IV. — Notations de Vreierstrass

627. L'intégrale elliptique normale de première espèce, au sens de Weierstrass, est l'intégrale / ~'~ y oùYrz^^^' — g^y — ^3 : on

(') Voir ScHWARTZ, Formules^ etc., n"* 50, 57.

la désigne par J (y, V^Y) ; cette intégrale n'est déterminée que si

Ton se donne la valeur initiale de \/Y et le chemin d'intégration, qui ne doit passer par aucun des points e^^ e^t ^3? et le long duquel les valeurs de y/Y se déduisent par continuation de la valeur initiale. A cause de la limite supérieure, quelques remarques concernant ce chemin sont nécessaires.

Considérons un cercle décrit de l'origine comme centre et contenanl à son intérieur les points e^^ 62, ^3; désignons par S la région extérieure au cercle, dans laquelle on regarde comme une coupure la portion de l'axe des quantités négatives qui est extérieure au cercle, en sorte que la région S est limitée par le

cercle et celte coupure. Dans S, -— est une fonction holomorphe

de y y déterminée dès qu'on se donne sa valeur en un point : elle peut être représentée par une série <i?( — = ) entière en — ^, ne

\vyJ y y

contenant que des puissances impaires de -p et commençant par un terme en ( -/= ) • Au point de S où l'on se donne la détermination de y/Y, l'égalité -— n^ 0? ( -— ) détermine sans ambiguïté la

v^ \syi

valeur de y/y, qui est dès lors déterminée dans toute la région S. Si l'on désigne par ^i?, ( 7^ ) la série entière en -— , commençant par

\sy) vy

un terme en --> dont le*s différents termes ont pour dérivées, par

rapport à r, les termes correspondants de <f ( — j> changés de signe, il est clair que l'on aura

-'y V/Y Ut/

quel que soit le chemin d'intégration, pourvu qu'il ne sorte pas de S. Si la fonction pu est formée avec les invariants g^^ §3, dans

la même région S, les égalités pu=yj p' u ^-^ — y/Y définissent, à une constante additive près de la forme 2/îto, + 2 n'toa, 11 comme une fonction holomorphe dey; cette fonction ne peut

IPITÉGRALES ELLIPTIQUES. 69

différer de ^i (-7^ ) que par une constante C, puisqu'elle doit

vérifier dans S, comme la fonction $i, la relation -7- =t — ; la

dy — v/Y

fonction w inr C -f- ^, ( — ] devant vérifier Tégalilé pu=^y pour

de grandes valeurs de y, C est nécessairement de la forme 2/i(j)| -l-a/i'ws; en d'autres termes, w = $, ( ~7= ) est une solu-

\vy/

lion des équations pu =^, p' u := — y/Y : toutes les autres solutions s'obtiennent en ajoutant à celle-là des multiples entiers des périodes.

Ceci posé, considérons un point quelconque y^ et un chemin d'intégration allant de ce point au point oo; nous nous bornerons à supposer, relativement à ce chemin, qu'il finit par rester dans la région S, à partir du pointai, par exemple, point où le radical

y/Y a acquis la valeur ^Y|, déduite par continuation de la valeur

donnée y/Yo de y/Y en yQ, La valeur Jyyoj y/Yo) de la fonction

J (y, ^/y) enyo sera définie par l'égalité

J (j^j,, y/^o) "C dépend nullement de la partie du chemin d'intégration qui va de^i à l'infini, mais seulement de la portion du chemin qui va de yoSi yt» En un point quelconque y de celte

portion de chemin, la fonction 3 (y, y/V) est définie par la même égalité, où il faut seulement effacer l'indice o ; elle vérifie donc tout

le long de ce chemin l'égalité -j- = — » et peut être regardée

comme la continuation, le long de ce chemin, de la fonction $, ( -^ ) avec laquelle elle coïncide aux environs de j^|. Tout le

long de ce chemin, comme aux environs du point y^J elle vérifiera les équations pu =yj p' u =: — y/Y, et il en sera ainsi, en particulier, au point ^o? pour lequel nous désignerons par ^o la valeur de la fonction J [y^ \/^)-

Si l'on se donne les deux entiers n et n\ et que l'on imagine, dans le plan des u, un chemin qui aille de Uq à Uq-\- 2 /i(0| + 2 7z'(t)3

6o CALCUL INTÉGRAL.

sans passer par aucun des pôles ou des zéros de p' u^ le point ys= pu décrira dans le plan des y un cerlain chemin fermé partant de yo pour y revenir, en ramenant aussi le radical ^Y, qui

ne cesse d'être égal à ^- p u^ à sa valeur primitive v Yo- Si donc on désigne par (C) ce chemin fermé parcouru en sens inverse, et

si l'on considère la valeur de la fonction J (y, \/Y) au point y^. origine du chemin d'intégration formé par le chemin (C) suivi de Tancien chemin d'intégration, cette valeur sera égale à l'ancienne valeur Uq augmentée de 2/iw, -*- in'iù^.

