Notre but est d'intégrer l'équation
où R (5) désigne le polynôme en z obtenu en remplaçant dans R(5|, ^2), Zx par ;; et IÎ2 par i ; nous écrirons à l'occasion R(^, 1) pour conserver la trace de la seconde variable. Nous supposons que R(^) n'a pas de racines égales, et que a©, a\ ne s'annulent pas simultanément, ou encore, que la quantité g\ — ^'j g\ n'est
SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES. 65
pas nulle. Nous avons vu (n" 598), qu'il existait une substitution linéaire z = \ qui changeait -=^= en — ^, où le polynôme
Y = ^y^ — g^y — gz est formé avec les invariants fondamentaux de la forme R(5); les coefficients a, J3, y, 5 de la substitution linéaire sont des fonctions rationnelles des coefficients de R(:î) et d'une des racines de ce polynôme. Chercher une solution z de Téquation (a) qui, pour une valeur de u arbitrairement choisie u = Uq, se réduise à une valeur donnée Zq^ tandis que sa dérivée z' se réduit à une détermination donnée z^ de \/1\{zq)^ revient donc à trouver une solution j^ de Téquation
/dy \*
qui pour a = Wq se réduise à la valeur yo correspondant à :;oj tandis que sa dérivée^ se réduit 'ky'^=z — y/Yo, la détermination
de y^Yo résultant de la détermination de \/K(zo), comme il a été expliqué au n® 398. Or, la fonction pu = p(^u; g*', gi) étant construite, on pourra déterminer un nombre Vq tel que Ton ait P^o =yo, P'^o =yo ; la fonction y = p(u — Uq -j- i «) vérifiera Féqualion (b) et satisfera aux conditions imposées : donc la fonction
^ gp(a — Up-h i'o) -f- p
vérifiera Téquation (a); pour u =:= //©, elle se réduira à Zq^ tandis que sa dérivée se réduira à z^ ; c'est évidemment la seule fonction analeptique qui satisfasse à ces diverses conditions, lesquelles déterminent les valeurs pour ii = Uq de toutes les dérivées de z. D'ailleurs, yo ^^y'o s'expriment rationnellement au moyen de Zq, z^ et de a, 3, y, 5. Le théorème d'addition de la fonction p montre, dès lors, que ;; s'exprime rationnellement au mçyen de p{u — Uo), p'ifi — Wo), vo, z'q et de a, |3, o, y ou de ao, ..., a^ et d'une racine de R(^)5 mais, quelle que soit cette racine, le résultat doit être le même; l'expression finale de z doit donc, en vertu de la théorie des fonctions symétriques, être rationnelle en p{u — Uq), p'{u — Wo)? ^o7^o> ^0? «lî ^^2> «3î ^^4 ; il en est évidemment de même pour z' , Cette conclusion apparaîtra directement T. et M. — IV. 5
66 CALCIL INTÉGRAL.
sur la méthode d^intégratlon de Véquation (a) qiiMl nous reste à développer, méthode qui mettra aussi en évidence ce fait que p{u — Uo)j p'{ii — Wo) s'expriment rationnellement au moyen de >3, z', Zq^ z'^, rto, . . . , «», en sorte que les substitutions qui expriment ;; et z' en fonction de p(u — //o), p'(w — a©) sont des substitutions birationnelles.
Nous nous bornerons au cas où a^ est différent de o; car, dans le cas où Uq est nul, la substitution entière du n** 598 fournit aisément les substitutions biralionnelles cherchées.
633. Avant choisi arbitrairement une détermination de ^Oq^ on pose z == -jz=. y ^ » afin de ramener l'équation {a) à la forme
dans laquelle Ba, B3, B» sont donnés par les formules
Uj = , «3 = ^ ,
— 3a} -t-6rto«î«î — 4«o^i«3-T-«o«*
L'équation différentielle en y est de la même forme que l'équation
que l'on a obtenue au n° 430 et où a est une constante.
En identifiant les deux seconds membres on obtient les trois équations
Bî = — p«, B3 — li'a^ B4 — 9p-a — ip" a = 6|)*a -i- ^ç-j.
