V. — Autres expressions propres à représenter les fonctions
doublement périodiques.
389. Les fonctions doublement périodiques sont susceptibles d'être mises sous d'autres formes particulièrement importantes, et qui mettent en évidence à la fois les zéros et les pôles.
Dans ce qui suit, nous supposerons toujours chaque pôle ou chaque zéro répété autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.
Considérons d'abord une fonction de première ou de seconde espèce; elle a dans le parallélogramme des périodes autant de pôles que de zéros; désignons les premiers par ai, «a, . . . , «vj les seconds par biy b2, . • ., by', la dérivée logarithmique de cette fonction sera une fonction doublement périodique ordinaire, n'admettant que des pôles simples; si «<, «2» •••> «v> d'une part, 6|, ^2, . . ., 6v d'autre part, sont distincts, l'ensemble de ces points constitue l'ensemble des pôles de la dérivée logarithmique; dans les autres cas, cet ensemble est constitué par ceux des points a^ , ^2, . . . , ^v et ceux des points 6|, 62, • • . , ^v qui sont distincts^ le résidu correspondant à chacun d'eux est, dans tous les cas, l'ordre de multiplicité du zéro ou du pôle de la fonction primitive, affecté du signe — s'il s'agit d'un pôle; de sorte que l'on a, dans tous les cas, pour la dérivée logarithmique décomposée en éléments simples, l'expression
où C est une constante. La fonction qui admet cette expression pour dérivée logarithmique est
gC/n-C ^(i^ — bt)^iu — ùj) ,.. :^(u-~h^) ^{u — ai)^{ u — di) . . . 3'(« — av)'
OÙ les zéros et les pôles sont bien mis en évidence.
390. Quand on remplace, dans la dernière expression, u par u -f- 2(ùfx, elle se reproduit multipliée par e^^<»>a~2</Yia^ ^n désignant par d la différence entre la somme des zéros et la somme des pôles. L'expression précédente représentera donc, en général, une fonction de seconde espèce dont les multiplicateurs [Xj et [JI3 seront donnés par les formules
acwt — siû^Tit = Iog(ii, SICW3 — aûfii, = logfxj,
d'où Ton tire inversement
c = —.(Tit logfXj — Y), logfx,), d= --. (cDilog{is — WjlogfXt).
Ces relations ont été déjà obtenues aux n"* 364 et 369.
391. Si Ton veut avoir affaire à une fonction doublement périodique ordinaire, les quantités log[JL|, logtxs doivent être des multiples entiers de 2t/ ; en sorte qu'on doit avoir
c = o(raodd. 2Y)i, 2r,3) et é/^ o(modd. acu}, 2CU3);
la dernière relation a déjà été démontrée au n° 3o6.
Comme le rapport de cof à (03 n'est pas réel, la supposition d = a/i|(i)| -h 2/13(1)3 entraîne les trois égalités
en sorte qu'une fonction doublement périodique ordinaire, dont les pôles a^j 02, . . . , ay et les zéros 6], 62, • . ., by vérifient la relation
(6| -+- ^S-h. . .-4- ^v) — («1-4- a|-!-...-h flfv) = 2/l|a)| -h 2/13(03,
où /i|, /I3 sont des nombres entiers, aura pour expression générale
3'(m -— ^, )3'(M — /;, ) . .. 3'(f/ — Ùy)
f{u)~ Ae^»'»»^!-^-»"»^!»'"
<^[^u — ax) ^ {u — a^) . , , 3'(M — rtv)'
 est une constante qui a été mise à la place de e^ ,
Si les représentants (*) des pôles et des zéros ont été, comme
(*) On a vu (n« 359) qu'il n*élait pas nécessaire de prendre les pôles ou les zéros dans un même parallélogramme, pourvu que chaque pôle ou chaque zéro soit représenté par un point congrucnt à a,, a,, .-., fly o" ^i» ^,» •••> ^v-
36 CALCUL 1!<ÏTÉGRAL.
on peut toujours le faire, choisis de façon que Ton ait
6i -h 6j -h . . . -h /.>v = «l "^ ûtj -^ . . . -+- «v»
l'expression de la fonction doublement périodique sera
i^{u — ai)^{u — «s) . . . ^(u — «v)
puisque Ton aura alors 711 = ^13 = 0. Cette formule met en évidence les zéros, les pôles et la double périodicité.
