IJ-.V

OÙ les indices [jl, v parcourent les valeurs [ji = o, i, 2, ..., n — I ; v= 0,1,2, . . . , n — i . Les seconds membres de ces dernières formules ne changent pas quand on y remplace pi par [x + n OU V par y -i- n; ces égalités restent donc vraies quand les indices [JL et V parcourent les valeurs u.^ Tq, rt, r.2, . . . , r„, ; v = r^, r\ , /•[,, . . . , r'^i i, les n valeurs que prend tx étant incongrues (mod. n), de même que les n valeurs que prend v.

Le lecteur ne manquera pas de remarquer que l'on aurait pu

?" se débarrasser de la même façon du facteur ( — i)"' dans plusieurs

des formules précédentes.

348. Pour obtenir les expressions desn(«w), en (nu), dn(nu) en fonctions rationnelles de sn^u, il suffît de prendre, dans les formules (XG)3), pour les nombres o,ri jTo, ..., r„ ,, les nombres o,

zh/'i, riz /'a, ..., zh /•„, et d'appliquer les formules (LXXIV).

On obtient ainsi, pour la fonction sn, la relation

/ x^sn(«M) / /TN/i'-iTT 9 TT 'sn2a„v

où l'indice tx prend les valeurs o, /•,, /'a, . . . , r„__i et où, à la valeur p. = o, correspondent les valeurs v = /', , z^, . . . , /■„!, tandis

qu'aux valeurs jji = r, , /•.,, •--, /•„! correspondent les valeurs

V z= o, ± /•, , ± /-a, . . . , ijz r^__i .

Pour u = o, on en déduit l'égalité

(XQ)

on a donc

(XGO

sn(na) = « sni<

sn^Ofiv

A-2 sn2a„ ^ sn2«

On a de même, par un calcul tout semblable ('),

(XC5) cn(/i«) = cnjiTT ,, c^^^tA.v

et

(XG9) (/A-'r"'=l][dn2«!i.,v,

(XCe) cln(wi<) = dnw I I -

dn^a

A"2 sn^ajj^^ sn^M > = o, V = /'i, /'a, ...,r„i

(!Ji-,V)

y [X = /-i, /-s, ..., /•„!, V = 0, zt A-1, ziz/-,, ..., =f «-J /