I. — Évaluation des intégrales elliptiques
616. On appelle intégrale elliptique toute inlégrale de la forme JF\x, v^X) dx^ où X est un poljnome en x du troisième ou du quatrième degré, à racines inégales, etF(x, y/X) une fonction rationnelle de x et de y/X. Soit par la substitution linéaire (CXXXII), soit par un autre procédé qui sera étudié au Chapitre suivant, (CXLIII), on peut ramener une telle intégrale à la forme
ff^yy ^'^)^y^ ^^ Y -^ 4jK» — g.:^y ^ g^ est un polj^nome à racines inégales et où f{y\ y'Y) est une fonction rationnelle de y
et de y/Y.
Supposons que l'intégrale proposée soit une intégrale définie, prise le long d'un chemin [x) allant du point Xq au point x^j et
ne passant ni par une racine de X ni par un pôle de F (or, y/X) ;
le long de ce chemin [x) convenons d'entendre par y/X la détermination de cette fonction qui résulte, par continuité, de cette même détermination pour un point particulier, pour le point initial ^Tft, par exemple. On pourra, en appliquant le théorème de Cauchy, substituer au chemin {x) un chemin ayant les mêmes extrémités et qui soit équivalent au chemin (:r), c'est-à-dire qui conduise à la même valeur de Tinlégrale. On peut donc, si l'on veut, supposer de suite que le chemin (^x) se compose de segments de droite ou d'arcs de cercle.
Si Ton emploie la substitution linéaire (CXXXII,), les propositions du n®397 feront connaître le chemin {y) correspondant
au chemin {x)\ Tintégrale ff{y^ y]^) dy doit être prise le long de ce chemin (y). La détermination de y/Y pour un point quelconque y du chemin {y) résulte de celle de y/X. au point correspondant j; du chemin {x) au moyen de la formule (GXXXIIj);
on obtiendra ainsi, en particulier, la détermination initiale y/Y«
de y/Y pour le point initial j^o correspondant au point Xq-
Si l'on fait ensuite la substitution jk = p('^; ^2» g's) et si l'on détermine, dans le plan des a, un chemin (m) correspondant aux chemins {y) et {x) par les formules
r^ dy [^ dx
où les intégrales sont prises le long des portions des chemins (j^) ou (:r), qui partent des points y^ ou j^o pour aller aux points y ou x^ et où Ufi est l'une quelconque des valeurs de u qui satisfont aux équations concordantes
on aura, tout le long des deux chemins (y) et (m), en deux points
correspondants, les relations ^ == p m, y^Y = — p'a, et l'on sera ramené au calcul de l'intégrale
/Om, —p'u)p'udu,
où le signe / porte sur une fonction doublement périodique, et où la variable doit suivre un chemin connu [a). L'évaluation d'une pareille intégrale a été traitée au Chapitre VIII du Tome III.
Quant à la détermination du chemin (^/), observons d'abord que ce chemin se réduit à une portion de l'axe des quantités réelles si l'on n'a affaire qu'à des fonctions réelles de variables réelles; on n'a alors qu'à en déterminer les extrémités. Lorsque les coefficients de X, Y sont réels, les variables jr, y étant d'ailleurs quelconques, nous avons donné au Chapitre IX tous les détails nécessaires pour l'évaluation des intégrales / — ^» / -~-
qui figurent dans la formule (i), et l'on pourra donc, dans ce cas, déterminer le chemin (m) avec autant d'approximation qu'on le
voudra : on n'a d'ailleurs pas besoin de déterminer les points intermédiaires avec autant de précision que les extrémités i/o, e/|, parce que, pour l'évaluation de l'intégrale de la fonction doublement périodique, on peut remplacer le chemin (u) par un chemin équivalent; toutefois, on doit se rendre compte de la façon dont le chemin (u) est placé par rapport aux pôles de la fonction doublement périodique.
Il est à peine utile de dire que l'on peut tout aussi bien ramener l'intégrale proposée à une intégrale de la forme /^/(z,y/Z)rf5,
où Z est de la forme (i — ^*'^)(i — k^z-) et où /{z, y/Z) est une fonction rationnelle de z etde^Z; par la substitution z = sn//, y^Z:^=sn'i/, on est ensuite ramené à l'intégration d'une fonction doublement périodique.
617. Il nous reste, relativement à la détermination des pôles et au développement de la fonction doublement périodique dans leur voisinage, à donner quelques indications qui n'ont pas trouvé place dans le Chapitre VI du Tome III.
En posant, pour abréger, y=ipu^ y :=z p' u^ la fonction doublement périodique que l'on a à intégrer peut être supposée mise sous la forme
en désignant par P, Q, R, S des polynômes en y de degrés respectifs a, p, Y, 8, poljnomes que Ton peut supposer sans plus grand commun diviseur.
