V <^*A ... -, <JA
,6g ^ = l^.tf- |<f3«o-'+ [Uî«' + U3] *;
l58 CALCUL INTÉ6K1L.
CXLVI (suite).
64Ç^ =(i25'tî; — i85'jw)p'-^a4^«P*-"365',p — 4<rî;
32C,' ^ = [-9^,UH-6^,Î] 5i« -^ [9^3- 6^,(ca-^P)]?o«;
3îàg^=[i^îii-9^.î]«;o^[i^î-9^.(e«-^P)]U, 3aS^ = [-9^3«H-6^,î]Ç'«o-+-[~9^3-*-6^,(c«-+-p)]Ç«;
3aS5^ = [Î^ÎM — 9^3!;]5pY-^95'8(«y — cp)5pr'
, .dsn(u) r ,,„, ô'imI ,
(8) ^ j.x(,-x)-^^ = [«Z'(K)-gL^Jcn'«,
d dn(u)
(9) ^^T-^^ = — 7^ ^ rMZ'(K)Z'(a) — xcn*aZ(a) + xsnacnadnttl
TABLEAU DES FORMULES. iSg
Détermination de la fonction inverse de pu au moyen des formules CXXVIII et CXXIX.
Reprenons toutes les notations et conventions du Tableau (CXXVIII), sauf celles qui concernent la détermination de ^i — zj, -r log(zo-+- «V'~ -^j), que, dans cette Note, nous fixerons comme il suit :
Dans le plan de la variable Zq, du point o comme centre, avec un rayon
égal à ï» décrivons un cercle, et pratiquons à l'intérieur de ce cercle
Po
deux coupures allant respectivement des points + i, — i aux points 9 — 7-ô~i* I^ans Taire intérieure au cercle modifiée par ces coupures,
regardons la fonction v^i — z^ comme ayant sa partie réelle positive, et la fonction -rlog(-5o-+- ** y^i — -sj) comme ayant sa partie réelle comprise
entre — ir et ir. Les valeurs respectives de ces fonctions, sur les bords des coupures, sont données par le Tableau suivant, où les radicaux et les logarithmes sont réels et positifs :
Coupure de gauche.
Bord supérieur. . . -^i^zl — i, t: — «log( — Zq -h /«J — i). Bord inférieur — «V-^o — h ir-+- i\o^{— Zq h- /^J — i).
Coupure de droite.
Bord supérieur. . . — i^zl — iy — *log(zo-+- ^^î — 0»
Bord inférieur ■+■ i\/zl — i, -+- Uog(-8o-f- /-«î—- 0-
Pour Zq réel, compris entre — i et -h r, la fonction -r log(zo-f-iV" — *î) coïncide avec la fonction arc cos^ définie comme étant comprise entre o
l6o CALCUL INTÉGRAL.
et TT. Dans l'aire du cercle, modifiée par les coupures, cette fonction est holomorphe, ainsi que la fonction
et que la fonction
2X(p*)iogU-hiv/7^r^ 3yi-^«s
/pv/ei — e,(i-+-x)* PV^êi— £3(1-4- X)*
puisque Sq est une série entière en z^^ convergente dans le cercle et sur sa circonférence. ?fo«s désignerons par F(^o) 1^ second membre de cette
formule, où il est bien entendu que /i — zl et -r log(-So-f- i^i — zj) ont
le sens qui vient d'être précisé. Si l'on regarde alors ^o comme la fonction de pqui a été spécifiée dans le Tableau (CXXVIII), u = FUo) devient une fonction de p que nous désignerons par ^py, en posant p =y\ cette fonction est parfaitement déterminée pourvu que la partie réelle de Do ne soit pas nulle, et l'on a identiquement p((ipy) =^. Les trois équations concordantes
établissent une correspondance entre les trois variables Zqj j^(ou p), z^, correspondance qu'il est aisé d'approfondir dans les quatre cas du Tableau (CXXIX) (yj, y» réels). Dans le premier de ces cas, la fonction ap/ coïncide avec la fonction argp^ défînie au n* 591; il aurait été facile d'établir la coïncidence entre les fonctions ûpy et argp^ (n^ 594) dans le troisième cas.
