CXLV

Oe^ éoi àe,.

ùgt \ie\ — gi dg^ laej— ^,

se déduisent aisément de l'équation ^e\ — g%(^fx — 5^3 = o, et un calcul facile donne (*)

on n'a plus qu'à substituer, dans le premier membre de l'équation (XCII) du numéro précédent, préalablement multiplié par y/p — ^a, les quantités

par leurs valeurs ; le résultat, si l'on remplace d'^ par !îa(3'a, devient

une fonction linéaire de -r— r » t-^» t-^ et de dn\ le coefficient

(>a* ôgi Og^ *

de 3'a, diminué de ^ /^^, se présente immédiatement comme une

fonction doublement périodique de //; celle-ci, si on la décompose en éléments simples, se réduit à la constante eal on est ainsi parvenu à l'équation annoncée.

Observons, en passant, que l'on déduit aisément des relations (C\LV|) les suivantes

(CXLV) ! ^^' ~ ''^^-^^'H^i-e,)* ~i6(j ^^^ "^'^^

641. A l'équation aux dérivées partielles (XCII) que nous venons d'obtenir pour la fonction c3'(//; g^^ g^)^ adjoignons Téquation du type (6)

:r == na' —4^2t- ^^Ç'a t-'

(') On voitduns tous ces calculs se présenter naturellement Topération

Halphen a donné, dans son Traite des Fonctions elliptiques, 1. 1, p. 3oo, d*inté Fessantes remarques sur cette opération.

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉES PARTIELLES. 8l

qui résulle de l'homogénéité, et résolvons ces deux équations par

rapporta^ — , -r — ; nous obtenons ainsi les relations (CXLVl^).

L'équation aux dérivées partielles (XCIII) obtenue au numéro précédent pour la fonction ^«(m; g^^ gz) et l'équation du type (6) que vérifie cette même fonction, toute pareille à celle que nous venons d'écrire pour rf, fournissent de môme les relations (CXLVIj). De même aussi, en adjoignant à chacune des équations (i), (2), l'équation aux dérivées partielles du type (6) relative soit à la fonction p, soit à la fonction 2^, nous aurons deux groupes d'équations du premier degré d'où l'on pourra tirer les dérivées par rapport à ^21 gz des fonctions p, Ç; le lecteur trouvera leurs expressions dans le Tableau de formules (GXLVla^v).

642. Les expressions (GXLVIs.t) de ^, $^; ^% |^; ^^il, —^ se déduisent aisément des formules (CXLVI|2). Les formules

(CXLVIg-o), qui sont dues à M. Hermite (*), en sont une conséquence immédiate; il ne faut pas oublier toutefois, en établissant ces formules, que si l'on désigne par u l'argument des fonctions Ç, celui des fonctions sn, en, dn est wy/e, — ^3 et dépend donc de g2 et de ^3."

643. Il est aisé de déduire des formules (CXLVl3 4) les expressions des dérivées de coa, T^a par rapport à ^2, ^3. Si, en effet, dans p' Il et dans Çw, on remplace u par une fonction de gat gz, les dérivées partielles par rapport à g 2^ g^ des fonctions ainsi obtenues seront évidemment

du f) dp . du d dp du dt du dt

dgi du dgi '^ dgi du dg^ '^ dg^ dgt *^ dg^ dg^

où -T^> •••>T^ conservent le même sens que dans les équaàgt dgi 1 ^

tions précédentes. En supposant // = coa, en tenant compte des équations (CXLVl3 4) et de ce que p, p', p'\ p"', Ç se réduisent

respectivement alors à e», o, 6el — — » o, y^a, on trouve sans peine

( ' ) Journ.de Crelle, t. 85, p. 248. Koir aussi M.EYERy Journ.de C relie, t. 56, p. Sa 1. T. et M. — IV. 6

82 CALCIL INTÉGRAL.

les relations (*)

(CXLV3) ^ 6t \ I

6i4. On voit que (Oot, iria, considérés soit comme des fonctions de ^2, soit comme des fonctions de ^3, vérifient un système d'équations diflférentielles (ordinaires) linéaires et homogènes du premier ordre. Chacune de ces quantités vérifie donc une équation différentielle (ordinaire) linéaire et homogène du second

( * ) De ces relations et de la formule (XIII-,) on tire aisément les suÎTantes

^ <*>3 . O'ig'a v^/7 à w, -0), gr^

33g-iLJîÎL..^, z^q±.