Si entre ces trois équations et la relation p'^a^ 4 J>'^ — S^P^ — /T.-» on élimine d'abord pa et p' a^ on obtient pour les invariants g^^gz de la fonction pies valeurs Bi-j-SB^, BoB^ — B' — BJ qui, comme on s'en assure aisément en remplaçant Bo, B3, B4 par leurs expressions en fonction de ^o, . . ., ^t, coïncident avec les expressions (CXLIII,) des invariants fondamentaux de la forme R(:^). Les
SUBSTITUTIONS BIRATIOMiNELLBS. 67
deux équations
(tiXLllIs) pa = 9 p a = — — = — ,
montrent ensuite que la constante a est déterminée, à des multiples près des périodes 2(01,2(1)3.
De ce que la fonction (n" 450)
I p' U — I)'rt
"^ 2 pu — pa
vérifie l'équation diflférentielle en y^ il résulte donc que l'équation (a) admet la solution
I p'u — p'a rti I ai
(GXLIIM { 1
~~ 2aopa-i- ^(aoai — aj)
où les invariants g^^ g^ de j3 sont les invariants fondamentaux (CXLlIIi) de R(5). On en déduit facilement, en utilisant la formule d'addition (CIII5), la relation (*)
(CXLIIIi) ^ R'('5) = a^z'^-\'iaxz -h aj = pu'^p{u -+-«).
L'expression de z^ s'obtient aisément en différentiant la seconde
(*) Ainsi qu'on l'a dit au n*616, les formules (CXLIII) permettent de ramener une intégrale elliptique quelconque à une intégrale portant sur une fonction doublement périodique. Lorsque le chemin d'intégration est donné pour la variable z de l'intégrale elliptique, les diffîcultés relatives à la détermination du chemin correspondant pour la variable u de la fonction doublement périodique, se retrouvent naturellement, dans le cas général, quand on emploie la substitution (CXLIIIj); toutefois ces difficultés disparaissent quand tout est réel, coefficients et variables. D'ailleurs la méthode actuelle offre cet avantage de oe pas exiger la résolution préalable de l'équation R(^) = 0; à la vérité cette résolution devient nécessaire quand on veut effectuer les calculs numériques, ne fût-ce que le calcul des périodes; mais les expressions auxquelles on parvient pour l'intégrale elliptique, sans effectuer la résolution de l'équation du quatrième degré, peuvent être suffisantes, et, d'un autre câté, il est bon de rejeter à la fin tous les calculs numériques, de manière à mieux se rendre compte du degré d'approximation.
Signalons l'application de cette méthode aux intégrales du type / ^ ^ dz.
expression (CXLIII3) de z et en utilisant encore la formule d'addition (CIII5). On trouve ainsi (*)
^'= -^ [pa — p(aH-a)]= --L 2|)w-+-pa -- ^(5 îilL£?) |, V^ /«o L 4 \PM — pa/ J
d'où, en tenant compte de la formule (CXLIII5), (GXLIII4) z' = —— (ap w — ao^* — laiz — a^).
La troisième expression (CXLIII3) de z est rationnelle en pu,
p' u^ \/^oj «M ^21 ^3j ^4; 'a dérivée z' peut donc s'obtenir sous la même forme. D'autre part, l'équation (CXLIII4) montre que pu
s'exprime rationnellement au mojen de -s, z\ y/^o, «i, . . . , et l'équation (CXLlIIs), résolue par rapport à p' u^ raonlre que p^ u s'exprime aussi rationnellement au mojen de 3, z' ^ ^cioy «i, - • .. Si donc on se donne deux valeurs concordantes Zq^ z^ de z on peut
où p esl un nombre entier positif que Ton peut supposer être égal à o, 1,3 ( n*> 019). La substitution (CXLIII3) donne de suite
où c est une constante arbitraire: la relation (CXLIIIj) donne ensuite la suivante
- — "-- « Les inlé-
C zv dz grales du type I » où p est un entier négatif, se ramènent d'ailleurs, par
le changement de -3 en -» A des intégrales du même type, où p est positif, mais
où R(«) est remplacé par un autre polynôme H,(^) ayant les mêmes invariants que R(<z).
C'est par cette voie que l'on a obtenu les formules (CXLIV).
(') Les valeurs de u qui annulent z' apparaissent immédiatement sur la première des expressions de cette fonction : elles sont congrues (modulU auj, jw^)
a » Wp h Wj, — - -+- Wj ; en remplaçant, dans I expression de x,
u par ces quatre valeurs, on obtient les quatre racines de Tcquation R(5) =0. C'est la résolution, au moyen des fonctions elliptiques, de l'équation du quatrième degré.
SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES. 69
délerminei, à des multiples près des périodes, la valeur correspondante Çq de u qui vérifie les équations (CXL1II3 4) et les expressions de j3^o^ p' ^0 seront rationnelles en Zq^ \, ^a^, «i, . ... Cette valeur étant déterminée, si Ton remplace dans les équations (CXLIIl3 4), u par u — ^/o-l-^o> ^^ obtient manifestement, pour 5, une solution de Téqualion (a) qui, pour u= Uq, se réduit à Zo, tandis que sa dérivée se réduit à z^; cette solution est la seule fonction analytique qui satisfasse à ces conditions.
En appliquant à p{u — Uq -\- Vq) le théorème d'addition, on voit que la fonction z ainsi obtenue s'exprime rationnellement (ainsi que sa dérivée) au mo}'en de p(ii — Wq), p'{u — ?/o), -So? ^'o- ^Uqj «i, .... On voit de même, en considérant'successivement les équations (CXLIII4) et (GXLIII3), que p{u — w© + ^0)1 p'{u — Wo 4- Vo) et, par suite, p{u — Wo)? p'(w — "0) s'expriment
rationnellement au moyen de Zj 5', 5o>^oi v'^' ^«» • • •• ^^ ^^^^ encore que Tirrationnelle y/ao doit disparaître des résultats qui ne peuvent changer quand on y remplace ^a^ par — ^Uq, Les substitutions qui permettent d'exprimer z et z' en fonction de p(u — Wo), p'(u — Mo), sont donc des substitutions birationnelleSy comme on l'avait annoncé.
634. On obtiendra les résultats finaux sous une forme élégante, due à Weierstrass, en procédant comme il suit :
£n reprenant les notations du n** 631, faisons, dans l'équation difTérenlielle (a),
XiZ -t- fji| dz 0 ciTL
Xj Z -+- fxj du ( X j Z -+- fjLj )' du *
elle deviendra
C'est une équation du même type que l'équation (a). On voit de suite que les invariants fondamentaux du polynôme du quatrième degré qui constitue le second membre de cette équation sont les mêmes quantités g2 et ^3 que pour R(5). U en résulte qu'elle admet la solution
83 \/Âip'a — 2o*AipM -+- A| Aj — AoA
aô*AopM-t- ^(AoAî — Af)
OÙ les invariants ^2 7 gz de la fonction J3W sont encore les invariants fondamentaux de la fonction R(^)* Il en résulte aussi que la dérivée de Z est donnée par la formule, analogue à la for> mule(CXLlIl4),
(D) ^^ =-i(25«pw — AoZ*-2A,Z~A,).
"" 8 V Aq
On obtient une solution z de l'équation (a) et la valeur correspondante de -T- en remplaçant, dans ^-j — ^> Z par la valeur
que définit réquation(C), et, dans l'équation (D),Zpar J'^ ^ >
(TL 8 dz
■y~ psir 7^ r-:7 "j- • on trouve ainsi
au ^ (Aj-c — Al)* au
/Ao ^ =2(Xj5 — À,)«pM— ^- (Go2ÎH-2C,5 4-C|),
où l'on a posé
Co = Aofx| — 2A1 XjiJLj -+- AjXf,
Cl = — AofXifXî -f- Ai(Xi[jij-+-X,[jL|) — AjXjX,,
Cj = Aofxf — 2A1X, jjLi -H AjX}.
Si, dans les seconds membres, on remplace A©, Ai, A2 par leurs valeurs
Ao=-l(XîRl,-f-2XiX,R3;,^,-^XîR5,|),
As =- -^ (fx? Rxî-+- 2[i, [X, R'x,)., -t- {xî Rxj), on trouve immédiatement
•Nj «|k« >2
^^ "^ "Ti ^^^* ^* ^ Tii ^^«^«' ^' ^ Ta ^^5 ' en sorte que l'équation (D) peut s'écrire sous la forme
(d) /â;^ = a(x,x;-xo«PM--'-(Rli^'-v-2Bx^)^,-5-+-R);j),
r|ui montre, comme l'équation (GXLIII4), que pu s'exprime rationnellement au moyen de z. z'.
SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES. 71
En écrivant que l'expression de -^ ainsi obtenue vérifie l'équation (a), en se rappelant que Ton a A© = R(A|» ^^2), en utilisant enfin l'identité du n** 631, où Ton remplace Z| par :;, :;2 par '> on trouve de suite la relation
I — iX,;: - X,)V'' -i- ^ (Rîî-' -+- 2 Rî..)., z -i-Rxj) J- = o,
où^' a été mis à la place de pu. C'est la relation du second degré en^ et z qui doit (n° 441) exister entre ces deux fonctions doublement périodiques du second ordre. Nous en représenterons le premier membre par
OÙ A, B, C sont des polynômes du second degré en y et a, ^, v des polynômes du second degré en z\ les expressions explicites de ces polynômes résultent de l'équation (F).
Les notations précédentes permettent d'écrire l'équation {d) sous la forme
d'ailleurs, en différentiant l'équation (F), on trouve de suite
( '1 kz ->r B) z -\' {iLOLy -\- P)7'= o; on en conclut, par l'élimination de z\
Celte valeur de z est nécessairement l'une des racines de l'équation (F), considérée comme une équation du second degré en z;
I autre racine serait ^ — ^^•
L'expression ^^^ — ^ ne peut différer de celle qu'on aurait
obtenue en remplaçant, dans yy — ^> Z par la valeur que donne
l'équation (C); cette dernière valeur permet d'obtenir simplement les valeurs de 5, z' pour 11 = 0; en effet, si, dans le second membre
de (C), on suppose pu, p' u remplacés par leurs développemenls en série suivant les puissances ascendantes de //, que Ton sub-
stilue le résultat dans ^^ — —y que Ton ordonne, enfin, suivant
les puissances ascendantes de //, on trouve pour les premiers ternies
pour u = o^ z et z' se réduisent donc respeclivenienl à y- 3 —^'
Ainsi ^' ^-^ est la solution de l'équation (a) qui, pour
Il =z o, se réduit à r-^, tandis que sa dérivée se réduit à -yt '
Aj * Aj .
635. Si, maintenant, dans les calculs précédents, on suppose u remplacé par // — i/^, en sorte que j', y' désignent non plus p//, p'u^ mais bien p(u — Uo)^ <P'(" — ^'o); si Ton désigne ensuite par 3y, z'q les valeurs auxquelles on veut que se réduisent, pour u = Uq^ la solution z de Téquation (^r) et sa dérivée^'; si Ton pose
A| = Zq^ A2 = 1 ; si Ton choisit pour y/Ao = y/R(:;o) 'a détermination qui est égale à 3J, ; si Ton désigne par r(Zy Zo)^ A(^> -^o)? ce que deviennent, dans riiypothcse où nous nous plaçons, les quantités
qui figurent dans Téquation (F), ce qui revient à poser
( r(Zj Zq) = aoZ^Z'-h'iaiZozi z -i- Zo) -ha.y( z^ -+■ .^ZoZ -i- -55) (' > i
A (5, Zq) = (aoOz --ft\) zlz- -h - (aoflTa — aiai)Zi,z(zo-hZ)
Mb
en sorte que la relation (F) du second degré entre z et
SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES. 78
y = p(u — I/o) prenne la forme
si, enfin, on conserve les notations A^^-f- B:; -f- G, olv^ -i- p^-hy pour en désigner le premier membre, la fonction
^^^ '^ = ÏÂ ='- ÏA
est la solution de l'équation différentielle (a) qui, poiir // =^ i/o, se réduit à 5o, tandis que sa dérivée se réduit à ^'^^ ( * ).
