A = OB

'•' '-^ ' - > I.rh^. ' > l'-y- r&^

,„„<|!. = ,2<"-)ri^ = iï;'""ô

îii-l

n'rrl « = 1

Intégrales des fonctions doublement périodiques,

pt"' a giP'^u 5gi pu ^'^^

II! -2.5 7I 2.7 5! 2^.3* 3! a^-S-y.!!"* \'2*.7.ii S.ii/

- r^"'^^ . Ti;* p^"'^^^ ^ /?;3 p;^ . lg\ P'"u ^.i-Jgtgt P^«

' iJ: 2«.5 9Î 2* 7'. A». 3.5 5! 2*. 5. II 3Î

/ 7-^'^i 5^1 \ ^ 433jSr|^,fi

TABLEAU DKS FORMULES. lOQ

CXI (suite).

* ~" i5! 5 II! 7 9'. 2*. 3. 5* 7! 7.11 5!

/ 6t^î 3.3iAi\p^a i67^|>g-3 / 13^1 7^»^! \ ^.

V2*.5».i3 2«.7«.i3/ 3! 2».3.5.7.ii^ \2».7.i 1 '2«.3. j. 1 1 / '

p<'^>M 3«^i pt">f/ .3Vj P^"'^ 3.i3^j pt"'>M 3«.i3yg-t^3 P^'^a '~ 17! "^ 2«.5 i3î "^ 2«.7 II! "^ 2*.5« 9! "^ 2^5.11 7Î

/3.47/g'i ■ 3».53^«\p"ii 3».i8i^,V>p'a ■^\2*. 5«.i3 2*.7«.i3/ j! 25.5«.7.ii 3!"

/7.ii^» 3».223^,^î \ ^^ ^ / 7ffi ^ 383^1^, \ ^,

\2'.i3. 17 "^ 2*.5.7. II. i3. 17/ ** \2. 5. 11.17 2^.7. 1 1. 13. 17/

p^'^"^y/ /ç;, p^""'/^ 2£^ P^"^M 29^1 pt"^ff 3.T7>trty?'3 p^""^ u 19Î 2 id! 2.7 i3! 2*. 3.5 II! 2*. 7. 11 9!

^ / 3i. 1453^1 ^ 3.ij87iA^t.jrî\ jVw ^ \2'.3.5».i3. 17 2*.7*.ii . i3. 17/ 3!

\2*.7.i 1.13.19 ^ 7. i3. 19/ "• \2*.7. II .i3. 19 "^ 2*0.7. 1 1. 19/

Kf/») R(/l),

où

( r = o, 1,2, . . . , /i -h i) ; B^/*' = o pour /• < o et pour r > n.

J == r__?ffi__.

lOg ^, = — 2Wrt'H-p i^.Ji,

J. Ç(„ (,) i Ç( a -H i.) = Afo'a -h A^jOU, -+- AV>U„

^p(a - i;) — lp(a -^ P) -: Afo>)a -T- AVU|-i- Ai»)J,H- AyUj,

1 p'( w — t>) -h A p'(a -f- 1') ^ Ao«> u -i- A',*U, + Ai*) J,-T- A'3*) J3-+- A'^^'J^,

I p(/i)(a — i') — -J-p^w^C— w — P) = A'J'^^Wi -+- A«/»+») J, -i- At«+i J,

-r-zlj 'J3-»-i\^ J4 -t- . . . -r i\^^.j J/9^-3.

CXII (suite).

(i) [suite].

du'* pu — pp {pu — pv)* (pu — pv)"-*-*

Ay>'=p(', Aio)=.ip%', Af,o'=|p'îi,, B«,o» = }pV,

Ai»> = - pV, AV' = - J p'^r, AV» = - fpVpV, Ai»> = — p'^i-,

a;,*' =- p>, A^,*' = ip^'^Ji', A;«^= |p'«i^-+-24p'«i;pi^,

a;,=»' = — p"'r, A',»> = — ipî»^', s:^f-^~ L^.pt-»»)t,^ ip^"i>pt',

A'3" = — ijpVCp'^i'-r-Hj/n'pP), Ai»>= — aopVp'ît', Ai»» = — lap'n-.

