CHAPITRE XL

SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES DE WEIERSTRASS. INTÉGRATION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

631. Nous rappellerons d'abord quelques propriétés relatives à la forme du quatrième degré

Si Ton y fait la substitution

elle devient

AoZ}-4-4A,ZîZ2-i-6AjZf ZJ H- 4A3Z,Z}-h A4Z5, en posant

Ao= R(Xi, Xj), 4A1 = iiiRx, -+- fAjRx,»

1-2 A, = ii\ R>i -H -i IX, ji, Rx,x, -H [il R{i = Xf R'[,| -hîXt X, RJl,pl, -+- Xf Rj^^ ,

4 A3 = XiRji, -+- XjRji.,, A4 = R(iii, iii);

dans ces égalités, R'x,, Rx,, Rx|, R>.,x., R^i d'une part et R^,, . . ., RJiLî d'autre part, désignent ce que deviennent les dérivées par-

. 1', aR (^R (?«R <^*R c^«R , ,

tielles T— > T— > T-r> i — r-' -rr quand on y remplace Zt, Z2 par

dzi dZi dz\ ozi dZi ozl ^ j r 1 * r

).i, ^2 OU par [JL|, [JL2.

Désignons parH(5|, ^2) 'e hessicn de la forme R(^n ^2), c'està-dire la forme

= («0^2 — a\)z\-^7.{aQa^ — a, a,)z}5j

-i-(aoav-i- 2a,as— 'ia\)z\z\-\-'x(aia,, — atai)ZiZl -^{ata^-aDzl,

64 CALCUL INTÉGBAL.

Si ^2j gi désignent les invariants de la forme R(-3|, 32), savoir

(GXLIII,)

^2= 3a| — 4a,a3-i-aoav,

( ^3 = 2aia2aj-haoaiav — a^a] — oj — aoa|,

et si G2, Gâ désignent les quantités analogues formées au moyen des coefficients A©, . . ., A4 de la forme transformée, on a

Gj-^jôv, G3-^3 5«,

en supposant 5 ^^ X| ^-2 — ^2 [^i • Nous aurons besoin de l'identité

On y parvient en remarquant que le premier membre, multiplié par i44j n'est autre chose que le déterminant

z\K\,-^iz,z,K,z,^z\^',. XJR:2-4-2XiX,R!.,,-^X1R:.^

5ÎR;, -+-2z,^2Rl.>.,-+--iRxi ^ÎRx?H-2X,XîR^^-i-X|Rx^ i

qui est le produit par ^^^ï — ^1^2 de la quantité

-\-{zx Xj-^^îXj)

X? *^Xi

'2. Zt f\

jAj