Appliquons le même théorème à la fonction
la somme des résidus à l'intérieur du parallélogramme sera la différence d entre les sommes 6<-h f>2+'--4- frp et a«-f-a2-h... + av des zéros et des pôles.
On trouve d'ailleurs immédiatement
F( Wo-f-2 0)1 <) — F( Mo -+-2 0)3+2 0)1 <)
/ N »« ^(MoM-20)i«)
F ( Mo -+- 20)3^) — F (Mo -^ 2 0)1 -h 20)3/)
/ .NM W(llo-h20)j/)
= -^(^,-^,a)i-^20)30Mi~20), ^^^^^^^^^^, et, si l'on observe que les intégrales
r' r(Mu-f-20)iO r^ ^(^0-4-20)30 .
L V(UO+20),0' ' / W{Uo-h2Ui,t)''
sont respectivement des déterminations des quantités
c'est-à-dire qu'elles sont respectivement égales à
Ml «0 -h N| -+- 2 ni ?: « M3 Mq -♦- N3 -+- ^ nji iz i , ,
en désignant par /?<, /?3 des nombres entiers, on obtient
[, ... Mitto-h N|-+-2W,ril (Mo-H Wi-f- 2W3)M3 211)3 20)1 J
[ MjWoM-NsM- 2/13^1"] .
— (Uj -4- 0)3 H- 2(01) Ml — 2Uii = 2a7ri. 20)3 J
En tenant compte de la relation (O3M1 — a)|M3 = /i'ni, on en déduit
0),N3— 0)3X1 0)JxVl3— 0)JM, , , .
a = . i -. — 2/10)8 -h 2(/l30)i — /Il 0)3).
Tt TTt
Dans le cas d'une fonction réduite, M| et N| sont nuls et l'on a donc, puisque h est égal à zr^^ ^^ congruence
TZ l
d ^^ ' .^ — //o)i (modd. 20)1, 20)3).
381. Abordons maintenant la recherche du tjpe le plus général des fonctions de troisième espèce.
Si la fonction de troisième espèce est transcendante entière, h désigne, d'après ce que nous venons de voir, le nombre de zéros contenus dans le parallélogramme des périodes : c'est un nombre entier positif. Quant à rf, c'est la somme des zéros. Si Ton suppose la fonction réduite, les équations fonctionnelles prennent la forme (*)
hTZi „
^•(a-+-20),) = ^'(M), U-(w4-20)3) = e <^. ""*"*'^"(w)» dont on a, comme on Ta démontré au n** 274, la solution la plus
(*) Cette forme même montre qu'on ne peut supposer h nul, puisque alors la fonction serait de seconde espèce et se réduirait donc à une exponentielle e*"+*'.
APPLICATIONS DU THÉORfcMB DB CAUCHY. 20
générale, savoir
Nous rappelons que la fonction 4>(m) comporte h constantes arbitraires Ao, A|, ..,, A^< qui y figurent linéairement, et que
l'on a
*(m) = Ao*o(w)-+- Ai*i(u) -+-... -h AA i*A i(a),
en supposant
OÙ v^ suivant notre habitude, est mis à la place de — •
En résumé, si Ton se donne les deux périodes 2a)<, 2(03, et le nombre h de zéros dans le parallélogramme des périodes, la fonction transcendante entière la plus générale qui soit une fonction réduite de troisième espèce sera la fonction ^{u + G), qui comporte les A H- 1 constantes Ao, Ai, . .., Aa i, G; la dernière est liée à la somme d des zéros par la congruence
d^= h{t3ii— i\) (modd. -itoi, 20)3),
qui se déduit immédiatement de celle que Ton a obtenue à la fin du n° 380, en remarquant que G est égal à — 0)3 t~~^'
Enfin, on obtiendra la fonction transcendante entière la plus générale en multipliant 4>(w4-G) par une exponentielle de la forme e^"''^^", où A et B sont des constantes arbitraires; il est inutile de prendre cette exponentielle sous la forme ^^"'-^km-i-c'^ puisque le facteur e^' ne ferait que modifier les constantes arbitraires Aq, A<, .. ., Aa< qui figurent dans 4>(w -f- G).