V ~ (I — V) Av-1,

Ai/'"'^ = --2(2v^-i)Bia^,— i7.vp(^Bi'^,H-(i-2v)p'i;Bi''^-h(i--v)p'«i>Bl^',; ( V = o, 1,2, ....// -h 3 ) ; By"' = o pour v < 2 et pour v > « -+- 2.

In- f ^^^

p' (;/ — wa) ^ 21/ A^o>-i- 12^» A',«U, ->- 6( \\^ )« Jj,

36oea(A<,o')'J|-+- i20(A\<'>)»J,

Si V est une quelconque des solutions de l'équation pv = > on a

f ^pu -h ^ , OLU ao — 3 Y r dit

TABLBAU DE$ FORMULES. I I I

Si y est solution de Téquation difTérentieile ( ~ \ — ay^ -^ by^ -\- c, on a, en posant }„ = j ^ « du^

Voir le Tableau placé à la fin des formules (XGV).

BV' = — b, B\«^ = — -2.56, B'j«> = 3«6« — 2«.3ac, B'i»' = — 5.7^,

\V}) = 7.376' — 2V3*.7ac, B'3») = — 3«.5»63 -+- •2».3'.5a^^c,

B',*' = — 2*.3.76, Bi*' = — 2\3'.7acH-2.3.7 47^*,

B1."J= B1'»-»J— (2/1 — O^èBi-li»'— («in — •2)»(«/i--3)(2/i — i)«cB5,'L-j*',

( r = o, 1 , 2, . . . , 71 ) ; B'o"' = I , BJ."' = o pour r < o et pour r > /i.

pf,i) = — 46, p',*' = — 2*. 56, p<,«> = 2«6î — 23.3«ac, p«i3> =— 2». 76, pi'' = 2*.7«6» — 2».3.7ac, p^3»' = — 28.3Î63-H 2^3. i3a6c, pfj*' = - -23.3.56, pi*^=2*.3.7.i36î- 2*.33.7ac, *' = - 28.5.4i63-4-2«.3s.5.iiâr6c, p<^^) = 2i*.3«6^ — 2»o.33.i7a6ïc-h 2".3».7*«2c2:

ps/" = ?',«"*^— 4^*^ Pi-1*^ — 2/1(2/1 -ov^/i — 2)00 pl«v^

( / • = o, f , 2, . . ., /i); pj/*^ = I, p^**' = o pour /•< o et pour r > /i.

pu) = .2c, ptî) = 7.«6c, p(3' = — 27.3S62C -f- 2^3.5îacî,

pt*) = 2»3.3«6*c-f-2^.3.5«ac«; p(«) = — 4/i«6 pt«-»' — 2/1(2/1 — 0* (2/1 — 2 )ac pt^-ï».

5a?(w)^" = -7==^ *^& tïTp(") -+- V^^^-^r ?op(w)]» / ?^ (w)rf" = ^7:^^^-

V gp — ^r «/ '^ *^r ^?

CALCUL l^iTÉGRAL.

u)io^(ii)ciur- .^--1— j^^iu)du- —L—Jl^^(u)du.

• CTo» — Cv

U)^^y{U)du —

logÇya(w),

w)$a?(")^" = / ï?o(w)^"-^(<'p— ^ai) / Çop(w)c^«,

w)$Py('0^" — logîoyC"),

a)U^{u)du-^'-f^J\^,^a\du^'.^^

a)$yp(ii)</a = Ço?('0.

fsnadu — — 7. log(dna -i- A cnw), / en u du — - log(dnM — iAsnu),

/ dna</i/ = flog(cnw — isnu), j ^^ = lo

r du I ,

(\nu — en snu

cin w+ A'snu

/du __ j . en t/ -f- ik' sn u i\XiU~' ik' ^^ d^li

J cnu

fS.'!!^ du =

J lïnu

ri"-" du =

log >

A' '^ cnu

1 , I — /• sn ?/

- 1- '°s an» '

I —cnu

loc »

" su a

i . ik' — k en u :T>log . ,

ânu

cnu ,

sn u

ï — dn w sna

ânu cnu

du — log — ^

cnu

TABLEAU DBS FORMULES.

