tenant compte de la dernière forme sous laquelle on a
mis M,
A-IVÏ2 A == -- .
En faisant usage de la formule d'addition (LXXIITj) et après quelques réductions immédiates, on a enfin
(LXXXVII7) sn (|-, /) = ^^ ^su{u-^-xa,.^,),
343. On parvient au même résultat en observant que la relation (LXXXVII/, ), que l'on peut écrire, en posant ^ = sn («, A)
ety = sn(^^, /j,
a lieu identiquement en u et t. Or, si l'on change dans cette relation u en II -\- lar^Q, où ;• désigne l'un des entiers 1, 2, ..., /i ^ 1 ,
la quantité ^ est remplacée par — -^ /\r\^ : donc l'expression
ne change pas. La relation (i), envisagée comme une équation de degré n en x, admet donc les n racines
37 = sn ( ?f -H 2 a,.,o ), ( /' = o, i , 9., . . . , /t — 1 ) ;
ces II racines sont distinctes : on le déduit aisément de la forme générale des solutions de l'équation sn^ = sna (n°310); on a, par suite, identiquement en x,
(') Les calculs sont développés dans Enneper : Elliptische Funclionen, p. Sog.
En égalant les coefficients de x"~* dans les deux membres, on a donc
d'où, en tenant compte de la valeur trouvée au n" 341 pour M,
JK = sn Uj, Ij = — ^ sn(M + 2a,.,o).
On a donc aussi
De même, on a
(8) ^Mm'^
A-xM
^^cn(if4- 2a,.,o),
(LXXXVII) i
ir)
344. La substitution des demi-périodes (w,, — j aux demipériodes (i)|, W3 donne lieu à des formules toutes pareilles sur la déduction desquelles il semble inutile d'insister : nous désignerons par e', , E^, e'j, a, )/, A, A' les quantités qui remplacent alors e,, *?2j 63, A, k', K, K'; nous poserons aussi
v/K;-K; = ,ï,o(a>.lco.,^) = ^^t(«j^)'
/e, — es
de sorte que l'on a
(6) A = ^S^o ^j = tOiv/E', — e;
(y) A'= 1 ^ A ' ^ ni