En résumé, la fonction iiy^ v'^ K ^' ^^ '^ définit seulement par les valeurs àe y et de y/Y sans se donner le chemin d'intégration, n'est définie qu'à une somme 2/iW| -h an' 0)3 de multiples de périodes près; en changeant le chemin d'intégration, on peut l'augmenter d'un nombre quelconque de la forme a/iw, -î- an'co,, où n et/i' sont des entiers. L'ensemble de ses déterminations est identique avec l'ensemble des solutions des équations (en u),

pu^y, J>'« =^— vY.

628. L'intégrale elliptique normalede seconde espèce, J'(j^, y'' Y), au sens de Weierstrass, est une fonction analytique àe y dont la

dérivée est *,-• Cette condition permet de la définir, à une constante addilive près, comme une fonction holomorphe de y dans loute région limitée par un contour simple où -- est aussi une fonction holomorphe.

Si dans la fonction çw on remplace u par J (y, \/Y), on obtiendra une fonction de^ dont la dérivée sera -~ X --r- > c'est-àdire -\r' On peut donc prendre pour JMjs y Yj précisément la

fonction u[j (j^, y/Y )]. L'intégrale elliptique de seconde espèce est ainsi définie par les mêmes éléments que l'intégrale de première espèce; quand le'chemin d'intégration chan<;e, de façon que

i(y^ V Y) augmente de 2/îw, -i- a/i'iog, JMy, \j\ ) augmente évidemmentde inr^^-i-in'r^^. Dans la région S, la fonction J'(j^, y/ Y) peut être définie comme une fonction holomorphe de y; ce sera

INTÉGRALES ELUPTIQCES. 6l

une série procédant suivant les puissances entières de -^ dont les termes auront pour dérivées respectives les termes de la série y^ ( "7^ ) » ^'"^ commencera par un terme en ^'yet ne comportera aucun terme constant, puisque cette série peut aussi bien s'obtenir en remplaçant u par 'f, f -j=.\ dans la série - — p «^ -h. . . qui définit Çw.

On pourra poser, en général,

en choisissant convenablement la constante d'intégration.

629. L'intégrale elliptique normale de troisième espèce, au sens

de Weierstrass, intégrale que l'on désigne par J (y, y/Y; j^j, y/Yj ), est une fonction analytique de la variable^ et d^un paramètre^,, dont la dérivée par rapport à y est

Si l'on y remplace y, y/Y, j^i, y/Y, respectivement par p m, — p'u, pusj — p'wi, elle deviendra une fonction de u dont la dérivée,

par rapport à w, sera - — ^ • Une telle fonction est

on pourra donc prendre pour J (j^, y/Y; ^,, y/Y,) l'expression que l'on obtient en remplaçant uetu^ par j(j', y/Y), J(j^i, y/Y,) dans log ^^"* ~ "^ -L. ^r^ Cette fonction, si même les quantités

J (y, y^Y), J (^1, v^Y| ) sont entièrement déterminées, n'est définie de cette façon qu'à un multiple près de 2Tzi^ à cause de la présence du logarithme.

Si l'on remplace, dans l'intégrale normale de troisième espèce,

j(y,y/Y) par j(7,v/Y)4- 2na>,-i-2/i'a>3, elle augmente de la

quantité

630. Le théorème de l'échange du paramètre et de Targument s'exprime dans les notations de VVeierstrass par l'égalité

Les théorèmes d'addition pour les intégrales normales des trois espèces sont contenus dans la proposition suivante que nous empruntons textuellement à M. Schwarz(/^or/?iM/e5, etc., n® 57).

Si Ton pose

Ml -i- Mj — Wa,

puis

Xq = pao, a7i — puiy Xi - pwj, ifs— pwa-

yo = --p'uo, j'i^ — p'uu yi^-p'ut, yi^ — p'u^y on aura les égalités

î / Ni' I / >'i -^ Ko '^'^

•To

Chacune d'elles exprime que, si l'on attribue à chacune des intégrales qui figurent dans son premier membre l'une quelconque des valeurs en nombre illimité qu'elle est susceptible d'avoir, la somme obtenue est égale à Tune des valeurs en nombre illimité que peut avoir le second membre.

SUBSTITUTIONS BIKATIONNELLES. 63