Il3

CXV (suite).

snu en u du = — -r-r dn a,

crnit dnu du = sn Uy

/ sa u dnu du = — en u,

J SDUcnu J snu J cnu

^ =f^du^ A-. n^ du, r-^=^, f—d'^-Si r^à

Bnuanu J snu J dnu J cnuanu k^J cnu k^J dna

*n^udu = vT Z (o)— 7-7 ^7— - A:* ^ ' A:* 6(a)

n^u ~ X:'» ^^ A:'« Hi(a)'

dn»£/. A'* K A:'« e,(M)

cni4 dnM snu

t/u = log snu,

snu cnu , . i , ,

du = — -ri log dnu,

dnu

cnu , , snu du = log

^nudnu

dnu'

sn u dn u

cnu

snu

du = — log en u,

«..*- , I , dnu

—T — du= jy- log

u dn u A * ° en u

dnu , , snu du = log

sn u enu

enu

snu cn*u

rf«=Tr,

I dnu

A'* enu

dnu , enu

^— — du = »

sn^u snu

cnu , snu 7-5— du = -j — 1 dn'u dnu

enu , dnu

du =

sn*u snu

snu , I enu dn«u ~ k'* dnu'

dnu , snu

du =

cn*u cnu

T. et M. - IV.

ii4

CALCUL INTÊGtAL.

^'^"'ifûW-Uiu.) = "^»"«

— . ar

log

<'^) ^««^""^/ûôô^

.a — tto , w — «ô

o CTa

a-f-Mo^ w-f-Mo

Cft Ty

5* Ta —

5ao("o)

= wÇ ao-4-log

<"'> ^PT<«»)/t^)^î^7(.^)-"':'.-+'°s

^ U — th ^ M — Mo

T Ta

Cgj

^n'ao / = uZ{uo)-h\os

J snw— snwo

^g — r/^^ff — Mo

Ci)

,/ en M

en Mo

— mZ(mo)

log

dn'Mo / 1 j =MZ(Mo)4-log

./ dnM— dnMrt

W — Mo^ // — Mo

n — Uo M — Mo

En donnant à la constante Mo des valeurs convenables, on parvient à des formes nouvelles pour des intégrales antérieurement calculées(CXIIIj,CX\>

Si l'on désigne par^=/(M) Tune quelconque des fonctions (ox(")f

$ae('0» ?pr(")> snM, cnw, dnM, par Uo une constante, par ^o» ^'o»/!» ••• la valeur pour u = Uq de la fonction /(m) et de ses dérivées, enfin para. b, c [Tableau XGV] les coefficients de l'équation diiïércntielle

v'* = ay^ -h by^ -f- c,

que vérifie la fonction /(u)^ on aura, quel que soit n,

<fi - Oyo*J« -^{'i-n — 3)7; J,|, -+-(/! — 2)(6aj';-+-6)Jrt î

-\- (4/1 — Io)M7o J/I-3-+- (/l — 3)rt J,|.-4 = -^

en posant

(r— Vq)

TABLEAU DES FORMULES. I 1 5

Oq suppose

Mo = aaa)j-f- 2 3a)j, a = 'lao)! -+- 'iS'iOa, v^i = — ^ = a h- 3t,

a, p, a', p' étant réels; r, 5, v sont des entiers donnés; r et 5 sont premiers entre eux, sauf dans la formule (6). Le chemin d'intégration est supposé ne contenir aucun pôle de la fonction sous le signe f*; m^ n, x, n' sont des entiers déterminés par les conditions

m<a<mH-i, n<p</n-i, n<P/* — a5<N-T-i,

Dans les formules (4) et (5) le logarithme a sa détermination réelle si ^li ^3» "0» W|, a sont réels. Dans la formule (6), log Ca est défini comme une fonction holomorphe de u, le long du chemin allant de u'q à u\y congru au chemin d'intégration donné.

dv = — {1 n -\' \) iz i,

/ ç.^) { c^t' = — v7r£[2N-T- I -T-2^ç^«-hv5(r-4- 5t)1;

/ Cm c?M = 2x^3(^0 -4- W3) 4- (2m H- 1)111,

/ Çmc?m = 2v(r7), -h 57)3)(Mo-+-rvai|4- 57(1)3) — v(2N-+-i)7r£;

