ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D^UN CHEMIN QUELCONQUE

co.

^zoo

z — Zt

qpoo

z ^= Zi

-i-ZT

tV^^Î

» ZT

Sgn Z'p

604. Supposons que les quatre racines de Z soient imaginaires. Nous nous bornerons au cas où A est positif; nous désignerons par Zx et z^ les deux racines pour lesquelles le coefficient de i est positif, Zjx étant celle pour laquelle la partie réelle est la plus petite; ^2 6^ ^3 désigneront les racines conjuguées de -Zi et Z4. Toutes les substitutions sont imaginaires; mais il est aisé de voir que les racines e^, ea, e^ sont réelles; nous supposerons toujours ^x !>^2>^3« Nous choisirons la substitution qui correspond à la valeur 4 de p. Alors aux points Zx, Z21 ^3, ^4, oo du plan des z correspondent les points g, , ej, 00, s = jy Z^ du plan des y^ et l'on a

Les quatre points 2| , ^2) -23, z^ sont sur un cercle (c) dont nous désignerons le centre, situé sur l'axe des quantités réelles, par c, et les points d'intersection avec le même axe par P, Q; P est supposé à droite. Le cercle (c) correspond à l'axe des quantités réelles du plan des^. A l'axe des quantités réelles du plan des z correspond, dans le plan des y, un cercle par rapport auquel les points 30 et es doivent être symétriques, ainsi que les points ex ete^; c'est donc le cercle (^3) du n° 592 ; le point s est nécessairement sur la circonférence de ce cercle; soient/?, q les points de rencontre de cette circonférence avec l'axe des quantités réelles; nous désignerons par /> le point si tué à droite (entre ei etea). Quand le point j^

décrit (^^.A) l'axe des quantités réelles de — oo à -f-^oil passe successivement parles points — oo, y, e^, e^, /?, ^i, -hoo; le point correspondant z devra passer successivement par les points 54, Q, 53, ^2, P. Zsy 54 du cercle (c) : il se mouvra dans le sens direct. Les points Q, P du plan des z correspondent respectivement aux points q^ p du plan des y. Les régions du plan des z intérieure et extérieure au cercle (c) correspondent respectivement aux moitiés supérieure et inférieure du plan des y. Le point S du plan des j^ est donc sur la moitié inférieure du cercle (^3). Aux portions de coupures du plan des j^ qui vont de — 00 à ^3, de e^ à ej, de 6-2, à es correspondent, dans le plan des 5, les coupures circulaires qui vont de z^ k z^^ de z^ à Zii de z^ k Z\\ il n'y a pas de coupure entre z^ et z^. Le bord intérieur de la coupure circulaire du plan des z correspond au bord supérieur de la coupure

rectiligne du plan des y. Pour définir y/Z au moyen de y/Y, il est

commode d'avoir l'argument trigonométrique du facteur tttii — i

qui figure dans la formule (CXXXII2); des considérations faciles de Géométrie élémentaire fournissent la règle suivante : soit A le second point d'intersection avec le cercle (c) de la droite qui joint ^4 à Z] soit B le second point d'intersection de ce même cercle et de la parallèle menée par a à Taxe des quantités réelles : l'argument cherché est mesuré, en prenant pour unité le rayon du cercle (c), par l'arc qui va du point le plus haut de ce cercle au point B. On en conclut que la fonction y/Z, holomorphe dans le plan des ;; coupé, est positive pour z réel compris entre P et Q, négative pour les autres valeurs réelles de :;.

La figure ( D) du Tableau (CXXXVlll) indique la correspondance entre les variables ^ et u. Le périmètre du rectangle (R) du n° 591 fait son image sur les coupures, les segments rectilignes qui vont de ^ W3 à w, -h ^ W3 et de — ^ 0)3 à w, — :} 0)3 ont leurs images sur la moitié inférieure et la moitié supérieure de la circonférence du cercle (^3); au point s = ^^ Z* du plan des j^ correspond, dans le plan des z^ le point 00, el, dans le plan des w, un point Uo situé sur le segment qui va de 0)3 à co^ -+- ^ 0)3 ; le segment qui va de ^ Wj à Uq a pour image, dans le plan des z, la portion de l'axe des quantités réelles qui va de Q à — 00; le segment qui va de Uq à W| -f- ^ Wg a pour image la portion de l'axe des quantités

ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'UN CHEMIN QUELCONQUE. 29

réelles qui va de -f-oo à p; enfin le segment qui va de — JCO3 à à (1), — 5 (O3 a pour image la portion de Taxe des quantités réelles qui va de Q à P. Enfin, on a indiqué sur la figure par les signes (^1)^ (''2)' (^3)? i^l) '^^ régions du plan des z où se font les images des petits rectangles (r,), (r2), (ts), (r^). Ces explications suffiront au lecteur, pour établir les formules (CXXXVIII) et pour reconnaître en particulier comment on obtient les valeurs (réelles)

des intégrales de la forme / — ^ » quand z est réel et varie entre des

limites convenables. Au surplus, une autre méthode permettra bientôt d'obtenir ces intégrales, sans l'introduction de quantités imaginaires. Dans le cas où Z est bicarré et où, regardé comme un trinôme du second degré en -3^, il a ses racines imaginaires, les quatre points z^^ Z2, z^, z^ du plan des z sont les sommets d'un rectangle; le pointe coïncide avec le point u; dans le plan desjK) le point s est à l'intersection du cercle (^3) et de la parallèle menée par le point 62 à Taxe des imaginaires vers le bas.

