ÉYALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D*UN CHEMIN QUELCONQUE
Il faut toutefois remarquer que celles de ces formules où figurent Çi, ÎJ3 doivent être modifiées si o{z) se réduit au premier de^ré, c'est-à-dire si Z2-\- Zn — 5, — ^3 est nul ; nous écartons ce cas provisoirement. Les quantités Ç,, Ç,, x^y x^ sont réelles; —^ — ^ est
compris entre Çi et Ç3, i et ^^^—^ sont compris entre 0:1 et ^3. S'iz^
et 54 sont réels, x^ et x^ sont de signes contraires ; d'ailleurs ^{z^) et ^(^4) sont de signes contraires; il y a donc une des racines Ç, et Ç3 comprise entre z^ et Zi^, Si z^ et z^ sont imaginaires, x^ et x^^ qui sont de même signe, sont positifs, puisque l'un de ces nombres est plus grand que i ; nous prendrons pour x^ le plus grand des deux; A| est de signe contraire à A. Nous avons tout ce qu'il faut pour dresser le Tableau suivant, comportant deux cas suivant le signe de Z2-I-Z4 — 3| — 53; dans chaque cas la première ligne contient les valeurs remarquables de z rangées par ordre de grandeur croissante; la dernière ligne contient les signes de ^{z) dans chaque intervalle; suivant que ce signe est -|- ou — , x regardé comme une fonction de z est une fonction croissante ou décroissante. Enfin, on a fait figurer Z2 et z^ parmi les valeurs remar- (|uables de z en choisissant Z'2 <. z^. Ces quantités, ainsi que les valeurs zéro de x qui leur correspondent, doivent être effacées si elles sont imaginaires.
(Çl<Î3).
— 00 Çi Zi
Signe de <p(5)
Zq-\ 3j "C •*! — ■ **% »
r SI
-tl
Signe de cp(5)
Lorsque Z2 et z^ sont réels, A peut être positif ou négatif; dans le premier cas, z doit être compris entre — ao et z^ ou entre z^ et -f- cx>; dans le second cas, entre ^2 et S4. Sk l'on a, par exemple, ^a -T- ^4 >- ^1 -h^s, A >> o, z<,Z2y X est positif et plus petit que Xx ; d'ailleurs Ai est négatif; la quantité A, {x — Xi){x — Xv^) est positive. Les deux radicaux doivent être pris avec le même
signe tant que z reste compris entre — oo et Çi, avec des signes contraires tant que :; esl compris entre 2^i et ^2; si ;; traverse la valeur JJ,, le chemin d'intégration devra être fractionné de la limite inférieure à !^|, de t^i à la limite supérieure. Le Tableau précédent permettra dans tous les cas de supprimer toute ambiguïté.
Si Z2j ^4 sont imaginaires, A doit être supposé positif, donc A| négatif. On reconnaît sans peine que x doit être compris entre Xf el x^f et le Tableau permet toujours de lever l'ambiguïté de signe.
Il reste à examiner le cas où Ton a 5^ --h ^4 = 5| 4- Sj. L'équation (a) se réduit alors à
Cp(-S) ^^iZiZi — ZiZ^) (z j
La formule (CXLl) subsiste; mais il convient de remarquer que Tune des racines Xt^ x^ est égale à 1 et que l'autre est égale à
— ^ ; on a d'ailleurs, dans ce cas,
(2,--Zi)* 4('«î'«* — -Sl-Sj)
on aura donc
si l'on a
Xi — I
ZfZs, '-^ ZiZi,
x^ -.^ I dans le cas contraire. Le Tableau qui donne la correspondance des valeurs de :; et de ^ est alors le suivant :
Zx-^ Zji
— QO
Signe de «p(^ » i —
Signedef (^)
Quant à la supposition ZiZ^ ^^ ^«^s.,, on doit la rejeter, car alors les deux racines ^2, z^ seraient égales aux racines ^i, Zji,
614. Eu appliquant ce qui précède au cas où Z esl un trinôme bicarré ayant au moins deux racines imaginaires, on obtient les résultats suivants, dans lesquels on a fait figurer d'abord la trans-
ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. 4^
formation employée, puis les limites entre lesquelles doivent rester les variables pour que les expressions sous les radicaux soient positives, enfin la relation différentielle. Tout est supposé réel.
z^—i A > o, -s->i, o<rr<i,
^t ^ Qi l
dz.sgnz dx
I /A(^» — l)(^»H-c*)| I v/4Aa7(i — ir)(c»a7-+- 1)1 '
X = 1 X compris entre i et —,
rf-2.sgnf(c» — i)-5] dx
|v/A(<s«-+-i)(z»-4-c»)| |v/4Aa7(i— a:)(c«ar — 1)1 '
5* -h 2 r.5 cos 6 ~ r* . .0 i
X = — 5 > a: compris entre tang* - et ^ >
z^ — 2r>scosQ-hr* '^ ° 2 .6
tanff*-
dz . sgn [ r ( r» — 5* ) cos 6 ]
v/A(«»H-2r5C0s6 -f- r*)(«*— 2r-scos6 -i-r*)
i / i6 A r'ar ( 07 sin' ^ cos* - W sin' - — x cos* - j
Le lecteur pourra appliquer ces formules aux différentielles
dz dz dz
615. Lorsque non seulement les coefficients de Z mais aussi le chemin d'intégration est réel, on a maintenant tout ce qu'il
faut pour ramener directement l'évaluation d'une intégrale quel-
/dz ~ à celle d'une intégrale du tjpe nor-
mal de Weierstrass / — ^^* ou à celle d'une intégrale du type
/dx — :■ = y où k^ est réel et com-
pris entre o et i. On évite ainsi les transformations que nous avons étudiées à la fin du Chapitre VII du Tome III.
Quand les racines de Z sont toutes réelles, on fera l'une des transformations linéaires indiquées; dans le cas contraire, on commencera par faire l'une des transformations quadratiques qui conduisent à un polynôme dont toutes les racines sont réelles.
INTÉGRALES ELUPTIQUES. ^0
