III. ~ Notations de Jacobi

621. Nous avons maintenant à expliquer quelques notations et expressions qu'il est indispensable de connaître.

Supposant k réel, positif et plus petit que un, et désignant par A©, 011 o est un angle réel, la détermination positive du radical \/ \ — X'2 sin^c), Legendrc pose

et appelle F(y), E(cp) fonctions elliptiques de première et de seconde espèce. F^*^ et E^*^ sont les fonctions complètes.

Le moi fonction elliptique a pris, depuis Jacobi, un sens entièrement différent : on entend généralement sous ce nom les fonctions que nous avons désignées sous le nom àc fonctions doublement périodiques du second ordre,

La fonction F(ç) de Legendre n'est autre chose que V intégrale

r^ dx elliptique de première espèce (n** 619) / - <

•^0 V ( I — -a:- ) ( I — A« x^) dans laquelle on a remplacé x par sin». La fonction E('^) de Le-

gendre est égale à F('jj — k^ 1 dro; c'est donc une combi-

naison linéaire d'une intégrale elliptique de première et d'une intégrale elliptique de seconde espèce (n*'619).

Legendre a encore introduit la notation n(/i, '^), où n est un paramètre, pour désigner l'intégrale

r' ^?__ . r' -^if? -^ r « ^^ .

Jo ('-^/»sinîQ)A(p J^ (i-v/-,isinç)Ao Jo (i-^ y/- ns'm^) 1^'

c'est, en conservant la définition du n°619, la somme de deux intégrales elliptiques de troisième espèce, intégrales dont la différence s'exprime d'ailleurs au moyen des fonctions élémentaires.

Il peut n'être pas inutile d'observer que la valeur de A^ est toujours comprise entre A*' et i, et que l'on a, pour chaque valeur de ç, Aîp^cosco.

622. Jacobi a introduit d'autres notations, sur lesquelles nous insisterons un peu plus. Les fonctions de la variable m, qu'il a désignées par les notations am w, co amz/, E(w), Il (m, a), peuvent être définies par les formules

amw -— / dnuduj co ama = am(K — m),

* 0 1 h(u)= I on* u du y II(m, a)= / ,- ,

dans la dernière desquelles a est un paramètre. Le module k doit être regardé comme une donnée, différente de o et de i.

Les quantités que Jacobi désigne par K, K' coïncident avec celles que nous avons désignées par x(X:^), \'{k^); la quantité t, qui permet de construire les fonctions sn, en, dn (n°*5i8, 306, formules LXXIo^^g, XXXVlI^a)? et qui figure dans les définitions

précédentes, est supposée égale à -r- • Les notations am(w,Xr),

E(//, A), ... au lieu de amw, E(a), ... s'entendent d'elles-mêmes. Lorsque k est réel, compris entre o et i, la quantité K de Jacobi coïncide avec la quantité F^*^ de Legendre.

623. Considérons d'abord la fonction amw. La fonction dn^/ admet pour pôles les points 2 /i K -|- ( a /? -î- i ) i K', en désignant par n et n' des entiers; les résidus correspondants sont égaux à ±i. Si l'on se borne à assujettir le chemin d'intégration à ne pas passer par ces pôles, on voit donc que la fonction amw n'est définie qu'à un multiple près de aiz. La fonction dnu est holomorphe à l'intérieur de la bande limitée par les deux parallèles qui sont le lieu des points K/ lîz iK' quand on fait croître la variable réelle t i\e — oo à -t-oc. On peut donc regarder amw comme une fonction holomorphe à rinlérieur de cette bande, qui, dans le cas oii k'^ est réel et plus petit que un, comprend l'axe des quantités réelles. La fonction amw est évidemment impaire.

Au reste ces résultats apparaissent encore sur l'une des formules (CXV4),

/ dn u du = ilog(cn u — isnu).

La même formule montre que Ton a

en M — « sn M = t?-^»™ " ; d'où, en changeant w en — u^ ajoutant et retranchant, on déduit (Clle) sinama = snM, cosainM = cnM.

624. Si l'on se replace dans le cas où /c- est réel, compris entre o et I , on voit aisément, à l'aide des formules précédentes et de celles qui donnent les dérivées, par rapport à u, de sn w, en a, dn a, que les fonctions A'^, F(ïj) de Legendre se réduisent kdnu et u quand on y remplace cp par am u.

