CHAPITRE XII

638. Si l'on considère en général une fonclion/(ari, x^, ..., j*„) des variables oti, Xj, . . ., Xn qu'on puisse regarder comme homogène et de degré v quand on regarde ces variables comme étant respectivement des degrés «i, ao, .... a„, c'est-à-dire pour laquelle on ait, quel que soit ).,

on aura, par une généralisation aisée d'un théorème classique,

Les expressions de g^^^ ^3, y, Tj^, c», ... au moyen de coi, CO3, montrent que, si Ton regarde Wi, 0)3 comme du premier degré, les quantités énumérées sont homogènes avec les degrés respectifs — 4? — 6? — 12, — I, — 2, . . .; elles conserveront ce même caractère, comme aussi leurs degrés respectifs, si, au lieu de les regarder comme des fonctions de w,, (03 on les regarde comme des fonctions de g.^^ ^3, pourvu que Ton regarde ces dernières variables comme ayant les degrés — 4? — 6; c'est ce que nous ferons dans la suite. Dans ces mêmes conditions, si l'on regarde la variable u comme étant du premier degré, les fonctions

sont homogènes (*) et des degrés respectifs 1 , — 1 , — 2,0,1,0,....

(') Dans les fonctions 2r(v), la variable v= doit ùlre regardée comme

étant du degré 0; les fonctions elles-mêmes, envisagées au point de vue où nous

Pour les trois premières fonctions, par exemple, les équations (VI11|^2,3) appartiennent au type (a); il en résulte qu'elles vérifient des équations aux dérivées partielles (6) que nous nous dispensons d'écrire.

Si nous considérons deux fonctions (p et ^ des seules quantités S'^f ff^t ^"^ soient homogènes et du degré o, ces fonctions ne dépendent au fond que d'une seule variable, et, par conséquent. Tune quelconque d'entre elles peut être regardée comme une fonction de l'autre. Tel sera le cas pour deux quelconques des fonctions Âr, Ar', T, q^ 2r(o), J(t), K, K', .... La dérivée de cp, regardée comme fonction de ^^ sera évidemment donnée par les formules

do

dçp ^ d^

agi ' àgt

~ agi ' dgi

639. Nous allons montrer, d'après Weierstrass ('), que la fonction <^{Wf g'it gz) vérifie une autre équation aux dérivées partielles que celle qui résulte de l'homogénéité. Dans ce qui suit, pour abréger l'écriture, nous écrirons i^, s, p, p'^ ... au lieu de

^{^^', g2,g2)f K{u\ g2, gz), P{u; g'2, gz)/-^^^^^^^ ^ ••• et nous continuerons d^employer les accents pour désigner les dérivées par rapport à u.

En égalant les dérivées partielles, par rapport à g^^ gz des deux membres de l'équation p'^ = 4 J>' — g2P — gsy on trouve de suite les relations

, à êp , ^ .dp , dp

^ du dg^ ' ''^ dgt ^ ^ dgi *'

I à dp . ^ .dp g dp

'^ du dgi ^ *^ ° ' dgi ^ dgi

qui fournissent aisément les suivantes

en remarquant ensuite que la dérivée — Aj de -; peut s'écrire

nous plaçons, sont du degré o. De môme, les fonctions snu, cnuy dauj où la ▼ariable ne désigne pas le même u qui figure dans puy mais bien cette dernière variable u divisée par \/e, — e^.

(') Monatsberichte der Berliner Akademie, 1882; p. 443-

7^ -7j — 6 ^> OÙ Ton peut reraplacer -75 par sa valeur tirée de la

dernière des équations précédentes, on voit que Ton peut écrire les trois égalités

p'^ 6 du Ip' àffij 6 du Ip'l

Si donc on considère une expression quelconque de la forme

—/(p)', où/{p) est un polynôme en j3, on voit, en supposant

effectuée la division de/(p) par 4j3' — g2P — gs et en se rappelant que les puissances entières et positives de p sont des fonctions linéaires de p et de ses dérivées par rapport à u (n** 411),

que —Fif{p) peut se mettre sous forme d'une expression linéaire

, ff , â/idp\àridp']

en p,p',p, ...et en^l^j^^J,^ y ^J , expression qui s'intégrera immédiatement. Nous appliquerons cette remarque à la dérivée ,^ de ^; en mettant celle dérivée sous la forme

"~1 /{p) ^^ ®° suivant la méthode précédente, on trouve

d'où, en observant que, après Tinlégration, les deux membres doivent élre des fonctions impaires de w, en sorte que l'intégration n'introduit pas de constante, on déduit, après avoir multiplié

par P\

On intégrera une seconde fois, en appliquant au terme p'Ç du second membre la règle d'intégration par parties, ou plutôt en se servant de l'identité

(pO' = p';-+-pC = p';-p' = p'ç-,7P"-7^'

et l'on trouvera, après des réductions immédiates.

on n'a pas fait figurer de constante pour la même raison que tout à l^heure. En intégrant encore une fois, on obtient

l'absence de constante résultant cette fois de ce que dans les deux membres, développés suivant les puissances de m, il ne doit pas y avoir de terme indépendant de «. Finalement, à cause de la

relation — p -\- 'C^'^ z=: -j , on arrive à Féquation aux dérivées partielles

qui était notre objet principal.

640. En remplaçant, dans cette équation, ^ par <^a(j3 — ^a)"^» on formera une équation aux dérivées partielles que vérifiera d'à, à savoir

Pour y parvenir, on calculera d'abord la dérivée seconde, par rapport à M, de rfa = y/p — ^a^> on trouvera de suite

on a besoin de calculer aussi ce que devient, par la substitution

^ = ^a(p — ^a)~*, la quantité 5 5^1! ^ + '^o» 5^' ^^"^ 1"^°tité, multipliée par y/p — e^^ est égale à

la quantité | g^j -j^ 4- 12^3 -j^ figure dans l'équation (i)-, elle est

8o CALCUL INTÉGRAL.

égale à | j^'^H- 2p'Ç — —* '^^ relations