LXXI,,C1I

et l'expression de s pourra être mise sous la forme (CII-), (LXXVIIIO,

qui convient au calcul. On fera usage des Tableaux (CXXIII) ou (CXXIV), suivant que a^ est plus grand ou plus petit que 26^. Pour k^ petit, on a, en négligeant k*^

— = u k^l u sin2u).

§ II. — Longueur d'un arc de lemniscate.

649. L^équation de la lemniscate rapportée à son point double comme pôle et à son axe comme axe polaire est, comme on sait,

/•> = a' COS2O;

on en déduit immédiatement pour la longueur ds de Tare élémentaire de cette courbe, la relation

I — 2Sin*0 2 I — J sin«\j/

en posant

r = acos^f V^2 sinO = siinj^.

Convenons de prendre tous les radicaux avec leur détermination arithmétique; convenons aussi de prendre 5 = 0 et ^ = 0 pour Q=:o; on a alors pour la longueur / du quart de la lemniscate et pour la longueur s d'un arc quelconque de la lemniscate plus petit que /, compté à partir de l'extrémité de son axe, les formules

on a, de même, pour la longueur / — s d'un arc quelconque plus petit que / et compté à partir du point double, les formules

OÙ l'on a posé

^ ~" /•* ^ cos*«j; ~" COS2O

De ces formules on déduit, pour

cj = î, e2 = o, e3 = — I, gl='^, ^3 = 0, A* = i,

les relations

§ UI. — Aire de rellipsolde.