Toute fonction rationnelle entière de p a et de p'ii est une fonction doublement périodique ordinaire n'admettant que le pôle o, qui est nécessairement multiple; la somme des zéros d'une telle fonction est donc nécessairement congrue à o (modd. aïoi, 20)3); ce résultat équivaut à une proposition due à Abel. On voit en outre qu'une telle fonction peut se mettre sous la forme
392. Il y a quelque intérêt à retrouver ces divers résultats et, en outre, ceux de même nature qui concernent les fonctions de troisième espèce, sans nous appuyer sur la décomposition en éléments simples. Le théorème de Liou ville y suffit.
En désignant para<,6r2, ..., «> les représentants des pôles d'une fonction de troisième espèce, et par 6< , &2, . . . , 6p les représentants de ses zéros, on voit, en se plaçant au point de vue du n° 85, que cette fonction doit être de la forme
^{u — ai)-^{u — a2)...^{u — av)*
cela résulte du théorème de M. Weierstrass sur la décomposition en facteurs primaires, et de ce que les seuls pôles et les seuls zéros de la fonction ^F(w) doivent être respectivement congrus, modulis 2i0|, 2CO3, à rt<, a.i, . . ., «v et à 6<, 62, . . . , 6p ; g{ii) doit être une fonction entière, transcendante ou non. Posons, comme nous l'avons déjà fait,
(^1 -f- 6j-+-. . .-i- 6p) — (crj -h «î -r-. . .-i- av) = ^/, p — V = /r;
en remplaçant, dans ^(w), u par u + 2 w^, et en tenant compte des formules XII2, on trouvera immédiatement
Si donc on veut que la fonction ^'{u) soit une fonction de troisième espèce, avec les multiplicateurs e^»""*"^», il faut que Ton ait
g{u H- 2cuo() — g{ii) -{- hizi -4- iri^{hu -4- Awa — û?) = Ma m -+- Na -h 2/ia7ri,
/lot étant un entier qui ne peut dépendre de a à cause de la continuité évidente du premier membre. En prenant les dérivées secondes par rapport à u, on en conclut
la fonction entière g"{ii)j étant doublement périodique, se réduit à une constante; g{u) est donc de la forme Xiû-^Bii -\- C, où A, B, C désignent des constantes, et l'on devra avoir
(2Aa -h B) 2Wo(-4- 4A*-4-2 7)3i(Aa-+-Aw3i — d) -^hizi = MaM -4- Na-t-anaT^t, et, par conséquent,
Ma= 4Au)a-l- 2AT,a,
Na = 4Aci>J-4- 2B(Da -H 2T)a(At»>a — ^) -+" hr.i — 7.n^Tzi = ^aMa H- 2B(i>(x — 2^x^01 H- Atti — 2Wa7^«.
393. Il résulte de l'analyse précédente que toute fonction de troisième espèce qui admet les pôles ^1, a2, . . ., av et les zéros 6i, 62, . . . , 6p peut être mise sous la forme
(f(u — ai)a'(a — aj)...a'(M — ay)
et que, inversement, toute fonction de cette forme est une fonction de première, de seconde ou de troisième espèce.
Considérée comme de troisième espèce elle admet les multiplicateurs e*»"*^^*, les constantes Ma, Na étant exprimées au moyen de A, B par les formules qui précèdent. On en conclut immédia-
tement les relations
Ni -f- Ns -+-N3 = MtWi -hMjWj -i- 1130)3 ■+- hizi-h 7.h'Tziy
où h! est un nombre entier, relations qui sont conformes à celles obtenues au n° 376; on retrouve aussi aisément la relation
Mia>3 — M3U)i — Aut;
puis, en éliminant B entre les expressions de N| et de N3, on obtient, après quelques réductions immédiates, la congruence
d^ — . [u)}m3— to|Mi-h CJD1X3 — 0)3X1] — 2Aa>t, (modd.2(i>i,2a>3). lit
Inversement, si cette relation et la relation M| 103 — Msioi = Ait/ sont vérifiées, on pourra déterminer les constantes A, B en fonction de Ma, Na ct l'on obtiendra l'expression générale
dont on s'est donné les pôles, les zéros et les multiplicateurs
Le cas des fonctions de deuxième et de première espèce est contenu dans ce qui précède. Pour les fonctions de seconde espèce, on a M| = o, M3 = o, et, par suite,
h = 0, p = V, puis
, Cl), N3 — CO3N1 i / 1 I X / JJ \
TZl TZt
en désignant par [jl, et [JL3 les multiplicateurs. Pour les fonctions de première espèce, on a
p = V, rf = o, (modd. 2(1)1, 20)3).