On observera que le théorème de Liouville n'a pas ici son analogue puisque, comme on vient de le voir, il existe des fonctions de troisième espèce, autres que l'exponentielle e^"'"^®""^^, qui sont transcendantes entières.
382. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer les propriétés importantes de la fonction 4>(w) que nous avons obtenues en passant. G'est une fonction de troisième espèce dont les multiplica-
a6 CALCUL INTÉGRAL.
leurs correspondant aux périodes aw,, awg sont respeclivement
(M -H tl),)
cette propriété n'est autre chose que la définition même de la fonction transcendante entière ^(w); mais nous venons d'apprendre en outre que, dans le parallélogramme des périodes, elle a exactement h zéros et que la somme de ces zéros est congrue modulis 2ûi)| , 20)3 à /i(ci)< H- (O3) ou, si l'on veut, à hiù^.
De la première de ces deux propriétés on déduit que la fonction 3^3 ne peut admettre plus d'un zéro dans le parallélogramme des périodes, puisque la fonction ^(w), pour A = i, se réduit à
âg ( T ) • Ce théorème étant le seul pour la démonstration dii-
quel nous nous sommes appuyés sur la décomposition des fonctions 3 en facteurs, le lecteur a maintenant tous les éléments nécessaires à l'établissement d'une théorie des fonctions S fondée uniquement sur les développements en séries trigonométriques (n® 160) qui les définissent et sur le théorème (n® 274) de M. Ilermite.
De la seconde de ces propriétés, il résulte que si l'on se donne tous les zéros, sauf un, de la fonction 4>(w), ce dernier zéro est déterminé.
D'ailleurs, on peut construire une fonction ^{u) admettant h — i zéros t|, 62? -M ^A-i» et cette fonction est déterminée à un facteur constant près. En efl'et, les A constantes Aq, A|, ..., A^.i qui figurent linéairement dans ^{u) seront liées par h — i équations qui, dans le cas où tous les zéros sont distincts, seront
et qui, dans tous les cas, resteront linéaires en Aq, A| , . . . , A^^i . Ces équations admettent toujours une solution dans laquelle toutes les inconnues ne sont pas nulles et déterminent les rapports mutuels des constantes A^,, A|, ..., A>i<. On ne peut, en effet, se trouver dans le cas d'exception de la théorie des équations linéaires, car, si Ton obtenait deux fonctions distinctes ^(^/), ^\{u) admettant les h — i zéros donnés, le rapport de ces deux fonctions serait visiblement une fonction de première espèce qui n'aurait point de pôle : ce serait donc une constante.
On voit aussi qu'il existe des fonctions transcendantes entières de troisième espèce, qui admettent, dans le parallélogramme des périodes, h zéros donnés &|, 63, . . ., bh* Une telle fonction, si elle est réduite, sera de la forme ^{u -|- C), C étant une constante qui satisfasse à la congruence
AC^Acos — d (modd. 2(0], 2 0)}),
en désignant par d la somme des zéros du parallélogramme. On choisira pour G Tune des solutions de cette congruence, et Ton déterminera, à un facteur constant près, comme précédemment, les h constantes qui entrent linéairement dans <ï>(w-f-C) de façon que cette fonction s^annule pour h — i des zéros donnés, par exemple, pour 6<, 62» • • •> f^h-\ ; la fonction ^(w), qui a A zéros dans le parallélogramme, s'annule pour 6| + C, f>2 -f- C, . . . , 6>^< -4- C ; en désignant par b\-\-G son A'^"® zéro, on devra avoir
bi -HC-f-6i~C-h...-h 6/i i -H C -+- 6), -4- C E= /i (02 ou
d -^ hC -\- b'f^ — bh^ h wj,
d'où Ton conclut
b)i — b/i^o (modd. 2 0)1, 20)3).