C'est en réalité la fonction inverse de F(y) que Jacobi a désignée par amu; en d'autres termes, il a regardé la limite supé-

rieure cp de l'intégrale / -^ comme une fonction de la valeur u

de cette intégrale, et il a appelé ama cette fonction. Dans les mêmes conditions, A(amw) n'est autre chose quednw. Depuis Jacobi, on désigne par Aam;^, quels que soient u et k^^ exactement la fonction de u que nous avons désignée par Anu,

En regardant amw comme une fonction holomorphe de u dans la bande définie plus haut, on aperçoit immédiatement les relations

(Clle) am(K)= -> am(/iK) = /i— > am (a h- a/iK) — ama — nir,

OÙ n est un entier.

Quand u augmente par valeurs réelles et que k'^ est compris entre o et i , on voit immédiatement que la fonction am u augmente toujours; son signe est celui de u.

Les expressions de sin co am w, cos co am w, A co am w, au mojen de sniiy cnw,dnw, se déduisent immédiatement de la définition de coama et des formules (LXXIIg).

625. La fonction E(u) de Jacobî est univoque; on voit (n** 432) qu'on peut écrire

(GII5) E(a)--=|a-HZ(a);

le nombre E est égal (n** 432) à / dn^udu] on voit qu'il est égal

à E(R); c'est le E^'^ de Legendrc.

Le théorème d'addition de la fonction ^ conduit de suite aux théorèmes d'addition des fonctions Z(w), E(w), à savoir :

— -- Â* sna snasn(a — a);

on en tire aisément la relation

X v/ \ -lA^snacnadnasn*!/

Signalons encore la fonction û(w), introduite aussi par Jacobi et définie par l'égalité

(Cii„) a(«,.-/« -^'' ll^r

On voit comment, dans cet ordre d'idées, s'introduit la fonction S.

626. La fonction !!(«, a) de Jacobi s'exprime au moyen des fonctions Z, 0; celle expression s'obtient en appliquant les règles générales d'intégration, ou en intégrant, entre les limites o et w, les deux membres de l'égalité (a); on trouve ainsi

(GII5) U{u,a) = aZ(a)-- J log ^-|f~-|^j'

ou encore, en tenant compte de la définition de Û(w),

(Clin) n(u. ^)=u E(ct) - - log ^"■~-

Dans ces deux formules, la détermination du logarithme dépend en général du chemin d'intégration (n" 501); il est à peine utile de signaler le cas, fréquent dans les applications, où le second

INTÉ6RALKS ELLIPTIQUES. 67

membre doit être réel parce que le premier l'est évidemment. On a, en particulier,

(GIIjo) n(K, a) = KZ(a) = KE(a) — aE.

L'expression de II (a, a), au moyen de la fonction Q et la définition de cette fonction, mettent en évidence que la dérivée de n(w,a), prise par rapport à a, s'exprime au moyen de E(w); il en résulte ce théorème de Jacobi :

La dérivée d^iine intégrale elliptique de troisième espèce, par rapport à V intégrale elliptique de première espèce prise comme variable, s^ exprime au moyen dUntégrales elliptiques de première espèce et d* intégrales elliptiques de seconde espèce.

Lo théorème de l'échange du paramètre et de l'argument s'exprime par la formule

n(w, a) — n(a, m) = wZ(a)— aZ(a),

OÙ le second membre devrait être augmenté d'un multiple de 2Tzi si on laissait aux fonctions II toute leur indétermination.

Le théorème d'addition de la fonction II s'exprime par la formule

n(tt,a)-+-n(p, a) — n(w-4-p, a)

i , I — X:^ sna snp sna sn(a H- p — a).

— - log Ti >

•2 \ -f- k^ sn u snv snoL uni u -h V -i- OL )

I . i f I — X:* sn'(w -i- a) sn'(p -H a)] [i — X-* sn*a sn*(M -f- (^ — a)] ~ 4 ^^1 [i — k^^n^iu — a)sn«(7— a)] [i — "Xr* sn^a snî(a h- v -h ol)]

-Il -Z(a-f-i/)^ Z(g-4-P) -hZTMjHhj jÇ) — Z(p-4-tK^) ^ -2 ^^ Z(a — a)-Z(a -p)-f-Z(a--iK') — Z(P — iK')