agi «<*>! 2WÎ '' Og2 ï(t03-i-W,) b>

qui permettent, dans le cas où ^2 ^^ g^ ^^^^ réels, et suivant que Ç est positif ou négatif, de reconnaître, en supposant g^ fixe et g^ variable, dans quel sens varient les nombres réels et positifs dont les dérivées par rapport à g^ figurent dans les premiers membres, et, par suite, de quelle façon varie le rectangle des périodes.

i" (ji > o; 0),, (03 ont le même sens qu'au n* 590. Le rapport -r-^ ou — » lorsque

^'2 croit de Sy^^j à -+- x, diminue de -+- 00 à i, ou croit de o à i, suivant que g^ est positif ou négatif. Les valeurs limites se déduisent des expressions de x, x' an moyen de x, en remarquant que, d'une p^rt, gn étant un peu plus grand que

^V gh ^2 est voisin de e^ ou de e,, x est voisin de o ou de i, suivant que Ton a gi > o, et, d'autre part, que, g^ étant voisin de -+- oc, les racines e,, c,, e^ sont respectivement voisines de ^^, — ^, — i^', en sorte que x est voisin de-» Pour

^ gz ^ 2

gi = o, on a w, =■ ICO,.

2" ^i*<o: w,, w, ont le même sens qu'au n* 565. Le rapport -: — î— ou

— : -i lorsque g^ croit de — » à 3y/^3, croit de i à -h x, ou décroît de i à o,

suivant que l'on a ^3^0. Pour ce qui est des valeurs limites, on les obtiendra en se reportant au n** 565 et aux formules (C\X4), en remarquant, d'une part, que g^ étant voisin de —oc, la racine réelle e, est petite, tandis que le coefficient de i est grand et positif dans e,, grand et négatif dans e,, en sorte que x est

voisin de |, et, d'autre part, que, g2 étant un peu plus petit que ^y gl^ le coeflicient de i est petit dans e, et dans 63, en sorte que le coefficient de 1 dans x est très grand et négatif ou positif suivant que Ton a ^.,^0. Le rapport considéré

est égal à y/I ou à -p» pour^j = o, suivant que ^, est positif ou négatif, comme

il résulte aisément du n*" 551. Il est égal à i pour g^ — o.

ordre. Le caractère de ces équations et la propriété de leurs coefficients d'être des fonctions algébriques de g^^ gzi ne sont pas altérés si, d'une part, on change de variable indépendante, la nouvelle variable étant liée algébriqueriient à g^^ ^3, et si, d'autre part, on multiplie soit coa, soit T^a^ p^^* i^ine fonction algébrique de g2tgz' ï^" multipliant ainsi a)a,T|a par des fonctions algébriques homogènes de gi^g% qui soient respectivement des degrés — 1,1, et en prenant pour variable indépendante une fonction algébrique homogène x de g^^ g^ qui soit de degré o, on voit que les fonctions A, B de degré o, qui remplacent Wa, Tj^, vérifieront un système d'équations différentielles linéaires (ordinaires) du premier ordre de la forme

dk dft

— = PA -+- OB, ^ = RA -h SB,

où P, Q, R, s sont des fonctions algébriques de la seule variable jr, comme le montre immédiatement la considération de l'homogénéité. Chacune de ces fonctions A, B vérifiera une équation différentielle linéaire (ordinaire) du second ordre.

Les renseignements qui précèdent et la remarque que Ton a faite au n° 638 suffisent pour former les équations de cette nature. Pour X = k'^^ A = K , B = E, on obtient ainsi les relations linéaires

(CXLV4); des relations analogues pour , , > , , ^ s'en déduisent

par le changement de k^ en A*'^. On retrouve de cette façon l'équation du second ordre (CXLV5) que vérifient K et K', équation qui a joué un rôle capital dans le Chapitre VII, et, d'autre part, l'équation (CXLV5) que vérifie E; celle que vérifie E' s'en déduit aisément. Si l'on pose

on obtient de même les relations (CXLVo^t) : Téquation que vérifie A est due à M. Bruns.

