VI. — Réduction à la forme de Legendre
607. On peut, ainsi que Legendre Ta remarqué, ramener une expression différentielle -^— ^— , où Ton suppose le poljnome
R(;>) = A(<3 — 5|) {z — Z2) {z — 53) (:; — z^) du quatrième degré, à racines inégales, au tjpe -— > où V est un polynôme du second
degré en v^y au moyen d'une substitution linéaire ;; = • — - — *
dans laquelle p et q ont des valeurs convenablement choisies. Quels que soient/? et q on a, en effet,
rfz (q — p) dv
en égalant à zéro le coefficient de i^ dans le produit des deux premiers facteurs sous le radical, ainsi que dans le produit des deux derniers facteurs, ce qui détermine p et q par les conditions
p -^ q ZxZi-z^Z', ; = 1, ;, — ~ >
'i. /Sj— " /i^-\~ *f2 — Z>^ P — ^\ '"^l ^-'^ ' *'! ''i' ("^S — Z-^)\Zi — Z\)
le second membre de l'égalité précédente se réduit à une expression de la forme
a dv
où a désigne une constante qu'il est aisé d'évaluer au moyen de
ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. 33
A, 5|, Z2f >33, :;,. Lorsque les coefficients du polynôme donné R(5) sont réels, cette constante a, ainsi que les valeurs de p cl de q sont manifestement réelles; dans ce cas a et 6 désigneront des nombres réels et positifs : on supposera a <i b.
Le seul cas où pet q ne seraient pas déterminés par les formules précédentes serait celui où l'on aurait^i-j-^Sa^-^i^a-f-^* ; mais alors on n'a certainement pas Zt -t- -S3 = Z2 -f- z^ ; il suffira donc de transposer, dans l'égalité précédente qui a lieu quels que soient/?et^, le second et le troisième facteur sous le radical, après quoi la ré-
duction au type --= se fera comme on vient de l'indiquer.
608. Si, dans l'expression ^, où V -^ i!= (1 d= a-i;^)(i =b 6-Vi)^
l'on fait
(t =z bc, bç — j\
on retombe sur l'un des types envisagés au n" 601, et il suffirait de se reporter à ce numéro pour y trouver les substitutions linéaires en x-, qui ramènent l'expression obtenue à une expression de la forme
dy
où Ci -T- e-2 -h ^3 -= o. Mais, au lieu de ces substitutions, il est souvent commode, quand a et 6 sont réels, et, par suite, c compris entre o et 1, de se servir des substitutions du premier degré en x'^ el\v'^ données par Legendre dans les divers cas qui peuvent se présenter lorsqu'on combine de toutes les manières possibles les signes -4-, - qui figurent sous le radical, substitutions qui permettent de ramener Texpression — à une expression de la forme
— z=j où W — ^(i — iv2)(i - - k'^iv^). k étant un nombre réel com-
pris entre o et 1 .
Nous supposons dans les formules qui suivent x et w réels, c positif ainsi que A'-— y/ 1 — k^ \ w ne doit prendre que les valeurs comprises entre — 1 et -r 1 ; pour chacune des transformations, X est par conséquent supposé compris entre les limites qui résultent de cette hypothèse, en vertu de la formule même de transformation; dans ces conditions les quantités sous le radical
T. et M. IV. 3
sont positives. Les radicaux eux-mêmes sont supposés positifs: enfin e, e' désignent des quantités égales à db i, ayant respectivement les signes de x et de w,
w , , dx dw
v/i— tv* /(i-ha7*)(i-:-c»a^*) /VV
/ ; 1 ^ ^x II, d^
/i-Hc» v/(i— a7«)(i-+-c»a:«) /W
E , i d!a: , , dw
X = , —-> a:= , -> -, — eEA---=,
Ei/l — tV* , T dx ,, </lV
a? = — > A- = ^ > - = — es A: -—= ,
e , c dx , , , dw
X— — ; » k— => , = es'X: — =,
cv^i — «v» VI -H c* v/(a7«-hi)(c«2:» — i) ^W
e/i — (i — c*)iv* , y dx , dw
X = — ^^ — 9 A- = / 1 — C*. = — ee' —-= •
A ces transformations, il convient d^adjoindre les deux suivantes qui sont linéaires : les radicaux sont toujours supposés positifs.
