Pour effectuer l'intégration, posons
^ = ?xo(w);
alors à la limite v=.co correspond la valeur u =.o\ nous spécifierons tout à l'heure la valeur u^ qui correspond à la limite d'intégration (; = I . Si nous choisissons e\^ e^, e^ de façon que l'on ait
^|A — «x = '— ^' ^v-^x = '— Ji'
on devra prendre [x=i, v = 2, \ = Z pour avoir ei >> e^ >> e-^. Dans ces conditions, on aura
Quand a varie de o à (o,, \zq{u) varie de + co à ^e, -^ ^3 < i ; on prendra pour £/| la valeur de u comprise entre o et i pour laquelle on a
pw, — 63 = 1, pa,— ei=— , P"i — «2 = ^> '^"*~'""â6'
valeur pour laquelle i^» = Ç3q(m) est effectivement égal à -f- 1 . On a d'ailleurs
/ V ^-r- dv = Xv — / A c^i' ;
en faisant dans l'intégrale indéfinie j Adi^ la substitution ^ = i8o(")j on trouve de suite
j A dv = j (Ci -\- i — p u) du = (Ci -h i) u -h l^u -h const.
On aura donc
dK 0
la quantité entre crochets est une fonction impaire de u ; si l*on développe suivant les puissances ascendantes de u, on reconnaît de
suite que les termes en — disparaissent, en sorte que cette fonction
est nulle pour w = o; d'autre part, ÇJoC"») ^" P"» — ^s ^-^^ ^S*' à I ; on a donc finalement
§ IV. — Pendule simple.
652. Considérons un point pesant, de masse égale à 1 , assujetti à se mouvoir sur un cercle de centre O, de rayon /, situé dans un plan vertical. Si Ton rapporte, à un instant quelconque ^, la position de ce point à deux axes Ox^ O5, dont le premier est horizontal dans le plan du cercle, le second dirigé suivant la nadirale, on a immédiatement les relations
dx^ -h dz'^ a:* -4- >5î = /*, V* = ^— = *igz -\- h,
dont la seconde exprime Tintégrale des forces vives; V désigne la vitesse du mobile à Tinstant /, g Taccélération de la pesanteur et h la constante des forces vives. On en déduit sans peine que z vérifie l'équation dilTérentielle
où les racines du second membre sont en évidence. En affectant de l'indice o les valeurs des variables à l'époque ^ = o, on a
o.sr ' o.g
La racine du second membre de l'équation difTérentielle.
toujours inférieure à /, peut être comprise entre /et — /ou être
plus petite que — /; puisque 2gZQ -H h est positif, 5, dans le premier cas, oscille entre /et : le mouvement est alors, comme
on sait, oscillatoire; dans le second cas, z est compris entre / et — / : le mouvement est tournant. Nous excluons le cas où, h étant égal à 2gl, rinlégralion peut s'effectuer parles fonctions élémentaires; dans les autres cas, z peut toujours atteindre la valeur /, et nous conviendrons de prendre Torigine du temps à un instant où z est égal à /.
653. Pour ramener Téquation différentielle à la forme normale nous ferons la substitution
9jl h^
elle prend alors la forme
(j^j =4(z — ei)(z — e,)(z — <?i);
les racines ^i, ^2, ^3, supposées telles que Ton ait ex> e^> ^3,
correspondent aux quantités — /, > / rangées par ordre de
grandeur croissante, puisque z et z varient en sens contraire ; dans tous les cas / correspond donc à e^. L'intégrale de l'équation différentielle est
en désignant par X la constante d'intégration; pour / = o, :? doit être égal à / et z à ^3 ; X doit donc être congru à (O3, modulis 2 (o, , 20),; rien n'empêche de supposer A r= 0)3, ce que nous ferons désormais.
Pour aller plus loin, il convient de distinguer les deux cas.
1" Mouvement oscillatoire. — On suppose
on a alors
'-U'-ii)' -é- '—M'-^y *-J'('-A)
puis, en se rappelant que z est égal à pit-ho)^)^ en utilisant les
formules (L1X),(LX), (LXI) eten posan* pour abréger 11 = ti/^^
ff
[p(/-HW3) — 63] = f (/-+-.;^]5îs« = 2/A-«sn»ii,
/-t-^ = — — fp(/H-t03) — ei] = 2/5îji = 2/cln*a, o
j- = //» — 5* = v/a^^ -1- a ?o3 < $js ^ = 2 //: sn u dn m, V* = 9. £^z -r- h = i k^ gl cn^ u, v = 2 A: ^gl en a ;
pour déterminer le signe de la valeur de x, on a fixé le sens des x positifs de façon que V© soit positif; k est la racine carrée positive de A'^.
Si Ton désigne par 0 fangle que la tige du pendule fait avec la nadirale, en sorte que ^ soit égal à /sinO et 2 à /cosO, les formules précédentes fournissent immédiatement celles-ci :
/rr
sin - = A- sn u, cos - = dnu, u = /â/-,
sur lesquelles le caractère oscillatoire et les propriétés de symétrie du mouvement se lisent si facilement qu^il nous paraît inutile d\ insister; notons seulement que les positions les plus basses du mobile (:; = /) correspondent aux instants
t — 'ànKi/ .
V = — —.\ correspondent aux instants
en désignant par n un nombre entier, que la durée d'une oscillation complète est
T-. 2Ki/-,
que l'angle entre la nadirale et la lige du pendule dans sa {3osition
la plus haute n^est autre que la valeur a de Q pour u==K.', on a donc (LXXII)
sin - = A\ cos - = k', 9. 1
Pour les applications numériques on utilisera les formules (CXXIII) ou (CXXIV) suivant que h est négatif ou positif. Si II est très voisin de — igl ou de 4- 2^/, on pourra se servir des formules
(CXXIf,o) ou (CXXIIh).