' -' = — t/M= — 2a(rTj|H-STj3)-h2(rw,-4-5a)3)Ça-4-2(N — n')7ti;

2 p M — pa X / >

(6) / Cm c?« = logCM'i— log3'Mi-f-(2rT<,-4-25rjj)(M; — m'o)

[mo — m'o -+• 2rwi-f- 250)3, t^i = m', -h 2rtiii 4- 25u>3 J ;

(7) / ÇMt/M= ^(mÎ-mJ)4-J 5^(77^''' M.-=2U>,t'.

ex VIII.

Cas normal où 4 est réel et positif.

Si lé chemin d'intégration ne sort pas du rectangle dont les sommets

sont y on a, en désignant par Ni le nombre de fois que le chemin

d'intégration traverse de haut en bas, par Nj le nombre de fois qu'il traverse de bas en haut le segment de droite allant de o à — -» et en prenant pour logdi(p) sa détermination principale.

Si vq est un point du segment de droite allant de — ; à -, le

point excepté) et si Ton prend le signe supérieur ou inférieur suivant

que la partie réelle de -? est positive ou négative, on a

Si (>o = 2 + ^"^1 où a, ^ sont réels, ^ non entier, et si le nombre entier n est déterminé par les conditions /i < 3 < w -+- 1, on a (GXVIIi)

Si Vq est un point du segment de droite allant de ^ à — ^ — ^ , le

point ^ excepté, si l'on désigne par a la partie réelle de i^o» et si Ton

prend le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que a est positif ou négatif, on u

SiC")

dv — in ( — 2a ± i).

TABLEAU DES FORMULES. II7

CXVIII (suite).

Si nif n désignent des nombres entiers et or, ^ des nombres vérifiant les conditions

a différent de zéro, <a<-, <3<-,

et si Vq = m -^^ nz -i- a -h ^x, on a, en prenant le signe supérieur ou inférieur suivant que ex est positif ou négatif,

Si, en outre, r est un entier positif, on a

Si m, /i désignent des nombres entiers et a', ^' des nombres vérifiant les conditions

a' différent de zéro

si enfin a = m -h a', p = w -h (i', et si Ton prend le signe supérieur ou inférieur suivant que ex' est positif ou négatif, on a, en prenant pour le logarithme sa détermination principale,

I l8 CALCUL INTÉGRAL.

INVERSION

On donne trois nombres distincts S], St, z^, st-h £t-h £3 = o; quand les points Sj, £{, 83 sont en ligne droite, if désignera toujours le point intermédiaire; X, Yi, Y3 seront les nombres

Sj — ^3

, Yi = 'i(e;4-£| -+-£|), ^3=UiHu;

/. n'est ni un nombre réel négatif, ni un nombre réel plus grand que 1. Dans ce qui suit, /x, /i — x, /i — xsin<(j> désignent les déterminations des radicaux dont la partie réelle est positive; y^, /i — x les détermina-

tions des radicaux dont l'argument est compris entre — 7 c' Tî ^^g* ""

4 4 nombre dont la partie réelle est le logarithme népérien de | x | et dans lequel le coefficient de { est l'argument de x supposé compris entre — ::

et -+- 7:.

v'o V i — xsin'(p

X(X)=:X(.-X), -=YÔCj'

la partie réelle de -; est toujours positive.

On entendra par /x, /\' les déterminations de ces radicaux dont la partie réelle est positive.

Si a, d sont des entiers impairs, 6, c des entiers pairs tels que cul—bc •=- 1 . on a

^,rcx(x.) + yx'(x)i .^

I <IX(!C) ■+■ ib\ (x)J

Si a, ùy c, d ont la même signification et si ayant fixé arbitrairement une des déterminations de ^/ei — £3, on pose

ax(x)H-f6x'(x) c\(x)-h idx'M

on a

^2(W|, 0)3) = Vj, ^3(«*>1» <«3) = Y3,

fx = p(wa| w,,a)3) = £a, (a = i, 2, 3).

TABLEAU DBS FORMULES. II9

CXIX (suite).

^ r I tx'(x)i — 5 r |tx.'(x)i