\-~w-^}Jc{\-\-w) \ï-+-vC/
dx (i -4- \/ kY dw
v/(ar« — i)(i — c«a:ï) i ^^
rf:r dw
ex = tv, X: = c,
v/(a:»~- l)(c»ar* — l) /W
Il est aisé de déduire à nouveau, de ces relations diflTérentielles, les valeurs des intégrales qui figurent dans le Tableau (CXXXV).
609. Lorsque les racines de z sont réelles, si l'on fait, dans l'ex-
dz pression -p» la substitution
~ (>Sp — 5{i)cos* -h(zx — .5^)sin«<p
'i{z\ — Zu) (>p — ^u.) (ex — -p) sin^ cosç [(3p— '5jj.)cos*ç-+-(zx — 5|i.)sin»<pJ» ^
ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. 35
on trouve
dz — 9. <icp
v/Z /A[(zx — Zy){z^ — Zp) cos«o -h (zp — ;:v) {z^ — ^l) sin^tp]
Supposons d'abord A positif. Si z est compris entre Zi et -hoc, ou entre — oo et ^4, on supposera X = 1 , [ji 1= 2, v = 3, p = 4 î quand z varie de :î| à -+- 00 ou de — 00 à ^4, cp varie de o à '^0 on
mm «»
de c5o à ~ ' ^^ désignant par Oq l'arc compris entre o et - dont la
tangente est égale à i/ 3^-3 — • Si z est compris entre z-^ et iio? on prendra X = 3, jji = 4, v = i , p = 2 ; quand z varie de 53 à >3.j, cp varie de o à -• En donnant aux radicaux leur signification aritlimétique, on aura
dz 0. d^ N
Supposons ensuite A négatif. Si z est compris entre z^ et iJa, on prendra X = 4? [J»- = » ^ v = 2, p := 3; quand z varie de Zs à ^3,
C3 varie de o à -• Si 5 est compris entre :;2 et .3|, on prendrai = 2,
[jL = 3, V = 4î P = I î quand >s varie de -Sa ^ ^1 ? ? varie de o à
En donnant encore aux radicaux leur signification arithmétique,
on aura
dz 7 do f. M
= , • —f Aî = -p.
/z /— AL y/i — A^*siii»? *"
Il est aisé de déduire à nouveau de ces relations difTérentielles les valeurs des intégrales qui figurent dans le Tableau (GXXXV).
VII* — Substitution quadratique.
610. Nous allons montrer maintenant comment la réduction à la forme normale — ^ de toutes les différentielles de la forme ~^^
OÙ z est un poljnome quelconque en z^ du troisième ou du quatrième degré, peut s'effectuer au moyen d'une substitution du
secood degré. Nous nous bornerons au cas où le polynôme Z a ses coefficients réels et admet au moins deux racines imaginaires; l'intérêt de cette dernière supposition consiste en ce que l'on peut alors choisir une substitution réelle telle que les racines du polynôme transformé soient aussi réelles, ce que l'on ne peut faire par une substitution linéaire. Les modifications qu'il y aurait à apporter à quelques-uns des résultais suivants, si Ton ne se trouvait pas dans le cas auquel nous nous limitons, n'échapperont pas au lecteur.
Rappelons d'abord quelques propositions élémentaires relatives
à la fraction :r i^r - , où U = olz- -t- [is -|- y, V =rz cl' z^ -|- ^' z -f- ^
sont des trinômes du second degré en Zj à coefficients réels; nous n'excluons pas le cas où a' est nul. La dérivée de cette fraction s'annule pour les racines J^i, Ç3 de l'équation du second degré en j,
(a) (p(5 ) r-: U' V — UV =r ( a?'- a'P) 52 -f- -'.(aY'- a'-) z -4- 87'— ?'y = <>•
Les valeurs X|, x^ de x qui correspondent à ÎJi, !^3 s'obtiennent en remplaçant z par wi , wj dans ^^ ou mieux dans la fraction du
premier degré ^7; x^^ ^3 sont réels en même temps que Ç(, JJj.