On obtiendrait, d'ailleurs, diverses solutions avec des multiplicateurs différents, en prenant pour G les diverses solutions de la congruence.
383. Nous ferons encore sur les fonctions 4>(//) la remarque suivante, qui va nous être utile tout à Theure. Si l'on y pose
les fonctiotis 4>r( w), (/* = o, i , ... A — 1) prennent la forme
4>^(a)= ^ y/i'A-H/ir-H ~ a:nA-hr^
sur laquelle la propriété fondamentale (LVa) apparaît immédiatement; car, lorsque l'on remplace u par w + 20)^, œ ne change pas, non plus que la somme de la série, et quand on remplace u par u -f- 20)3, X est remplacé par q^x^ en sorte que la série se repro-
dult multipliée par
q-hy;-h =: g 0)
Aiit ,
384. Il est aisé de former une infinité de séries , constituées d^une façon analogue aux précédentes et, en particulier, à la plus simple de toutes
qui jouissent de la même propriété, mais qui ne représentent plus des fonctions entières. C'est un point très particulier des belles recherches de M. Appell sur les fonctions de troisième espèce (*), que nous allons exposer en disant quelques mots d'une de ces fonctions, appelée à jouer le rôle d'élément simple.
La recherche des fonctions de troisième espèce les plus générales peut être ramenée, comme on l'a vu au n° 378, à la recherche des fonctions réduites qui satisfont aux équations fonctionnelles
et nous avons montré au n° 379 que h désigne l'excès du nombre de zéros sur le nombre de pôles. On prévoit qu'il y aura deux cas à distinguer suivant le signe de h.
Supposons d'abord que h soit positif.
Il est aisé, en supposant toujours x^=e^^ , de former une série qui se reproduise multipliée par q^^ x"^ quand on change x en q'-x et dont la somme représente une fonction qui n'admette, dans le parallélogramme des périodes, qu'un pôle unique et simple.
/TCU»
congruent au point donné w. Telle sera, si l'on pose y zrz e^^ , la série
xnh
in n^ —
Cette série est absolument et uniformément convergente dans toute région finie du plan de la variable u, qui ne contient
(•) Annales de V École Normale supérieure, 3* série, t. I, If, III. Voir aussi Halphen, Traité des fonctions elliptiques^ t. I, p. 468 et suivantes.
aucun des points u pour lesquels on a q^'^x — y = o, c'est-à-dîre un des points m = tv -f- innù^ -f- 2 ai 0)3, où m désigne, ainsi que /?, un entier quelconque. La série garde même ce caractère dans les régions qui contiennent quelques-uns de ces points, pourvu qu'on en supprime les termes qui deviennent infinis.
Si l'on isole le terme qui devient infini pour u = w, savoir
jp y Y <1t(M — W)
on voit de suite que le résidu relatif au pôle simple iv est t^
rtïbiuu relatif au pôle simple iv est ■ * Si l'on pose finalement
on aura une fonction de u qui satisfait aux équations fonctionnelles, qui admet comme pôles simples les points congruents à iv, et dont le résidu, pour le pôle (v, est égal à i .
385. Nous aurons à envisager cette fonction F(w, (v) tant comme fonction de u que comme fonction de w, A ce second point de vue, il est clair que la fonction F(w, (v) jouil de la propriété
F( w,w -î- auii) = F(w, w),
mais, relativement à la seconde période a(03,ellese comporte d'une façon plus compliquée.