64o. Les équations (XCil) du n" 6i0 permettent évidemment d'obtenir les dérivées des quantités g^2j gz psir rapport à u)| , lOj, et l'on pourra ensuite remplacer les systèmes d'équations où figurent les dérivées par rapport à Uf gaj gz par des systèmes d'équations

OÙ figurent les dérivées par rapport à w, toi, (1)3. Pour les fonctions homogènes et de degré o, on pourra introduire, au lieu des

deux variables u)|, 0^3, la variable unique t= ~> et l'on prévoit

ainsi le lien des équations (XCII), (XCIII) que vérifient les fonctions (^, dg^y avec l'équation

(XCIII) g 4,,-g=o

du n® 166 que vérifient les quatre fonctions 27.

646. L'équation aux dérivées partielles obtenue pour la fonction rf jouit de propriétés importantes (^) sur lesquelles nous ne nous arrêterons pas. Nous nous contenterons d'indiquer l'usage commode qu'on en peut faire pour obtenir les coefficients du développement en série entière de la fonction (i u.

Comme ^{u; g2-, gz) est une fonction (transcendante) entière de w, g2y gz son développement est de la forme

où a, p, Y sont des entiers positifs ou nuls ; les coefficients Ca,p,Y ont des valeurs purement numériques qui dépendent de ces entiers. De ce que la fonction (^(w; gi^ g%) est homogène et de degré i, on déduit, en lui appliquant la formule (6), que les trois indices a, ^, y d'un même coefficient Ca,p,y sont nécessairement liés par la relation — 4^ — ^? + T — 1 = 0; il en résulte que, si l'on met le développement cherché sous la forme

et si, pour la commodité des calculs ultérieurs, on met Ay qui est une fonction entière de g^^ g^ sous la forme

Av = ]^a,„,„(Ç)'"(6^3)'S

où am,n est un coefficient purement numérique, m et /i sont des

(') Voir Weierstrass, loc. cit.; Halphen, tome I, page Sog.

entiers positifs ou nuls qui vérifient la condition 2/?i + 3/î = v. L'équation (3) fournit d'ailleurs immédiatement, pour le calcul des polynômes Ay, la relation

«^Ay-l 2 , C^Av-1 (V — l)(2V — l)

qui, sachant que l'on a (IX,) A© = i , A| = o, permet de calculer aisément ces polynômes; en y faisant

elle prend la forme un peu plus simple

on peut aussi se servir de la relation

— \(im -+- 3/1 — i) (4m + 6/1 — i)a,„i,„,

qui en est une conséquence immédiate. On retrouve ainsi les nombres qui figurent au Tableau (XCII), nombres déjà obtenus (*) au n® 407 par un procédé moins rapide.

L'équation auT dérivées partielles (XCIII) permet de même d'obtenir les coefficients du développement de (^«w. II convient toutefois de l'écrire autrement en y faisant figurer la dérivée partielle -T-^* Dans l'équation envisagée les dérivées partielles sont

prises en regardant rfa comme une fonction de w, ^2? gz', si Ton regarde s'a comme une fonction de w, o^j, ^3, ^a, on devra tenir compte de ce que e» est lui-même une fonction de ^2» ^3j et l'on

aura, en désignant par ( ^— ^)' (3—^)' i'ir^) '^^ dérivées partielles de s'a, prises dans cette nouvelle hypothèse,

-"-mMmm-

( * ) On trouvera dans les Formules, etc., de M. Schwarz les coefficients a^^„ pour toutes les valeurs de ftIj n telles que Ton ait a/n + 3/t^ 17; les quantités que M. Schwarz désire par a^ „ sont, en conservant nos notations, égales

En remplaçant dans Féqualion (XCIIl) et en se rappelant que

la quantité T.g\-T-^ 4- 125^3 —^ est égale à ^ (ôej — g^)y on trouve Téquation

^' - F! (ê) — • (S) - 1 '"'- -1 (if) - h ' s -] '— ^

^x est une série entière en u dont les coefficients sont des polynômes en g2y gzt <?a qui peuvent être ramenés à ne contenir e^ qu^au second degré, au moyen de Téqualion f\e\ — gi^^ — ^3 = 0, en sorte que l'on peut poser

rlV

^a = 2 (A;+ Bv e« + Cv e« ) ^ , Av = 2 a™. „ ^« g^

où ûflîi^.nj ^mU? ^l^U ^^^'' ^^^ coefficients purement numériques comme il résulte de Thomogénéité. On trouve sans peine, au mojen de l'équation précédente, les relations

()Av-i 2 ,c)Av-i 2 7 r- (v— i)(2v--3) .