2" Mouvement tournant, — On suppose
on a alors
6/* it^\ hgj il^\ bgj A* 'il\ igj
puis, en posant cette fois
"-[/M'-êi)-
on trouvera
l-z= -y [p(/ -f- tuj ) — es] = I ^/ -I- — ^ ÇJ 3 / = 2 / sn« a, o
a: = -2 / sn u en a, ^ ~ 7, V^^^ ^^" **»
sin - = snw, cos - = cnu, 0 = '^aiiia. •2 2
Le caractère tournant et les propriétés de symétrie du mouvement se lisent immédiatement sur ces formules; la durée d'une révolulion complète est donnée par la formule
WU-^)-^-.
§ V. — Pendule sphérique.
654. Soient X = rcosh, y = rsinO, z les coordonnées d'un point pesant assujetti a se mouvoir sur 11 ne sphère de rayon / dont le centre est à Torigine des coordonnées; Taxe des 5 est dirigé suivant la nadirale. Soient v la vitesse du mobile, g l'accélération de la pesanteur, c et h les constantes des aires et des forces vives; les intégrales des aires et des forces vives
et Téquation de la sphère H -+- 2^ = /^ fournissent immédiatement la relation
dont nous désignerons, pour abréger, le second membre par ^( z).
Convenons d'affecter de l'indice o les valeurs des variables pour / = o. Excluons le cas où c serait nul, le mouvement étant alors le même que celui d'un pendule simple, et le cas où f{zo) étant nul, Zq serait racine double de «p(5), le mobile décrivant alors d'un mouvement uniforme le parallèle sur lequel il se trouve d'abord.
Dans le cas général où nous nous plaçons, ^{zq) est positif ou nul et, s'il est nul, ^{z) est positif pour des valeurs de / un peu plus grandes que o; la substitution dans cp(2), à la place de z^ des nombres — 00, — /, Zq, /, -f- oo montre ainsi l'existence de trois racines réelles a, 6, c placées comme l'indiquent les inégalités
l'une des racines a, h pouvant être égale à Zq, De l'identité
{•igz '\- h){l^ — z"^) — c"' = — 'ig{z — a) {z — b ){ z — c )
on déduit d'ailleurs les relations
Il hl* c*
a -h 6 -r- c = > ab -\- bc -i- ca = — /*, abc = 1- •
Comme o et h sont compris entre — / et 4- /, l'expression
— ab — /-, donc aussi [a -4- 6)c, est négative, en sorte que, c étant négatif, on doit avoir (*)
655. Dans Téquation diflférentielle que vérifie z^ faisons la substitution
de manière à obtenir une équation différentielle de la forme
\Ji) =4^'~'^«^""<^3 = 4(z — ei)(z — e,)(z — ej),
les racines ei, ^2, Cj, supposées telles que Ton ait ^i }> ^2 !> Cj, correspondent respectivement à c, 6, a, puisque ^ et z varient en sens contraire, et Ton a
^* ~ 67* (^-^^"■'^^)^ et — e^= ^(^"^)»
L'intégrale générale de l'équation différentielle est
\ étant une constante arbitraire. En prenant, pour origine du temps, l'un des instants où le mobile est sur le parallèle z=^ a, on a
on en déduit que J>(a) est égal à ^3 ; X devra donc être congru à Wj (modulis 2 0)|, 20)3) ; nous prendrons X = 0)3. La solution de l'équation différentielle en z est
(') Kotr pour la discussion, le Traité de Mécanique de M. Appell, t. I, p. 4^5.
656. Avant d^aller plus loin, il convient de faire quelques observations concernant les données. Si, outre ^et /, on regarde z^ ou a comme une donnée, les deux constantes A et C ne sont plus indépendantes et Ton doit supposer c^ égal à rjvj, c'est-à-dire à
rl(2ga-^ A), d'où
sous le bénéfice de celle supposition, Inéquation ^(z) = o admet la racine a; en la débarrassant de cette racine, on trouve, pour l'équation que doivent vérifier 6, c, l'équation
dont on aperçoit de suite que les racines sont réelles et séparées par le nombre — a; mais a devant être, par hypothèse, la plus grande racine de ^(^), on doit avoir
le cas limite où C^ serait égal à ^-^ correspondrait au cas limite
où a serait une racine double. La quantité C, que l'on peut évidemment supposer positive, peut prendre toutes les valeurs de
rji/- à H- oo; toutes les constantes du problème dépendent alors de C. Une discussion élémentaire montre facilement que C augmentant de / i! i /- à 4- 00, b décroît de a à — a et c de — ^L-lt — à " V ^ '^^
— 00; A*2 = croit de zéro insqu au maximum - - — - —
qu il atteint pour c =: I / -» puis décroît jusqu a zéro;
K et y varient dans le même sens que A'^, K de - à f' et qr de o à o;
K' varie dans le sens contraire de -f- oc à -f- oc. Le sens de la variation de
avec c n'apparaît pas immédiatement; mais il est clair que lorsque C
a dépassé la valeur i/ > co, décroît et tend vers o quand
C augmente indéfiniment ; au reste il est aisé de trouver des limites supérieures de (i>| en se servant par exemple de la relation
K < —77 (n" 538) ; on trouve ainsi
Lorsque k^ est très petit, c'est-à-dire lorsque C est très voisin de r\ l/- ' ou très grand, on peut se servir des formules (CXXII).