En résumé, l'analyse précédente montre, d'une part, qu'il existe des fonctions doublement périodiques de première, de seconde et de troisième espèce, et elle donne, d'autre part, le type le plus général de chacune de ces fonctions.
394. Enfin, il est aisé de former encore, au moyen des fonctions 4> de M. Hermite, l'expression la plus générale des fonctions de troisième espèce qui ont un nombre donné de zéros et de pôles. Chacune de ces fonctions, quand elle est (transcendante) entière, se rapporte, comme on l'a vu, à l'entier positif h qui exprime le nombre de ses zéros ; pour garder la trace de ce nombre, nous emploierons ici la notation 4>(A)(w) qui représentera la fonction entière la plus générale de troisième espèce avec les multiplica-
leurs I, e ***'
Considérons maintenant une fonction ^{u) de troisième espèce, admettant p zéros et v pôles dans le parallélogramme des périodes. Nous pourrons former (n** 381) une fonction entière 4>(v)(w 4-C), qui admette pour zéros les v pôles de W {u). La fonction ^*(w)4>,v)(w+ C) n'admettra plus de pôles; elle sera de troisième espèce; elle admettra p zéros, les p zéros de W[ii)] elle sera donc de la forme
la fonction ^{u) sera donc de la forme
Inversement, une telle expression est une fonction de troisième espèce admettant v pôles, p zéros et ayant relativement aux périodes 2(0|y 2CO3 les multiplicateurs
4A(0iii-l-U(i>t-i-tB(0i 4Aa>aU + VAa>2 +SB(i>, -{u + co,)——' (pD — vC)
e y c wi », • ^
où l'on a encore posé h = p — v. Ces multiplicateurs peuvent être identifiés avec e^'"'*'^^y gM,M+N,^ gj j'^j^ ^
4AU)i = Mi, 4A<JI>3 = M3, 4AtOf -+- 2Bt0i-l- 2/lj Ttt = Ni,
tOj
4Aa)? -h2B0J3 (ûD — vC)H- 2n3irt =N3,
en désignant par/if, 713 des nombres entiers. On tire de là, en éliminant A et B,
Ml 0)3 — 113(1)1= hTziy
NslOi — N1CO3 =HiU>3(a)3 — (Di) — AtT {(1)3
— 7Ct(pD — vC)-T- 2:ri(/i3(Oi — /tiWs).
4o CALCUL INTÉGRAL.
Si l'on se rappelle (n" 381) que p(co2 — D), v((02 — C) sont respeclivemcnt congrus (modulis 2101, 20)3) aux sommes des zéros des fonctions 4>(pj(M + D), 4>(v)(w-f- G), on voit que la quantité vC — pD est congrue à Aïoa -i- rf, en désignant par d la différence entre la somme des zéros et la somme des pôles de W(u); la seconde des égalités précédentes nous fournit donc encore une fois la congruence
c?H= — i— 2 — -LJ H l—i — . ^ — îiAcoj (modd. 2 0)1, 2(1)3).
TZl TZl
393. Le cas que nous venons d'examiner contient le cas des fonctions de seconde et de première espèce. Pour ces dernières, en particulier, on trouve a = o, B = o, C = D, et Ton voit que la fonction doublement périodique ordinaire la plus générale, comportant v zéros et v pôles, peut être mise sous la forme
- Ao4>o(//--t- C)-4- Ai<ï>i(mh- G)-f-...-f- Av-t4>v,i(tt-h C)
'^^^^~ A;<ï>o(a-+-G)-+-A'i<ï>i(w-+-C)-+-...-+-A;,*v-i(a-hG)'
où C, Ao, . . ., Av<, A'q, . . ., A'v^i sont des constantes arbitraires, et 4>o, ^o . . ., ^v-1 des fonctions parfaitement déterminées, dont la forme a élé rappelée au n° 381 ; on doit toutefois remplacer la lettre h par la lettre v.