,. c)Bv-i '^ 0 ^Bv i 5 ^ . (v — i)(2v — 3)

qui, sachant que l'on a (XI7),

Ao=i, Bo = o, Go = o; Ai = o, Bj = — 1. C| -^ o,

permettent aisément le calcul des polynômes Av, Bv, Cv-

TABLEAU DES FORMULES

Développements de pu et de ^u en séries. p M = — -+- Cj u' 4- C3 «^ -h C4 M« -T- . . . -+- c^ a""-* -h . . . »

Il s D 7 -2 /• — I

is.j. 52.13 •2».7^i3 ' 28.3.31.7.11

•a9.3*.")5 i3.i7 9.».3.5.7».ii2.i3.i7

•2". 3'. 55.13*. 17 •>>.7'. I r^. i3*.i7. 19 '2*. 5.7*. i3-. 19 (r — 3) (^r -4- i)Cr= 3[C2C;.2- Cscv-a-»- CvC;^'»-h...-4- Cr-jCj] pour r > 3.

Déi'eloppement de ^u en série.

frl |-2i^3 \ A'î«-3' = O.

TABLEAU DES FORMULES. 89

XCII (suite).

En posant on a

C^Ay-l ,6^,^Av-> (V-I)(2V-|)

— ^ (2/1H- 3/1 — \){^m -4- 6/1 — \)am-\,n'

A, = - ^S A, = - 6^3, A, = ~ I ^î, Ai = — i8^,^3r A«= ^^3 — 2i6^J, A7 = — g\gz.

«0,0=1, ai,o = - I, «0,1 = — »> «2,0 = — 3', «1,1 = — 2.3, [«3,0 = 3.23, ao,j = — 2.3], «1,1= 3«. 19, [«4,0= 3.io7,«i,, = 2'. 3.23], [«3,1 = 2'.3*.3ii, «0,3 = 2'. 3. 23], [«5,0= 3'.7.23.37, «j,i = 2*. 3'. 5.53],

[av,i = 3*.5. 20807, «1,3 = 2*.3.5*.3i], [«j 0 = 3'.3i3.5o3, «8,5 = 2'. 3*. 5.37. 167, «o,v = 2'.3.5*.3ï].

Développement de ^^^11 en série,

rîV

M = 2 ( Av -f- Bv ea -i- Cv e\) -^ ;

du^

'^»- 5i ' A,— ^^;— + — — , A,= jï ,

B,= o, B, = -i, B,= o, 8, = -^?, Bt = ili|£-',

B 3VÎ 3».:)^,^3 R 33.401^3' . 3.7.1 l3^i,

Co=o, Ci = o, C,= -3, G3 = o, C4 = ^^,

r 3'- ^^3 p 33.ii^î 33.7.13

XCIII (suite).

. «^Av-i 1 , <^Av i ^v — i)('2v — 3) . ^ o 7 r

Av = '^^'-^^ + 3 *■« -5?r ~ ^ 6 " ^«^*- - 3 ^»«v-^ 4 ^»<^'

u «^Bv i a , <)Bv i (v — i)(2v — 3) -, ^ n A

Les quatre fonctions 3r vérifient 1 équation -r-j =4^* x: "

Développement de Jlf)(«/, j/q) ^'^ série.

« / X 3'(u-+-Mo) r » r w* a' II" "1

tf w 3^ Wo ML ^ ' 3 ! /» ! J

a^ — I, 3t, = 0, aî = — pMo, «3 = — p'uo, «4 = — 3p*ao-+-^^i, a* = — **pii#p'««i

9.0 a«= — 5p»Mo — /TiP^o-^ -r-<?3, «7 = — 3p» 1^0 P' "0 — 3^1 p'wo;

/< — 3 pWo '>-Cj îCr I ^'^\

(/i — i)! (/i — vi)! (/i— i)! (71 — 2/')! ' \ -•«/

où l'on a /'i — et où cj, C3, . . ., Cr sont donnés par le Tableau (XGI ).

Développement en séries des solutions y de Inéquation dijférentieile

J = a^'* -f- oy^ -r- c.

et, en supposant a -f- ^ -t- c — o,

y -^ , + ( A<,'> + Ai") '±',+.. ..,- (Air' -f- Ar, -. . .-- AS,-) s -+-•■• •

sont des solutions de l'équation différentielle, si Ton prend pour les coeflicients A les valeurs qui suivent.

TABLEAU DES FORMULES

XCV (suite).