Quoi qu'il en soit, dans les quatre cas du Tableau (CXXIX), par les formules précédentes, au cercle et aux coupures du plan des Zq correspondent, dans le plan des^, un système de coupures rectilignes ou circulaires qui passent par les points £}, ej, Sj et, dans le plan des a, le contour d'un rectangle égal en surface à la moitié d'un parallélogramme des périodes et symétrique tantôt par rapporta l'axe desquantités réelles, tantôt par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Sur le contour de ce rectangle se trouve le point o qui correspond au point 1 du plan des Zq et au point x du plan des^'. Aux points intérieurs de ce rectangle correspondent d'une façon univoque les points du plan des ^ non situés sur les coupures et les points du plan des Zq qui sont intérieurs au cercle sans être situés sur les coupures. Quand le plan ^ comporte des coupures circulaires, elles sont situées sur le cercle de centre Si qui passe par les points ei, £3.
Les figures schématiques qui suivent expriment, dans chacun des quatre cas, cette correspondance. Pour plus de clarté on a sépare les bords des coupures et l'on a entouré les points critiques d'arcs de cercle infiniment petits que l'on regardera comme continuant les bords des coupures. Dan< le plan des ^0? S" cercle infiniment petit décrit du point i comme centre,
TABLEAU DES FORMULES. l6l
correspondent approximativement dans le plan des u un demi-cercle infiniment petit décrit du point o comme centre, et, dans le plan des y, un cercle de rayon infiniment grand, que Ton regardera comme embrassant tout le plan et dont on n'a figuré que Tamorce, vers -4- oo, ou — oo, suivant les cas. Dans les trois plans, les coupures et les arcs de cercle limitent des aires simplement connexes qui se correspondent point par point et où les fonctions F(2o)i ^Py^ P^ ^0°^ respectivement holomorphes. Une flèche indique le sens dans lequel doit marcher un mobile partant du point i, db 00, o, suivant qu'il se meut dans le plan des Zq, des^, ou des u, pour suivre dans le sens direct le contour qui limite Taire considérée sans jamais traverser une coupure; dans ce mouvement les trois mobiles se correspondent. On n'aura dès lors aucune peine à distinguer la correspondance entre les bords supérieurs et inférieurs, extérieurs ou intérieurs, des diverses coupures des plans des Zq ou des y et des diverses portions du contour du rectangle du plan des u. Au reste, sauf pour le point i du plan des Zq, on a employé, pour désigner les points remarquables de la Ggure relative à ce plan, les mêmes lettres, placées entre parenthèses, que pour le plan correspondant du plan des^; on a répété ces mêmes lettres placées entre crochets, à côté des points correspondants du plan des u.
T. et M. — IV. II
C;>o; £i>o^e2>s,; ^i > o, Ys il.o.
[Voir CXXIII et CXXVIII, cas I.J
Plan des u.
Plan des -s».
..(u, -f'jij
Plan des y.
-oo
Ta ♦
t' est de signe contraire aux coefficients de i dans y et dans ^o* A deu\ points ^ dont les affixes sont conjuguées correspondent deux points z«. ou deux points u, symétriques par rapport aux axes des quantités réelles. Au cercle du plan des^ décrit de £| comme centre avec un rayon k'{Lx — ej). cercle par rapport auquel les deux points ej et £3 sont symétriques (n** 5^).
correspondent dans le plan des ^, le diamètre qui va du point — - au
point |^> et, dans le plan des a, le segment qui va de -^ — ^ u>s a coj.
Au segment indéfini du plan des y qui va de £1 à -4- x correspondent, dans le plan des >s, le segment qui va de (£1) à -H 1, et, dans le plan des <£, le segment qui va de o à (Op
TABLEAU DES FORMULES
[Voir CXXIV et CXXVIII, cas V.]
Plan des z^.
Plan des y .
-♦-oo
Po Po
/*/a/i rfe* M.