Tout d'abord, écrivons-la sous la forme
F(i/,tv) = — V ^««Aa:'»/'
y — .r<7'" -h xq^"^ xq^f* — y
xnh-^\
= 4>o(w) -»■ — 7 qn^h-^-^n
puis changeons w en w -\- 20)3, y en q^y, n en n -\- i^ on aur
3o CALCUL I!<rTÉGRAI..
retranchons des deux membres la quantité
\¥{u,w) =z\^^^qn*hxnh
xq
la
la série qui (igure dans le second membre deviendra
y qn^hxnh L —y
cl, en prenant pour \ la valeur q^y^ de manière que le numérateur de la fraction devienne divisible par le dénominateur, on obtiendra l'égalité
lie ^n ^ûr^'•ip^^"♦"^ — y^"*"!
F(£^, W -+- 20)3) -- q''yl*V{u, W) = — q^2d 9''"^^"'' nln:r-C '
en elTectuant la division de (^r^^x)^"^* — r^"^^ par q^'^x — y^ on aura finalement
F(w, w -+--2 0)3) = q'*y^ F(ix, w) H 2 yyf^-^q h *,.(«/).
386.' La fonction F(w, (v), envisagée comme une fonction de w, va nous permettre de construire toutes les fonctions de troisième espèce qui admettent, dans le parallélogramme des périodes, un nombre quelconque de pôles et un nombre de zéros égal à ce nombre de pôles augmenté de h unités; elle admet elle-même un pôle et A -h I zéros.
Observons d'abord que les fonctions de u
dV d'^V c?» F
dw dw^ ôw^
sont toutes des fonctions de troisième espèce, avec les mêmes multiplicuteurs que la fonction F(w, (v); chacune d'elles n'a dans
le parallélogramme des périodes qu'un pôle, mais ce pôle est
double pour^j triple, quadruple, ... pour les fonctions suivantes.
Considérons maintenant une fonction ^'(w) de troisième espèce,
hiiz
avec les multiplicateurs i et e "» . Soit w un de ses pôles
APPLICATIONS DU THÉORÈME DB CAUCHT. 3l
d'ordre a, en désignant par A une constante choisie de façon que, dans le développement suivant les puissances de e de la fonction
dans laquelle on a remplacé u par çv -+- e, le terme en ~ manque,
on voit que cette fonction n'admettra plus le pôle w qu'à l'ordre a — I ; on la ramènera de même à ne plus l'avoir qu'à l'ordre a — 2, ..., puis à ne plus l'avoir du tout : les fonctions successives que l'on formera ainsi seront toujours des fonctions de troisième espèce, avec les mêmes multiplicateurs, et les pôles autres que iv ne seront pas modifiés. On enlèvera ainsi successivement tous les pôles, et alors il ne restera plus qu'une fonction transcendante entière de troisième espèce, c'est-à-dire une fonction $(w). On conclut de laque, si l'on désigne par a<, «a» ..., «v les pôles distincts de la fonction V(w) dans le parallélogramme des périodes, par OLi le degré de multiplicité du pôle «i, on pourra mettre ^(w) sous la forme
OÙ l'on entend que, dans les expressions F, j- > t— j» • • • » on remplace, après avoir fait les opérations, w par a/. Inversement, une expression telle que le second membre représentera, quelles que soient les constantes Ao, ..., A^.i qui figurent dans <ï> et les autres constantes A^q\ A\^\ . . . , une fonction de troisième espèce,
avec les multiplicateurs i et e ***• , avec les pôles a/, d'ordre
de multiplicité a, (i = i, 2, . . ., v), et admettant un nombre de zéros égal à A + a, 4- a2 -+- • • • + ay ; tel est aussi le nombre de constantes arbitraires qui y figurent, si l'on regarde les pôles comme donnés.
387. Il n'y a pas lieu de s'arrêter au cas 011 h est nul puisque l'on aurait affaire à une fonction de seconde espèce.
Supposons maintenant h négatif et soit encore ^'(w) une fonction de troisième espèce avec les multiplicateurs
(ll + tùt)
admeltanl, par conséquent, dans le parallélogramme des périodes un nombre quelconque de zéros et un nombre de pôles supérieur de — /là ce nombre de zéros.