= îi«.3.a«, A'i»> = x'iJjab, AJ,») = ^« -4 2*.3ac;

= 2*. 3*. 5a», A',»» = îi».3.5.7a«6,

= 2».54ia6»-r-2».3».5*a»6c, Ai^^= 6*-+-2».3î.i7a6«c-r-2^3».7aîc2

= •>.«.3*.5«.7a», Ai5)== 27.33.>«.7.iirt>^,

= 2*.3'.5.7.ii»a>6«-f- 27.3*.5.7.iia*c,

= •2*.3.5.ii.227a«6»~-2«.3*.5.ii.i3d»6c,

= 2.ii*.6ia6*-î--2^3».ii.i39a«6«c-f- 2«.3'.7.ii«rt'c»,

= 6»H-2».3.46ïa63c-i- >>.33.3o7a«6c«;

= 2««.3».5«.7.iia«, A')«î= 29.3*.5*.7.ii.i3a«6,

= 2».35.5.7.ii.i3a»c-t-2".3».5.7.ii.i3.43a*6«,

= 2*. 3*. 5. II. 1 3.53 «^ 6c -T- 2^. 3*. 5. II. i3.479«»6»,

= 2*.3*.7'.ii.i3a'6*c -t- 2". 3^.7.11.13. i7rt*c*-+- 2'. 3. 7.1 i.i3.63ia'6S

= 2*. 3'. 5. 7. i3. i37a'6»c -f- 2^. 3*. 5. 7.13. io3rt'6c' -h 2*. ).7.i3.73a65,

yn^x)- (2r — i)2raAi.^\H-(2rH- i)*6 AJ."' -4- (2r-h 2) (2/--- 3)c A;.«\

AJ.'*^ = o pour r<o et pour r"^ n.

Ai»

K' Ai»

Ai' Ai»

Ai»

Ai'

A«« Ai»

Ai»

y-: cnw.

y~ ànu.

ZeoL

3ea

ga CALCUL INTÉGBÀL.

Valeurs pour u = o des dérivées de snw, cnw, dna.

sn'(o) = i, -sn"'(o) = i -+- A «, snt'J(o)= i -+- 1 4 A-* -+- A:*,

— snt'"Ho) = I -+- i35A:« 4- i35A:*h- A^,

sn<"> (o) = I -+- 1228 A»-+- 5478 A*-M228 A6 4- A«,

— sn^»'' (o) = I -+- 1 1069A-* -+- 165826 A* -h 165826 A« -h I loôgA* -+- A-«o, sni""^(o) = i-+-99642A*-+-449435iA*H-i3i8o268A«

— snt"'(o) = I -+- 8968o3A« -h 1 16294673A* -+- 834687179^»

-+- 834687179A8 H- 1 16294673 Aïo 4- 896803 A»« -h A-i*.

cn'(o) = -i, cnt«v)(o) = ( i)v[n- A^^U"» -f- AÏ^^A-^-h...-!- ASIjA-sv-ï], (In'(o) = -- A*, dn^«v)(o) = ( i)v[a;^J j A» -h AÏ'ljA* h-. ..4- A<J" A-»v-« ^ >t«v] ;

Ay^ = i; A<,»'=4; A'4') = 44, Ai») = i6; Ai*' = 408, A^/) = 9i2, Af3*' = 64; Afi«' = 3688, Aï/' = 30768, Ai»> = i58o8, AV»' = 256; A\«' = 33212, A',«) = 870640, A'3«) = i53856o, A'^«^ = 269328, A^^' = 1024 ; A^'J = 298932, A^^^ = 22945o56, A',7' = 106923008, A'J' = 65008896,

Ai7J = 4180992, Al,-' = 4096.

^» 4 ,,. /., ... /Tz 4

(e,-ej)« ,6(e, — ej)6

Dérivées de pu en fonction linéaire des puissances de pu.

TABLKAU DES FORMULES. 98

XCVII (suite).

^2'.>.7.ii'^ 2«.7.ii «s. 3.5». II '

1 / 3ffi 7/rl \ ^D^-lT/g-l^g-a .

Vv>.«.7.i3 -i».!».!}/* a«.3.5«.7.ii.i3'

-^p'""(«) = p««-'^p««-^fîp.aH--i^p'«

a'.3.>«.7.ii ' ' •2».3.")».i3 •2'.5.7».ii.i3

XGVIII.

Les dérivées d'ordre pair des solutions y de l'équation diiïérentielle -^ j = a^* -h 6j^5 -f- c s'expriment par la formule

où les coefficients A}/", A^"', Al/*', ..., A^,f' sont donnés par le Tableau (XCV;.