Quand x est égal à x^ ou à X3, le polynôme en 3, U — Vx, ayant une racine commune avec sa dérivée, est un carré parfait et est, par suite, égal à (a — ci!x^){z — !^|)^ ou à (a — 7.'x^)[z — ss)^- On en conclut que X|, Xv^ sont les racines de l'équation en x
qui exprime que l'équation en :;, U — Y x ^^-r o, a ses racines égales. Des remarques antérieures et des relations
o(;;)-(aP'-a'P)(;;-;,)(^-;3),
il résulte que le polynôme en z^ V'-A ( y )♦ ^^^ ^g^i' 3" carré de ^(z) multiplié par un facteur constant que l'on trouve aisément être égal à i en comparant les coefficienis de z^ ; on a donc l'idcntilé
ÉYALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D'uN CHEMIN QUELCONQUE. 87
Quand les racines de V sont Imaginaires, la réalité des quantités Ç|, Ç3, Xtj X3 apparaît aisément sur les équations («), (6).
En effet, d'une part, en remplaçant, dans ^(5) = U'V — LJV,
S' :; par la racine ~ de V, on trouve le même résultat qu'en faisant la même substitution dans U'V; or V est alors du même signe que a'; U' se réduit ù ^ , — —\ U'V est donc de même signe que
a'j3 — a[3', c'est-à-dire de signe contraire au coefficient de z"^ dans 0(3); Çi et JJs sont donc réels et comprennent entre eux le
nombre —,' D'autre part, si dans *if{x) on remplace x soit
par— soit par— le résultat est positif, par conséquent de signe contraire au coefficient de x^ dans ^{x)\ Xt, x^ sont donc réels
et comprennent entre eux— > -^» £nfin, comme Xi et x^ se dé-
duisent de Ç,, Ç3 en remplaçant z par Çi, Ç3 dans — j^ ^, on a
S' puisque — —, est compris entre si et Ç3 le dénominateur est né-
gatif; il en résulte que ^n ^3 sont rangés, ou non, dans le même ordre de grandeur que x^^ x^, suivant que a [3' — a'^ est négatif ou positif.
Dans le cas que nous aurons encore à examiner, où U a ses racines imaginaires et où ol est nul, on voit de même que Çi , Ç3 sont
réels et comprennent la racine — ^ deV; que :r 1,^3 sont de signes
contraires, parce que leur produit est négatif; enfin que!^i, Ç3 sont rangés, ou non, dans le même ordre de grandeur que Xt^ ^3, suivant que a^' est positif ou négatif.
611. Ceci posé, désignons par Z un poljnome du troisième ou du quatrième degré, à coefficients réels, admettant deux racines imaginaires conjuguées Zt^ z^', nous désignerons par ^2, z^ les deux autres racines (réelles ou imaginaires conjuguées) si Z est du quatrième degré, par Z2 la racine réelle unique si Z est du troisième degré, en sorte que, en désignant par A, a des constantes,
Z sera, suivant les cas, de l'une ou de Tautre des deux formes
A{z — Zi)(z — Zi)(z — Zi)(z—z^), a(z— Zi)(z — Zi)(z — Z2).
Dans la différenlielle — — :> nous ferons la substitution x= t7>
en posant
U =(z—Zt){Z — Z!,), \=(Z — Zi)(Z'-'Zi),
si Z est du quatrième degré;
V — (z — Zi){z — Zs), \ = z— Zi,
si Z est du troisième; les coefficients a, . . . , y' de U, V sont réels et s'expriment immédiatement au moyen des racines de Z. On aura alors, en convenant de remplacer A par a quand Z est du troisième degré,
dz V*
d'où, à cause de l'identité (c),
dz V dx dx
(GXL)
les radicaux étant liés par la relation
qui montre, en supposant lout réel, que les radicaux sont ou non de même signe, suivant que oi^z) est positif ou négatif. La même égalité montre que Z et S^x^i^x) sont de même signe pour des valeurs correspondantes de a: et de -3.
612. Plaçons-nous d'abord dans le cas, où Z étant du troisième degré, U a ses racines imaginaires; Çi et ÎJa sont alors réels; en supposant Ç| >> ÎJa, on aura, par les remarques précédentes,
cp(^) = Z"^ — 'i.ZtZ -^ Zi^Z^-^- Z;i) — z^z^ = (5— ïi)(Ç— Cj), ^(x) — {x -^ Zx-^ z^y- ^ ^{z^z^ -\- z^x) — {x ^ ^i)(j!^— - J^a),
Çl > ^2 > Î8, ^1 > O > 373.
ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG dYn CHEMIN QUELCONQUE. 3g
Pour que y^Z soit réel, z doit être compris entre — oo et 52 ou entre Z'2 et -+-00, suivant que a est négatif ou positif. Le Tableau suivant indique la correspondance entre les valeurs de z et celles de ûO] dans la première ligne les valeurs de z sont rangées par ordre de grandeur croissante; la troisième ligne contient le signe de ^{z); X augmente ou diminue quand z croît, suivant que ce signe est + ou — ; x^ est un maximum, X\ un minimum :
z I —00 Ç3 ^j • Çi -4-00
— 00 Xi "^ 00 X\ -i- »
Signe de f ('S)
Dans l'égalité p-. . = ~t- , — — — , > on prendra donc
l/Z] \^axi^x — xx){x — Xi\\
le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que z n'est pas ou
est compris entre Ç3 et Ç,.
En appliquant par exemple le résultat à la difierentielle
— » où l'on suppose ei réel, e^, e^ imaginaires con-
juguées, en sorte que, comme on Ta fait observer au n** 594, \Je^ — ^,, \Jei — ^3 sont aussi imaginaires conjuguées, on est
amené à faire la substitution x = ^-^^—^ — ^— t et les quantités
z — ej *
désignées plus haut par !^|, W3, x^^ x^ sont ici
Çi —- ej -T- \Jei — ex \fê^— e%,
Çj - ej — /«îj — ej /«ï — «3 »
xx — 2;, -f-ej,
Au lieu de cette substitution, afin d'obtenir un polj^nome dans lequel la somme des racines soit nulle, faisant la substitution
y -= X— iCi = z-i- ^— ^ -^ =- = z ~ ,
•^ ;: — et z — et
nous obtiendrons la relation
IViiz — eijiz — et) (z — 63) | 1 v/4 (y — ^t) {y — Eî) {y — B3) '
CD posant
E, r= ei-i-'X)/ei--ei^ei^ei = e, -+- 4 (el -f- ^' j . Et = — 9. ej ,
E, = ^2 — 2 v/^s T, V^«?î — el = ^2 ~ 4 (^1 -+- It" ) •
Il imporle de remarquer que les quantités E|, Ea, E3 sont réelles. En supposant z "> ^3, on aura ar ^ :r,, donc y I> E|, et Ton devra prendre, dans le second membre de l'équation [d), le signe -|- ou le signe — , suivant que z est compris entre Ç| et -I- 00, ou entre ^2 et Ç, ; si ^ doit varier à la fois dans les deux intervalles, on fractionnera l'intégrale.
Le résultat que nous obtenons ainsi coïncide avec la relation
/ toj-hto, a>3 — w,\ (e^—el)(ei—e:^)
\ 2 a / '^^ ' p(M|ct>,, (03) — e,
qui résulte aisément des formules (X.X1I) ou (XXIV) et des formules de transformation linéaire.
613. Supposons maintenant que Z soit du quatrième degré, on aura alors
<f{2) r-yiz — Zf- - Z,,){Z — Zi)(Z— Zi) — {2Z - - Zi — Zi){Z—Zt){Z 54)
~- {Zf-r- Z^ — Zi' - Z^) Z* — 9. ( Z* Z^ — ZiZ^ ) Z
— {Zi -r- -Sj) ZfZ^ (-S -^ Zi^) 5^ ^5
— (Zf~h Zi^ — -1 — Z-i)( Z ïl ){'3 -- Çj).
-- {Zi— Z3)^x^-^i[iiZiZ,,-^ •iZiZi--(Zt-^ z^)(zi-+' 53)]ar-h {z^— 54)»
—- {Zi — Z:i)^(x— xi){3P — Ti).
Xi= —- > X3— — — — I
( 2 Çi — 3, — 33 ) ( 2 Ça — -! — 33 )
puis, en posant Ai = A( 3| — ^3)'?
\ y/Z v''^ 1 J" l ^ - .r, ) ( a- — X:, ) (GXLI) / _____
^Z {z — zi)^{^— -3)-
