I. — Les fonctions ^^ X^, p
396. Nous établirons dans ce Chapitre diverses conséquences très importantes de la formule de décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples, conséquences dont plusieurs ont déjà été établies, mais qu'il convient de grouper maintenant autour d'une même origine et dont la déduction ne supposera rien autre chose, en dehors de la définition des fonctions (^, j>, 2^, . . . et des propriétés qui résultent immédiatement de cette définition, que les propositions générales établies dans le Chapitre précédent.
Considérons d'abord la relation (VII<)
— i = pa — pu,
et désignons-en le premier membre pary(i/); on reconnaît immédiatement que /{u) est une fonction doublement périodique à périodes 2(0|, 20)3, admettant, comme seul pôle dans le parallélogramme des périodes, le point o : ce pôle est d'ailleurs double; /(u) doit donc être de la forme C-f-C'î^'a = C — G pu où C
et G sont des constantes: G est le coefficient de la dérivée de -
dans le développement de /(m), mis sous la forme CD --h $(m);
dans ce développement, on n'a pas fait figurer de terme en w"*, parce que le pôle o est double. On peut dire encore que C et — G sont le terme indépendant de u et le coefficient de u"* dans le dé-
4a CALCUL INTÉGRAL.
veloppement de/{u) suivant les puissances ascendantes de w; on obtient ce développement en multipliant le numérateur de /{u),
( 3'rt-i- M3''a H (T'a -+-...) ( — ^a-h ucf'a o^a -h... ],
expression qui, ordonnée suivant les puissances de Uj donne
par le développement de -^ — ^ï~'* ^^^ ^^ s'appuj^ant seulement sur la formule (IV| ) et les définitions (IV5), on trouve
le coefficient de — et le terme indépendant dans le développement dej{u) sont donc respectivement — 1 et
C'^a— -a'acr'a d C'a
= ,- ' = pa:
C'a aa Ca
on a ainsi — C= — i^C = pa; celte dernière valeur, après avoir obtenu G'=i, pouvait s'obtenir en remarquant que G — C'pn doit s'annuler pour u = a^ de même quey(w). Finalement, la formule (VII,) est démontrée à nouveau.
Observons d'ailleurs que le premier membre de cette formule appartient au type du n** 391, où les zéros et les pôles sont mis en évidence; la somme des affixes + a, — a des deux zéros est bien égale à la somme de l'affixe du pôle double o.
Rappelons encore que, de cette formule (VII|), on tire immédiatement les formules d'addition (VII3)
y/ -u \ y/ \ y ^ p' U ZJfl p' a
2 pu — pa
i d p'uz^ip'a
p(u ±a)—pu = -r- - — ^*^ >
1 du pu ^ pa
dans chacune desquelles le premier membre n'est autre chose que le second décomposé en éléments simples; nous reviendrons sur ces formules dans un Chapitre suivant.
397. Établissons maintenanl Téqualion diflFérentîelle (Vile). Nous observerons pour cela que toute puissance entière de pw est une fonction doublement périodique admettant le seul pôle zéro, qui est d'ailleurs multiple d'un ordre double de Texposant de la puissance; le résidu de ce pôle est nul; par exemple o est un pôle sextuple pour p'w, et l'on doit avoir
en désignant par A|, A^, . .., A5 les coefficients qui apparaissent dans le développement de p^u mis sous la forme
p»M = AtD-î- -^A,D«i -+-... -+-ABD»i -4-ï(w):
quant à la constante C, elle est ici manifestement égale au terme indépendant de u dans ce même développement; en utilisant seulement la formule (IV3)
écrite en tenant compte des définitions (IV5), on calcule aisément la partie fractionnaire et le terme indépendant de u dans le développement de jj'm; on trouve ainsi
et l'application de la règle précédente donne
En appliquant exactement la même méthode à la fonction doublement périodique p'^ u, dont le seul pôle est encore o, et pour laquelle ce pôle est encore sextuple, on obtient
En éliminant p^^u entre les deux dernières équations, on trouve
p'*a = 4p'w — <?^îpw — ^j.
398. Les formules fondamenlales relatives à la division par n de Tune des périodes se présentent comme d'elles-mêmes.
Si, par exemple, on considère la fonction p{u\ — * W3 j dans le
parallélogramme relatif aux périodes 20)^, 2103, on reconnaît de suite que c'est une fonction doublement périodique dont les pôles,
tous doubles, sont donnés par la formule w = 2r — > où r prend
les valeurs o, 1 , 2, ...,/? — 1 ; d'ailleurs on a
/toi 1 ^\ \ f I \^\ \ '
en sorte que la formule de décomposition en éléments simples nous donne, en désignant par C une constante,
p f w Up» C03J =pu-i-Vpfa — ar ^^\ H- C (/' = I, 2, ..., /i);
d'ailleurs, si l'on fait* tendre u vers zéro, on reconnaît de suite, sur les développements en série, que la différence du premier membre et de pu tend vers zéro; il en résulte
ir)
et l'on retombe ainsi, après avoir changé u en — w, sur la formule (XXI4), d'où l'on pourrait déduire par intégration les formules analogues (XXI3) et (XXI2), qui concernent les fonctions X^ et rf.
399. De ces formules et de cellei qui en résultent lorsqu'on y transpose les périodes 20)1, 2103, on peut déduire des formules de multiplication pour les fonctions d^ Ç, p. Il suffit de répéter ce que l'on a dit au n° 347 pour établir les formules de multiplication relatives aux fonctions sn, en, dn.
Mais on parvient aux mêmes formules en décomposant la fonction p(nw) en éléments simples.
Pour simplifier l'écriture, nous poserons
A = 2 P(«ii,v), ^ = 2 ^(^1*'^)-
En appliquant la formule du n^ 358, on a
n^p(nu) = 2 p( a — a(jL,v) — A.
En intégrant, puis passant des fonctions ^ aux fonctions (^, on obtient ensuite les relations
/2Ç(nM) = \^ Ç(a — ajx,v) -f- A M -4- B,
'ï ^ JJ C(a,^,v)
Dans toutes ces relations les sommes sont étendues à toutes les combinaisons jx, v des entiers o, i, 2, . . ,, /i — i; le produit est étendu à ces mêmes combinaisons, la combinaison jji = o, v = o, exceptée.
La dernière relation s^obtient d'ailleurs aussi en répétant, sur la fonction <i(nu)y les raisonnements que l'on a faits au n® 134
sur la fonction <^( w — > 103J; elle résulte au fond d'un groupement convenable des facteurs de la fonction d{nu) décomposée en ses facteurs primaires et de l'application de la formule (V|). Si, dans la dernière relation, on remplace u par u-\- 210a et si Ton fait usage des formules (XII2), on voit que les expressions
doivent être, quel que soit m, de la forme ^m^iziy où m^L désigne un nombre entier; on a d'ailleurs
on voit donc, d'une part, que A est nul, et, d'autre part, que l'on a
Si l'on écrit cette égalité pour a = i et pour a = 3, on trouve
TZl
successivement, en faisant usage de la relation tj i co, — r^ (0| = di — ,
les relations
'iniiWi — 2/7t|b}s = rp /i(n — i) a>|,
On a donc finalement établi les formules de multiplication
(IC) I (2) n!;(/iw) = ^Ç(M — apt,v) -«('* — O^jî,
(3) /Hp(na) = ^p(a — api,v),
et Ton a aussi démontré les relations
(ICO ^^i^\i,y) = — n(n — i)'iî,2 P(^M-.^) = ^ î