îio(") = 3ea£ao(w)-+-aîio(")' îïoOO = (45eî-3^,)?ao(w)-+-6oeaÇào('*)-+-24Uo(")'

9^ CALCUL INTfiGRAL.

XGVIII (suite).

sn'a = — (i M- A') sn w -+- iA* sn'i/, cn"w = i^ik^ — I) cnw — o.k^ cn^/f, àïï" u = (i — k^) (In M — adn'w:

sn'* w — (i -+-i4A:*-h A**) sna — 9.oA*(î -I- /:*) sn'« -r- 24 A* sn*//. cn'^M = (i — i6A*-i-i6A:*) en m h- 2oA*(i -— 2A*)cn'w -h 24/:^cn5w, (In'W/ = (i6— i6A:»-l- A-*)dnM-+- 2o(A-*— 2)dn3M -r- 24dn*M.

2[JLWi -- 2V(0:ï

(2) ntiinu) = ^Ç(a — apt.v) — /i(/i — i)tj,,

IJl.V)

(3) w«p(/ia) = 2p(m — a,jL,v),

<!A. V) (JX.V)

( fl =*o, 1 , 2, . . . , n — I ; V — o, 1 , 2, . . . , /i — i ) :

{'}) ^(iu) = ■}.:fu -—^—^ ^ —^, £-î^? ',

CTWi 3*102 O^Wg

(<>) 2 Ï(2W) = ÇW-H Ç(« — (0,)-h Ç(m — Wi) -+- Ç(W — IO3),

(7) 4p(2W) =pM -;-p(w — w,)4-p(M— wj) -^ p(u — tOa).

I Ça" — Ça(w-f-tT)-f-Ça«=(^a— ^?)?o?(o)[?ya(") ?ra(" "+-<') — Syo(< I ) <

l î« — Çp(w-Ha)-hÇy« = îpv(a)£ao(M)$vp(M-l-a).

5«o(w)5{so(«^-+-«) = $po(«) $Yo(") — Sao(«)£yo(« -Ha), (^?— ^a) ?oa(") ïya(" + o) = $po(«) î?a(w) — $ao(a) $pat(«^ -H «),

-T- (e^ — CR) îayCa) $as(w -f- a).

•p)ïay(«)$ap(w-f-«).

TABLEAU DES FORMULES. <)5

Z( M) -+- Z(a) — Z(m -t- a) = a* sna snu sn(u -+- a)

— — î [en a — cnu cn(u -h (i)\ — [un a — anMdn({/ -r- a) ;

dna "^ '■" cna*- ^

snacnadn(M 4- rt) = dna sn(a -h f?) — en « snw, ena en w dn(M -- «)•= dna dn u cn{u -t- a) -+- A'* sna snM. dnaenw sn(a -f- a) = sna dn(M -i- a) ~r- »nu cn(u -h a), A* cna ena en(;/ -T- a) = dna dnw dn(w -+- a) -- A*'* ;

,, / V ,, sn(wH- a) r . , T

— A'snasnasn(t/-i-a) — a* r — [en (m -r-a) — en a en// 1

dnia-f-a;"^ ^

— ^rdn(aH-a) — dnadn// ,

cn(u -ha)*- '

^ ' J sn(a -+- a) ena dn/^ = dn(/i — a) sni^ -T- en(/4 -+- a)sna,

cn(i^ -r- a) ena dnw = dn(/f-r-a)en u dna — A'* sn(^/^-f-a} sna,

dn(u -f- a) ena sn w = sn(// -i- a) dna — sna en u.

(3) EK'-f-E'K — KK'=-;

(4) A-isn«a = Z'(o)~Z'(//), Z'(K) = Z'(o) — A*,

ru p

dn<a£?/i = r^ 1/ -+- Z( /i),

/*" A* snaenx dnasn*a , , ^ 1, B(« — //)

Il(w,3l)= / r; ; ; du = uZ( H) -\- - \os ;

^ ' ' / I — A« sn*asn«/f ' 7. ''e^a-T-//)

u= I dnudu^ eoama = am(K — a), (6) { sinami^ = sna, eosam// = ena, Aam</ = dna,

am(/iK) = /i — > am(M -i-'2/iK) = am// -H /iir, ain(— //) = — am//.

Cil (suite).