Formons les fonctions ^(w), F(iijw) qui correspondent au nombre — A, c'est-à-dire des fonctions de troisième espèce, aux
multiplicateurs i, e**** , dont la première est une fonction
transcendante entière, contenant linéairement — h constantes arbitraires Ao, A<, ..., A a i, et dont la seconde admet dans le parallélogramme des périodes le pôle unique w. Les fonctions
sont de première espèce, et, pour chacune, la somme des résidus est nulle dans le parallélogramme des périodes.
Soit a un pôle de ^(w), d'ordre de multiplicité a, et soit, en posant w = a + £ et en désignant par Bq, B< , . . . , Ba< des constantes, par flP(e) une série entière en e,
W(a + s) = 52+,^i^i.^^« ^...+ ,..,...(a-i)%!+$(e); on aura
<ï>(aH-e) =<ï>(a)-^<ï>'(a) - -i-. . .-h <ï>(3t-ï'(o) ^''~*
OÙ F'(a), F"(a)^ . . . désignent ce que deviennent
dF(tt,iv) ()îF(m, w) du Ou^
quand on y remplace u par a.
Le résidu de la fonction W(ii)^(ii), relatif au pôle a, sera donc
et, la somme de tous les résidus analogues devant être nulle, on aura, en désignant par «i, «2, . . . , av les pôles distincts de ^'{n), par oLi le degré de multiplicité de a/, une égalité de la forme
(*) ^[B<J^^(ai) + B\'>^'(ai) +, . .-^ B^^.,*t».-i)(a.)] = o,
APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CAUCflY. 33
qui équivaut en réalité à — h conditions, puisque cette égalité, devant avoir lieu quelles que soient les constantes Aq , A< , . . . , A a i qui figurent dans 4>, se décompose en — h autres égalités.
Appliquons le même théorème à la fonction ^"(w)F(w, (v) en remarquant qu'elle admet, en dehors des pôles de ^(w), le pôle u = (V de F(£/, w) avec le résidu W{w)^ et nous aurons
d'où, en changeant w en w,
V(m) = - 21 [^0 ' ^(^/' ") -^ ^i'^ ^'(^^* M) -+-... -+- BiiLi F'a.-i^(a,-, M)],
en sorte que la fonction M'(w) est décomposée en éléments simples;
on rappelle que ¥^P\ai, u) désigne ce que devient ^ ' " quand
on y a remplacé u par a/, puis (P par u.
388. Cette forme de décomposition, obtenue par le même procédé que les formules des n^* 338 et 367 relatives aux fonctions de première et de seconde espèce, n'est pas toutefois de la même nature, car c'est le second élément de la fonction F(w,iv), qui joue le rôle de variable, et la fonction F(w, iv) n'est pas doublement périodique de troisième espèce par rapport à cet élément, en sorte que la formule trouvée ne met pas en évidence la périodicité de la fonction W{u); c'est que, en effet, les constantes Bj/^ B'/', ... ne sont pas arbitraires, mais doivent vérifier les — h conditions contenues dans Tégalité (6). Sous le bénéfice de ces conditions, la périodicité apparaît, comme le lecteur le reconnaîtra sans difficulté, s'il veut bien se reporter au n** 383, où nous avons donné l'expression (*) de F(w, (v + 2103). On voit que, dans le cas où h est négatif, si l'on se donne les pôles a/ de la fonction W(u), le nombre de constantes arbitraires qui figurent linéairement dans l'expression de cette fonction est encore
(*) On n'oubliera pas que h doit être changé en — /t, puisque, dans le cas où nous nous plaçons, h est négatif.
T. et M. — III. 3
/i + a,+ a2 +. . .+ otv; c'est, dans tous les cas, le nombre de zéros contenus dans le parallélogramme, en comptant chaque zéro autant de fois qu^il y a d'unités dans son degré de multiplicité.