6O0. Les résultats précédents doivent être modifiés quand le cercle (c) devient une droite, c'est-à-dire quand les quatre racines-3|, Z2j -33, 24 ont même partie réelle. Cette droite (c) est perpendiculaire [Jig' (E)] à Taxe des quantités réelles qu'elle rencontre en un point P. On prend alors pour z.^ celle des quatre racines qui, sur la droite (c), est figurée parle point le plus haut; en descendant sur cette droite on rencontre les points Zi, P, ^2, 33 et l'on emploie la même substitution; la correspondance entre les racines ^i, ^21 ^3 ^c Z et ^i, e-i^ e^ de Y subsiste. Les coupures du plan des z vont, sur la droite (c), du point z^ au point à Tinfini i vers le haut, puis de z^ au point à l'infini J vers le bas. Le point ^(1)3 a son image au point 00 du plan des 5, point avec lequel les points I, J et les points ihoode l'axe des quantités réelles doivent être regardés comme confondus. Les petits rectangles (r,), (r2), (>;,), (/•») ont leurs images dans les quatre angles formés par l'axe des quantités réelles et la droite (c). Dès lors les applications ne comportent pas de difficulté, et Ton obtient en particulier les formules (CXXXVIII:,;.

606. Lorsque le polynôme Z a deux racines imaginaires conjuguées et deux réelles, nous désignerons par Z2 et z.^ les deux ra-

3o CALCUL INTÉGRAL.

cînes réelles, en supposant ^2 >- '^4 1 p^i* ^1 '^ racine imaginaire dans laquelle le coefficient de {jest positif, par >33 sa conjuguée. Nous supposerons p égal à 2 ou à 4 pour avoir affaire à une substitution réelle. Le polynôme Y aura une racine réelle e^ et deux

racines imaginaires e^^ e^\ on suppose que ■^—. — ^ est positif. On

trouve aisément les résultats suivants :

A>o, ex—ez= — L, e, — e, = -M, ej - e» = -r N, A:»—-;

A<o, e, — 63^— L, «, — e, = ^ N, «, — ej= — -7M, A-*=.--

Z^ est du signe de A, Tj\ de signe contraire; on en conclut d'une

part la détermination de y/Z correspondant à celle de y/Y, puis, d'autre part, ce fait que pour des valeurs correspondantes réelles de z et àe y^ y varie dans le même sens que 5, pour A >> o, p =• 4 et A<^ o, p = 2; dans le sens contraire pour A>> o, p = 2 et A << o, p = 4 • Suivant que y et 5, supposés réels, varient, ou non, dans le même sens, les parties supérieures (ou inférieures) des deux plans des j^ et des z se correspondent, ou non. Dans le premier cas Z\ , ^3 correspondent à ^i , e^] dans le second, Z\ , z^ correspondent k e^y Cf

Au cercle (^2) du plan desjK? cercle qui a pour centre 62 et qui passe par e,, ^3, correspond dans le plan des z un cercle (c) passant par 5|, z^ et par rapport auquel sont symétriques les points ^2, Zji correspondants des points €2, 00 (ou oc, €2 ) du plan des y. Il

V a lieu de distinguer trois cas, suivant que le rapport 8 = 1 ^ — ^ !

est plus grand que un, plus petit que un, égal à un. Dans le premier cas c'est le point ^4, et dans le second le point Z2 qui est intérieur à (c). Ces points correspondent, dans un certain ordre qui dépend de la valeur de p, aux points 00 et 62 du plan des y, et l'examen de cette correspondance permet de reconnaître, dans les différents cas possibles, si les régions intérieures (ou extérieures) des deux cercles (c) et (^2 ) se correspondent ou non. Les régions de même nom se correspondent pour p = 2, o > 1 ei p zzz 4, S •< I ; elles ne se correspondent pas pour p = 2, 0 <^ 1 , ni pour p =^ 4? 8 ^ 1 . En combinant ces renseignements avec ceux que l'on a sur le sens dans lequel varie y quand z augmente,

ÉYALUATIOIf DBS INTÉGRALES LE LONG D*UN CHEMIN QUELCONQUE. 3 I

par valeurs réelles, de — oo à -j- oo, on reconnaît aisément comment sont disposés, dans le plan des 2, les points d^nterseclion M, M' du cercle (c) avec l'axe des quantités réelles qui correspondent respectivement aux points m et m' du cercle (e^) situés sur Taxe des quantités réelles, et comment, dans le plan des ^, est situé le point S qui correspond au point 00 du plan des z. On a d'ailleurs

où il faut prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs,

suivant que l'on a A^o. Dans le troisième cas où S est égal à i , le

cercle (c) se réduit à la droite qui passe par les points Sf , z^. Le

milieu des points ^s^, z^ est alors le point M' ou le point M; et le

point s coïncide avec l'un des points m, m'. Voici le résumé de

ces divers renseignements :

i/Y Suivant que l'on a p =^ 2 ou 0 :^ 4» O" ^ sgn ^ = ih sgn A et

les valeurs 62, 00 ou 00, €2 de y correspondent aux valeurs -34, Zu

/v de z. Suivant que l'on a sgn ^ = — ijj^ets varient, ou non, dans

le même sens. Le Tableau suivant indique, selon les cas, comment sont rangées les quantités ^2? ^47 M, M' ou m, m', e^y S.

( 0 < i , ^4 < M < ijj < m' ;

ou }

p = 2, 8 > I ^ A > o, m'< ej < m < s,

ou P = 4? 0 C I ■ A C o, s < m'< C2< m.

En combinant les résultats indiqués par ce Tableau à ceux que

l'on trouve sur la figure ^B) du Tableau (CXXXl), on obtient immédiatement la correspondance entre les variables z et u. Ije périmètre du rectangle (R) du n** 595 fait son image sur les coupures du plan des z.

Il n y a plus maintenant aucune difficulté à établir les formules (CXXXIX).