E = E(K)=y dn\{u,k)du,

E'= E(K') = f dn»(a, A')rfa,

(10) n(K,a)=:KZ(a) = KE(a) — aE;

cm.

Formules d'addition de Cm et pu.

^ ' -«-T-T. '1 pu — pa

I d fp'u zz p'al ^^ ' ^ 1 duypu — pa \

1 ^ ^ pu — pa

f Ç(a-va) — C(w — a) — 2Ça = ^-^ — ;

l p(u -^ a) -i- p{u — a) — ip u = ^ —^ ^*

] *^^ ^ (pu^pa)*

i / \ f N p'up'a

I p'u — p'a [p(a-+-a) — pM][pa — P^JH-lp'w

] 1 pu — pa pu

__ [p(u -h a) — pa][pa -- pu] -h j p'^a ^

^^^ ^^ ^ 2(pw — pa)* '

(5) p(M±:a)-^pw-+-pa= - ^^-^*^- ;

4L pw — pa J

TABLEAU DES FORMULES

cm (suite).

(pupa-h^j -^gz(pu-\-pa)

(pu — pa)*

p(a-i-ù) — p'(a-hb)

pu p'u \ pa p'a pb p'b

p'a^p'b __ p'b — p'r p'c^p'g pa — pb pb — pc pc — pa

pbp'c — pcp'b __ pcp'a — pap'c pap'b — pbp'a pb — pc pc — pa ~~ pa — pb *

[a -^ 6 -h c = o, modd. 2U>|, 20)3].

\(pbpc-hpcpa-^papb-\'^) ={ipapbpc — g{){pa-hpb-{'pc)', (lo) / \ 4 /

( fa z± ^ dbc ^ o, modd. 2a)|, 9.0)3].

(ipapbpc — ffi)(pa-{-pb-hpc)

— (pbpc-^pcpa-^papb-^Y)

(II

^^a^'^bcf^c

^—(pb—pc)*[pa "Pib -hc)][pa — p(b — c)] ^ — (pc— pa)«[p/> — p(c -^a)][pb — p{c^a)] = —{pa — pb)^[pc-'p(a-hb)][pc—p{a—b)];

/ p'a — p'b ^ p'c—^p'd p'(a -hb) — p'(c-hd) \ pa — pb pc — pd p{a-\- b) —p(c -h d)

j p'a — p'c p'b — p'd p'{a-\-c) — p'(b-hd)^ \ pa — pc pb — pd p{a-hc) — p{b-hd)'^

I puo p'uo ... p^^-^Hwo)

I pui p'ui ... p^^'^'Cmi)

I pu,i pu,, ... p^'»-*^(i/«) T. et M. - IV.

= (— i)«i! 2Î ...ni

^{Uo-h 1*1-+-.

a'«-^>aoa'«-*-»a,...o"»-^»

ill''^ ««-«?>

(«.fJ)

CALCUL IXTtGBAL.

^2/7 0)]+ 2 ârW] ,

ap^q=-^ — ; (/? = o, I, 9, ..., /i — i; <7 = o, I, a, . .., /i — I).

[i!2!...Ui — !)'•]

(3) Vîv-hi(w)= (2v-i-i) JJ (pw — pao,^) J][ J][ (pw — i>«/»,7)-:

^ïv(M) = 4vp'a J][ [pa -p(wj-4-rt^,o)l Jj[(pw — P^o.v)

X j][ [p"-pi"^i-^«o.7)]ix H (pw— p^p.wî

;y = l <7 = — iv — l)

'*^ ^ M.L j i-^t \^ excepte /? = çr = o /

p(/iM) — pw — —

^1 2Wi\/ 2t0j\/ "^.W-A/ 2W|— 2tO.,\ = 3^p£/-p-j-*j(^pM-p-^j(^p//-p— j(^pW-p :j y

= 8p w(^pw-p-j(^p«-p— j [ï^^t'-ï^ T/v'""*^' — r~'j

^pU-p ^to, -f- ^jj ^U - p ^(03-4- '-^jj

TABLEAU DBS FORXIILES.

La fonction h(v) est une détermination de logsinTic holomorphe dans tout le plan de la variable v, où l'on a pratiqué une coupure, le long de l'axe des quantités réelles, de — oc à o et de i à H-». Elle est déterminée par les inégalités suivantes, où Ton suppose ç = a -\- bi, a et b réels, n entier et où les logarithmes doivent être remplacés par leur détermination principale.