XXX II

{■ibis) p3(^)= ^q-'-Z^-'^.

i^bis) ?4(^)= ^{-i)nqn'-^2n^

on a manifestement

pi(s)=2r,(p), p^{z)='^i{v), P3(^) =.%((;), p4(z) = 2r4(p).

En remplaçant, dans les formules (XXXIII) 4) S, (p), 3^2(t^)5 2^3 (p), 2r.i(t^), respectivement par pi(5), 00(5), p3(s), p4(-5) et a'w, a*) w, a'2 M, a'3 w parles produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la variable 5, on obtient les relations

(5 bis) p,(z;=2g'o^^^^J[J(i— ?2"^-2)Q(i-?2«^2^,

(6 6«) p2(z)=2gro^^^^^^JJ(H-g'2«3-2)JJ(l + ^2«^2^^

(76/5) P3(2)=3'o JJ(« + 2'^«-*5-2) JJ(i + 3'-"-*2')»

n = « n = oo

dont nûus ferons usage dans un instant.

164. Les fonctions S, (t^), 2ra+i(^') qnenous venons de définirai dont nous avons établi le lien avec les fonctions c'a, d^u diffèrent

20 C4LCUL DIFFÉRENTIEL.

profondément de ces fonctions par la façon dont y sont engagées les périodes, qui dans les fonctions B n'entrent plus que par leur /^apport. Les séries Irigonométriques (XXXIIj 4), qui représentent ces fonctions, sont très élégantes : elles sont précieuses dans les applications numériques à cause de leur rapide convergence. Les fonctions 2r jouent d'ailleurs un rôle essentiel dans des recherches importantes d'Analyse, d'Algèbre et d'Arithmétique. Nous allons, dans les pages qui suivent, développer les propriétés fondamentales de ces fonctions.

Plusieurs de ces propriétés se déduisent immédiatement des propriétés correspondantes des fonctions o'm, a'aW. On reconnaît ainsi très facilement quels sont les zéros des fonctions 2r, si elles sont paires ou impaires, ce qu'elles deviennent lorsqu'on remplace w par m +20),, ^+2003, t^ + to,, i^ + (03, ce qui revient à remplacer ç par (^ + 1, v -hz, v -\ — ? v -\ — ; le changement de II en u — (O2 donnerait les formules relatives au change-

ment de p en (^ H On peut ainsi obtenir toutes les formules (XXXIV).

Le Tableau qui suit

(XXXIVi)

donne les valeurs de v qui annulent les diverses fonctions S; ces valeurs ont été placées au-dessous de la fonction correspondante; il est sous-entendu qu'on peut leur ajouter un nombre de la forme m-\- nz, m el n étant entiers.

Les formules

'çt+\

n'ô*ït pas besoin d'exp^lication.'

Les formules

(XXXI Va)

STs^i^ + ^W 2r4(p),

s'obtiennent de la façon la plus aisée, sans passer par les fonctions a", en parlant des séries trigonométriques; elles mettent en évidence, comme ces dernières, la périodicité des quatre fonctions 2».

Les formules

2r,r(. + T)=-A3ri(f),

%{i' + 'z)=-A%iv),

2sJv+-)= B%{ç),

^J,^-i-l) = iB%iv),

(XXXIVe)

B = ^ * e-iT^"

peuvent se déduire des formules (XXXII, 4 ns) légèrement modifiées. Si l'on y remplace q el z par leurs valeurs e'^^', e"^*, on ob-

tient de suite

Les quantités entre crochets dans les exponentielles sont toutes des trinômes du second degré en n qui deviennent des carrés par-

faits quand on leur ajoute la quantité — ; on peut donc écrire

It /i'- -- . / c \

or on voit qu'en remplaçant p par ^' + t et n par n — i , les exponentielles se reproduisent; en sorte que, par ce changement, le premier et le quatrième des seconds membres changent seulement de signes, tandis que le second et le troisième restent invariables. On a ainsi, par exemple,