/ a le signe du coefficient de i dans^ et le signe contraire au coefficient de i dans .Sq. A deux points y dont les affixes sont conjuguées correspondent deux points z^ d'affixes conjuguées et deux points u symétriques par rapport à Taxe des quantités purement imaginaires. Au cercle du plan des^ décrit de £3 comme centre et par rapport auquel les deux points Sj, £2 sont symétriques, correspond, dans le plan des z^^ le diamètre qui va
du point Q- au point — q" > ^^i dans le plan des w, le segment qui va de
po Po
— wj 5 à wj ^ • Au segment indéfini du plan des y qui va de — »
à £3 correspond, dans le plan des z^^ le segment qui va de 1 à (£3)^ et, dans le plan des m, le segment qui va de o à — (03.
[ Voir CXXVI et CXXVIII,
cas IV. ]
Plan des m^.
Pian des y.
-oo
?, = aang|^,
( m' ) = col f ,
(c,) = ICOl^,
P/a/i des u.
a i sin ^
— cot -J »
= — « cot
fc«j(;<-i*<-3
[^^3 ry K
jC^i-Ouj) •*>. 5<t».j*3'j#.)
U = (Wj-h Wj) ^4- - (coj — W|)^; o<^<i, — i<r<i
t' est de signe contraire au\ coefficients de i dans^ et dans ^o* A deu\ points j^ dont les affîxes sont conjuguées correspondent deux points ^ ou deu\ points u symétriques par rapport au\ axes des quantités réelles. A deux points y de même affixe, mais situés sur les deux bords d'une coupure circulaire allant de ni à Zy ou à £], correspondent deux points ^o ^y~ métriques par rapport à J*axe des quantités purement imaginaires et deux points u symétriques par rapport à coi ou à C03. A la partie non figurée du cercle du plan des^, de centre et, qui va de ei à &), correspond, dans le plan des ^o> 1^ diamètre qui va de (si) à (ej), et, dans le plan des u, le segment qui va de (i>i à la^. Au segment indéfini du plan des ^, qui va de E, à -h 00, correspond, dans le plan des ^o^ '^ segment qui va de (&«)à i. et) dans le plan des a, le segment qui va de coi + co] à o.
TABLEAU DES FORMULES
[Voir CXXVI et CXXVIII, cas IV.]
Plan des z^.
Plan des y.
p, = ïtang|,
( m ) = cot 7- »
(p ( e, ) = — « cot y- »
— cot 7 >
ICOt y,
Plan des u.
ey ^
Jttur3<u,) ûttrcuj
.fcbl
< est de même signe que le coefficient de i dans j" et de signe contraire au coefficient de i dans Zq. A deux points y^ d'affixes conjuguées, correspondent deux points ^o symétriques par rapport à Taxe des quantités réelles et deux points u symétriques par rapport à Tune des quantités purement imaginaires. A deux points^ de même afdxe, mais situés sur les bords opposés de la coupure circulaire allant de /n à £| ou à 63, correspondent deux points Zq symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires et deux points u symétriques par rapport à (Oj ou à — fos. A la partie non figurée du cercle décrit de &s comme centre dans le plan des j", allant de £i à £3, correspond, dans le plan des Zq, le diamètre qui va de (si) à (£3), et, dans le plan des u, le segment qui va de cui à — u)j. Au segment indéfini du plan des y qui va de — oc à Ej correspond, dans le plan des Zq^ le segment qui va de 1 à (sj), et, dans le plan des a, le segment qui va de o à a>| — (03.
l66 CALCUL INTÉGRAL.
Le lecteur trouvera dans le texte, au Chapitre IX, tout ce qu'il faut pour établir ces divers résultats qu'on a cru pouvoir ici se contenter d'énoncer.
Il observera aussi que, dans les quatre cas, la fonction ^ l\y^ — g^y — g^ assujettie à être positive pour un point d'affixe très grande et supposée, s'il y a une telle coupure, sur le bord supérieur de la coupure rectiligne qui va vers -h x, est holomorphe dans le plan des y limité par les coupures indiquées. Dans ces conditions on a, en deux points correspondants,
et, en supposant que le chemin d'intégration ne traverse aucune coupure.
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