partie à celle d'inlécrales de la forme / —=- ou

que nous comprendrons sous le type unique

-, i {x — a)p dx

A. Il —

OÙ p est un nombre entier positif ou négatif. Si Ton pose

X = A(a7 — a)*-«-4B(ar — a)3-i-6G(a: — a)* -4- 4D(^ — a) -h E, dans ridentilé

dx^^ /X

INTÉGRALES ELLIPTIQUES. 5l

OÙ r est un entier quelconque et où X' est la dérivée de X, on Irouve, après avoir intégré,

(r -h 7.) AXr-H3-i- a(2r — 3) BX;.4.j-t- 6(/*-t- i) CX,h-i

-h2(2r-T- i)DXr-h/-EX;., =ix-^aY^.

Si E n'cst^pas nul, c'est-à-dire si a n'est pas racine de X, on peut résoudre cette équation par rapport à X^.i, tant que r n'est pas nul; si E est nul, D n'est pas nul, sans quoi X admettrait la racine double a, et l'on j)eut toujours résoudre l'équation précédenle par rapport à X^. 11 résulte de là que si p est négatif, Xy, peut toujours s'exprimer au mojen d'intégrales analogues à indices positifs ou nuls, de X, et de quantités algébriques.

Pour ce qui est des intégrales à indice positif, elles se ramènent

— -—-', nous continuerons à les désigner par X^ et

nous emploierons la même formule de réduction en supposant a = o et en regardant A, B, G, D, E comme les coefficients mêmes du polynôme X. On peut alors résoudre la formule de réduction par rapport à X^^a si A n'est pas nul, par rapport à Xr4-2 si A est nul; on voit donc, si A n'est pas nul, que X3, X4, X3, ... s'expriment au moyen de Xq, X|, Xa, et si A est nul, que Xa, X3, X4, . . . s'expriment au moyen de Xo, Xj. Dans le premier cas, on peut pousser plus loin la réduction; cela est évident si X est bicarré, car alors X| se ramène aux transcendantes élémentaires en prenant x^ pour variable.

Bornons-nous aux cas où Xa Tune des formes (1 — ^^)(i — k-x^)^ 4x^ — g2^ — ©3- On voit qu'on n'a à considérer que trois types d'intégrales, qui sont, dans le premier cas,

/dx rx^dx r

{x-a)sl\

et, dans le second cas,

/dx rxdx r dx

y\ J TS"' J {x-a)^\

Ces intégrales sont dites respectivement intégrales elliptiques de première, de deuxième, de troisième espèce. Le type des intégrales de seconde espèce change avec la forme de X.

5a CALCUL INTÉGRAL.

620. Ces mêmes dénominations sont employées avec des significations différentes, que nous expliquerons tout à Theure, et qui d'ailleurs permettent toujours de dire, comme le lecteur s'en convaincra sans peine, que l'évaluation d'une intégrale elliptique se ramène à l'évaluation d'une intégrale de première espèce, d'une intégrale de deuxième espèce et d'une ou plusieurs intégrales^de troisième espèce. Mais, en restant encore un instant au point de vue où nous nous sommes placés, nous voulons remarquer que si l'on regarde les intégrales ci-dessus comme effectuées le lon<^ d'un chemin et comme fonctions de leur limite, supérieure Xy c'est-àdire de l'extrémité finale de ce chemin, l'intégrale de première espèce reste finie quel que soit^, même pour x infini, tandis que l'intégrale de deuxième espèce devient infinie avec a:, et que l'intégrale de troisième espèce devient infinie comme log(x — a) quand x s'approche de a. Les fonctions de :c ainsi définies restent d'ailleurs holomorphes dans toute aire limitée par un contour simple, d'où le chemin d'intégration ne doit pas sortir, et où

—7=z (s'il s'agit des intégrales des deux premières espèces) , —

(s'il s'agit de l'intégrale de troisième espèce), est une fonction holomorphe de x. Mais les choses se passent d'une façon un peu différente aux environs du point oo, suivant la forme de X. En nous bornant par exemple aux intégrales de première espèce, si l'on fait la substitution x =^ ^> on aura

dx r — dz

/dx r

V/{T— xî)(i — X:"^î~) J )/(\ — z^){k^ — z^)

r dx r -^dz

J yj\x* — fix-^g\ J /xîU— ^1^- — ^3 5»)*

or, dans le voisinage du point ^ = o, qui correspond au point ^ = 00, ::—-—=-- est une fonction holomorphe de 5, mais

non --=-- ; nous aurons l'occasion, à propos des no-

Vz{^-^iZ^ — ^,z^) ' r r

tations de Weierslrass, de revenir bientôt sur le second cas.

INTÉGRALES BLUPTIQUES. 53