II. — Réduction de Legendre

619. En se plaçant à un tout autre point de vue, Legendre a montré que Tévaluation d'une intégrale de la forme y F(^, \/X) dx se

ramenait à des intégrations élémentaires et à l'évaluation d'intégrales rentrant dans trois types simples. Bien que le procédé d'intégration que nous venons de décrire dispense d'appliquer le mode de réduction de Legendre, ce mode de réduction n'en garde pas moins un intérêt propre, non pas seulement parce qu'il peut être pratiquement utile dans certains cas, mais surtout parce qu'il est l'origine de la classification des intégrales en intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce, classification qui s'étend de la façon la plus naturelle aux intégrales de la même nature (dites hypcrelUptiques) où le radical porte sur un polynôme de degré supérieur au quatrième.

Tout d'abord, l'expression F(x, v/X), mise sous la forme

— — - -> où P, Q, R, S sont des polynômes entiers en x^ se ra- R -T S \\

mène, en multipliant en haut et en bas par R — S y/X, à la forme M -\- - — > où M, N sont des fonctions rationnelles en x. La pre-

mièrc partie s'intègre parles fonctions élémentaires. En décomposant N en fractions simples, on ramène l'intégration de la seconde