L'équation (rf), en tenant compte des notations actuelles, montre que l'on a(2)
/rx / X z'qz'-^ r{z, z^)
c'est la racine de l'équation a^^ j p^^ ^ y = o qui devient infinie pour z-=Zq] l'autre racine de cette même équation est
— z'r.z' -^ riz, Zr^) ,1 ,, . , H(-«o)
-, \, ; pour z=i Zq elle se réduit a — ^-^ — r> comme
2(5— 5o)* ^ '^ RC-So)
on le voit en faisant :; ^ ^o dans l'équation Y [z, z©? y) =^ "•
636. Soit /(//) une fonction analytique univoque qui vérifie l'équation (a)] ce sera, d'après ce qu'on vient de voir, une fonction doublement périodique du second ordre. Il est clair, d'après l'analyse précédente, que l'on satisfera aux équations
F[ZyZoyp{u — Uo)] =0,
^ -^B-hz'^p'{u—Uo) .. , z'^z'-^r(z,Zo)
•2 A '^ ^ i{z— zq)^
en supposant
'5=/("). ^o=/(wo), z'=f'(u), 5'o=/'(ao), et cela quels que soient // et Uq. Il ne faut pas oublier que A, B, G
(*) Notons, en passant, les circonstances suivantes : (ip (jl, n'interviennent pas dans les résultats; r{Zy z^)^ h{z, z^,), pour z = z^^ se réduisent à R(<Zo)f B{Zq) ; ^{^f^û^y) est symétrique en z, z^.
(*) Cette relation est due à Weierstrass ; on en déduit immédiatement l'expression de p'(a — Mo) en^fonction rationnelle de z et de z'.
sont des fonctions entières de Zq et de j , où il faut supposer que Zo est remplacé par /(wo) et^parp(?/ — Uq); dans ce qui suîl, nous supposerons de même que, dans a, ^, v, on a remplacé z, z^
par/(w)ï/("o).
La seconde racine
^B—f'(Uo)p'(u-iio)
de l'équation A :;^ -\'liz-\-C= o n'est autre chose que y(2//o — m), puisque cette dernière fonction satisfait à l'équation difTérentielle (a) el, pour u = Wq, se réduit à /( Wo)? tandis que sa dérivée se réduit à — /'('^o)î ^^ c" conclut
f{it)-hf{2Uo — u) =-— ;^' /{u)/{'Zito — u)= -;
les seconds membres sont des fonctions rationnelles de /{u^), P{u — iiq),
De même
p(u~Uo)- -^|7ô7)-./(e^,)].
est une racine de l'équation en y, oLy- -\- Py-\-'^=zo, Si, dans l'égalité qui précède, on change, en désignant par a, b les pôles de f(ii)t //o en a -f- 6 — Uq, on a
puisque l'on a (n° 433)
p{u-{-Uii — ^^ — ^) est donc la seconde racine de l'équation oLy- -i- ^y -f- y. Puisque, pour u = //<,, elle se réduit à — 5T\» on voit (') que l'on a
En supposant Uq = o dans les formules (i-5) du numéro précédent, on obtient l'expression rationnelle de /(//) au moyen depw,
( ' ) Hbrmitk, Journal de Crelle, t. 52.
SUBSTITUTIONS BIRATIONNELLES. 76
p' II, la relation algébrique entière du second degré entre /(«) el pu, l'expression rationnelle de pu au moyen de f{u)j /'(u) cl l'on pourra en déduire l'expression rationnelle, au moyen de/(w), y(w), de toute fonction doublement périodique ayant les mêmes périodes que f(u) (n**43o).
L'équation (4), en y remplaçant u par u -+• w©? jointe à l'équation (5) elle-même, fournil, ati moyen des formules (ClII), diverses formes du théorème d'addition de la fonction /(w). Le lecteur pourra multiplier les applications en prenant pour le polyaome du quatrième degré (ou du troisième degré), R(:?) les polynômes qui conviennent aux fonctions j3, Ç, sn, ....
637. Regardant toujours z, Zq, z\ z'^ comme représentant/(w), /("o)>/'(w)/'(wo)j puis u el Uo comme des variables liées par la relation // — w© = c, où c est une constante, les relations
du = duo^ dz =f'(u)du^ dzo =/'{uo) dui^ fournissent immédiatement celles-ci :
dz dzo dz dzo
où \/R(z), ^\^.{zo) désignent les déterminations des radicaux qui sont égales 'a/' (u), /'{uq).
On a, d'ailleurs,
F^^ r r.r\^n y/WiT) s/R(Zo) -^ r(z, Zp)
Ces relations, où pc joue le rôle de constante arbitraire, peuvent être regardées comme des formes différentes de l'intégrale générale de Véquation différentielle d^Euler
dz dzo
)/R{z) )/ti(zo)'
cette intégrale, que l'on peut aussi regarder comme obtenue pur l'élimination de Uq entre les équations transcendantes
est algébrique.
