ET A LA MÉCANIQUE

§ I. — Longueur d'un arc d'ellipse.

647. Soient a et b les demi-axes de l'ellipse; supposons a^ b. Nous prendrons, pour origine des arcs s de l'ellipse, l'une des extrémités de son petit axe et nous orienterons l'ellipse à partir de cette extrémité dans un sens déterminé arbitrairement choisi. Si l'on met les équations de l'ellipse sous la forme

X = asnuj y = b CTïUj

en se réservant de choisir convenablement le module A*, et si l'on fait varier le paramètre u de o k K, on obtient la longueur / du quart de l'ellipse. Soit s la longueur de l'arc de l'ellipse correspondant à une valeur de u comprise entre o et K; si l'on désigne par ds la différentielle de cet arc, les formules (LXVIII), (LXIX) donnent la relation

ds^ = (a'cn'adn*M -h b^sn^udn^u) du* = a^dn^ul i — sn^ujdu'^,

que l'on peut écrire, en prenant pour le module k Vexcentricité de l'ellipse,

ds* = a*dn>u(i — k- sii*a) du* = a* dn*a du*; T. et M. — IV. 13

jf)8 PONCTIONS ELLIPTIQUES.

on a donc

s — aj dn^udu, l = a j dn^udu,

La valeur de la dernière intégrale se lit immédiatement sur la formule (Cllg); on a donc

La valeur de s résulte, dans tous les cas, de la formule (CXVi), d'après laquelle

on en déduit immédiatement, en tenant compte de la formule

(LXXlXi), la relation

que l'on peut aussi écrire (CIIi^s)

C'est ce problème de la rectification d'un arc d'ellipse qui a servi de point de départ aux recherches de Legendre sur les fonctions elliptiques; le nom même de fonctions ettipliques, d'abord employé pour désigner les intégrales elliptiques, en lire son origine.