On reconnaît tout d'abord, en remplaçant dans cette expres-
sion y et y' par — - H h • . . , — 7- 4- - — i- . . . , que o est un
pôle de ç(w) lorsque le plus grand m des nombres 2a, 2^-^-3 est supérieur au plus grand n des nombres 2y, 284-3; l'ordre de multiplicité du pôle o est m — /i = |jl. Si l'on ordonne le numérateur et le dénominateur de ^{u) suivant les puissances croissantes de Uj que l'on effectue la division du numérateur par le dénominateur jusqu'à ce qu'on ne trouve plus au quotient de puissances négatives de u^ puis que l'on mette ce quotient sous la forme
la partie de 'f{u) qui correspond au pôle o, c'est-à-dire la partie de <p(w) qui devient infinie pour 1/ =^ o, sera (n® 3S8)
A;m-t-A,Ç'w -A, ;*«-+-... :-ApL.!;ilA-»J a.
Considérons maintenant un pôle u - a de <f{u) qui ne soit pas congru à o, modulis 2C0|, 2CO3. Le numérateur de cp(£/) étant fini, le dénominateur doit être nul pour u =-.a] on résoudra donc les équations simultanées cny^y'
R -H sy r- o, j'* ^ 4r' ■ - s^y assoit y :^ by y ::^ b' uuc solutiou de ces équations et u ^^ a une solution des équations pu = b, p'u ^=z b' ; u =: a sera un pôle, si P -r Qj^ n'est pas nul pour y -- b, y' -~- b' . Pour s'assurer dans tous les cas que a est un pôle, et pour trouver la partie correspondante de 'f{u), on pourra ramener ce cas au précédent en faisant le changement de variable u^^ v -h a; les formules d'addition permettront d'exprimer p{^-h(i), p'{v -h a) rationnellement en pv^ p'v, 6, b' et de transformer 'f (w) en une fonction rationnelle de ps^y p'if. On peut aussi, pour obtenir les premiers termes du développement de cp(a 4- ^) suivant les puissances croissantes de ^, remplacer p(a-|-^), J>'(« -H i') par leurs développements de Taylor suivant les puissances croissantes de ^, ordonner le numérateur et le dénominateur de cp(a -f- v) suivant ces mêmes puissances, eflectuer enfin la division en ne gardant au quotient que les puissances négatives de i>. Il n'est pas inutile d'observer que l'ordre de multiplicité de la racine b de l'équation
est l'ordre de multiplicité du pôle a, dans le cas où b n'est pas une racine commune à R et à S, où b' n'est pas nul, et où P -|- Qj^ n'est pas nul pour y -^b, y' -- b' \ autrement, l'ordre de multiplicité est abaissé.
Ajant déterminé l'un après l'autre les pôles distincts de ç(m), puis les parties correspondantes de ç(w), la somme de toutes ces parties sera égale à la fonction 'f ('^), à une constante additive près, que l'on pourra déterminer en donnant h u une valeur arbitraire, par exemple la valeur o, si o n'est pas un pôle. Si donc on reprend
les notations du n° 358, en écrivant toutefois o(u) à la place de /{u)j on aura
o(u) = G -4- 2 [A^''î(w - ai) -f- A'/)C(" -a/) -i-...-+-Ai/;L,î^«.-iHu -a,)],
et toutes les constantes qui figurent dans le second membre seront connues. La somme A^*^ :- . . . -f- A^^^ est nulle.
618. L'intégrale indéfinie /cp (a) rfw est, en général, une fonction linéaire de u et de termes lelsque log(^(a — a), Ç(a — a), p(u — a), p'{u — a), . . ., a étant un pôle quelconque; à cause des formules d'addition (VII3) et de celles qu'on en déduit en prenant les dérivées, on voit aisément que cette intégrale indéfinie contient un terme en m, un terme en Cm, une fonction rationnelle de pu, p' u et autant de termes en log^(w — a) qu*il y a de pôles a pour lesquels le résidu correspondant n'est pas nul.
Pour que -cette intégrale soit une fonction univoque de m, il faut et il suffit qu'elle ne contienne pas de logarithmes, c'est-à-dire que chaque résidu A^'^ soit nul (i= i , 2, . . ., v). Pour qu'elle soit une fonction doublement périodique de w, avec les périodes aoji, 20)3, il faut et il suffit qu'elle ne contienne ni logarithmes, ni terme linéaire en u, ni terme en Ç(w), c'est-à-dire que l'on ait
A<'> = o (1 = 1,2, ...,v), C = o, VaV' = o.
On obtient ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que
l'intégrale f F{x,^lL)dx s'exprime rationnellement en x, y/X.
Il peut arriver que cette dernière intégrale soit la. somme d'une
fonction rationnelle en x, ^X et de logarithmes, multipliés par des constantes, de telles fonctions. Elle est dite Alors pseudo-elliptique. Les conditions pour qu'il en soit ainsi sont beaucoup plus cachées. Nous nous contentons de signaler ce problème, sur lequel le lecteur trouvera d'intéressants développements dans le dernier Chapitre du second Volume du Traité des /onctions elliptiques d'Halphen.
T. et M. - IV. 4
5o CALCUL INTÉGRAL.
