On peut écrire aussi

z — a — = — (« — o) sn»('2Ki-),

g pt — e:^

z — b= — (e, — ^3)^- = (a — 6.)cn*(2KiM,

g pt ^Ci

z — c= — (gi — ga) ^[~^^ = (rt c)dn«(2Ki^),

où l'on a posé c = — • Les valeurs ainsi trouvées pour z sont

réelles, quand t varie de — oo à -f- oo. Quand le point t parcourt dans le sens direct le rectangle dont les sommets sont o, 0)4, ci)| + (1)3, (1)3, on sait que pi varie en diminuant constamment de -f-oo à — 00; on conclut de là et des formules précédentes que z va en diminuant constamment de a(/ = o) à 6(^ = (i>i), purs à c{t = co< 4- (03), puis à — Qo{t = (1)3); là il passe brusquement de —^00 à -}- 00 et revient, pour ^ = o, à la valeur a. Les mêmes résultats peuvent d'ailleurs se lire sur la seule formule

z^a = [p(/-f-ci>3) — ea],

en suivant le chemin que parcourt le point t + (1)3, ou le point i — (1)3 qui fournit pour t la même valeur; dans ces conditions p(^t + (1)3) va constamment en augmentant, en passant toutefois de + cx> à — 00 quand t atteint la valeur (03. Il suit de là que z atteint les valeurs — /, 4- / pour deux points ^2» ^1 situés le premier

l80 FONCTIONS ELLIPTIQCES.

entre (Oi et coi -\- (1)3, ie second entre (03 et o)| ; on a, en ces deux points ^], 1.2,

/-+-a= -- [p(<î-4-Wj) — ej], p(/2^-ct)3)= ^ >

658. Ces valeurs /1, /:2 vont intervenir dans ie calcul de 0, et il importe de donner le mojen de les calculer avec précision. Observons que Ton a, quel que soit t^

et que f{z) se réduit à — c^ quand on suppose / égal à tt ou à i^ ; on a donc, pour ces valeurs de /,

ifirc

d'ailleurs quand t décrit le segment (o, . . «coi 4- 0)3, p(i 4- CO3) va en augmentant; si donc on pose pour un instant / = cO| -f- i\ la dérivée, par rapport à la variable (réelle) \ de la fonction (réelle) p(o)| + (1)34- )./) sera positive pour les valeurs de X comprises

entre o et -r-; on aura donc

et, par suite.

de même

fj)'(7j-+-a>3)> 0

,,7/.+co,)=-;^^

On a ainsi tout ce qu'il faut pour appliquer les formules (CXXVIII) et calculer, si Ton se donne les éléments numériques du problème, les quantités /| -h ^3, /a H- (1)3 à des multiples près des périodes, c'est-à-dire, dans le cas actuel, sans aucune ambiguïté.

639. Remarquons, en passant, que les deux valeurs C^ 4- wj, — 1-2 — W3 font acquérir à la fonction p' t la valeur -^i la fonc-

APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. l8l

lion p'/ — ;-y^ est une fonction doublement périodique de /, du

troisième ordre, avec o pour pôle triple; la somme de ses zéros devant être congrue à la somme de ses pôles, on en conclut que son troisième zéro est /^ — f\'y en d'autres termes, on a

On peut évidemment poser t^ — /| = coi -h /A, X étant une quantité réelle comprise entre ^ et -:^ ; la formule précédente montre

que X est positif: en efiel, la dérivée, par rapport à la variable (réelle) \ de la fonction (réelle) j)((i), -[- A), c'est-à-dire /p'(^>i -\- A), est de signe contraire à X, puisque p(ci>|-f- A) décroît quand X

croît de o à -7^ et croît quand X croît de ^ à o; or, d'après la

formule précédente, /p'((i), -|- /X), c'est-à-dire ip'{t2 — <i), est

négatif. Ainsi X, c'est-à-dire -r (^2 — ^i — ^i)» est compris entre o

11 va sans dire que l'expression de p'{f2 — ^i) aurait pu être déduite, parles théorèmes d'addition, des expressions de p(/i -+- (03), p(t2-\- o)s), p'{ti -4- W3), J>'(^i-t- W3). Voici quelques formules obtenues par cette voie et qui pourraient servir pour le calcul de /i , /a :

Pifi-^ft)-- ^^^77 ' p\t,-^(,)= .^, »

Pift—fl)=-^fiy P{ti-h)= .^^3-

660. L'expression de p'(/| 4- ^2) montre que /|-i- /a ala valeur w, pour hl^= C^, c'est-à-dire pour c-= - gl'^r^j valeur dont on reconnaît de suite qu'elle est plus grande que la limite inférieure de C*-* et plus petite que la valeur de C'' qui rend A'-* maximum. Pour cette valeur particulière, on se trouve dans un cas signalé par M. Greenhill, où les formules se simplifient notablement;

( ' ) Les valeurs des fonctions sn, en, tin, pour les valeurs de v qui correspondent à < = /j ou / = ^2 se déduisent très facilement des expressions de ^ — a, ^ — 6, z — c, et l'on a, dans tout ce qui précède, tout ce qu'il faut pour la détermination des signes.

l82 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

d^abord b est nul, en sorte que le mobile reste compris entre l'équateiir de la sphère et le parallèle z = a; on a ensuite

Lorsque C^ est compris entre -gr^ et -g^^/'J, b est positif et ip'{ti'{- ti) est négatif; c'est le contraire lorsque c dépasse -gl^rl; on a, suivant les deux cas,

/| -4-(/t — toi) < w.

661. C'est surtout en vue de la détermination de 0 (ou de x^ y)

que nous avons calculé les valeurs de p(ti -\- (03), p^{tt -+- CO3),

On a

d'où, en tenant compte des formules

/ — 5 = (/ — «)~-(5 — a)= — (p('-+-wa) — P('i -Hto,)],

l ^ z = {l ->r a) -\- {z -k- a) = [p(/-+-o)3) — j)(/j -hco,)],

qui résultent immédiatement des valeurs de / — a^ l -{- Uy z — a^ que les précédents calculs mettent en évidence,

dh dt

et en décomposant en éléments simples, ou, ce qui revient au même, en utilisant la seconde formule (CIII|), les expressions

de p'(^i-t-o)3), p'('2 4- <A>3), ainsi que les formules (XIl4^5),

En intégrant et choisissant la constante d'intégration de façon que 6 s'annule en même temps que ^, on a

APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. l83

d'ailleurs, à cause des expressions de / — Zy l-\-z que l'on a écrites plus haut et des formules (VIIi), on a aussi

r.(/-.)(/-+-.) = --^^,-^^ CJ t Cî /, CJ t,

donc

662. Cette formule montré que x-\- iy et, par suite, x eiy sont des fonctions univoques de t, La forme même àe x -\- iy montre que c'est une fonction doublement périodique de seconde espèce; c'est le produit d'une exponentielle par la fonction

dont les multiplicateurs [jL|, u.3 relatifs aux périodes 2(0|, 20)3 sont respectivement

On pourrait prendre pour l'élément simple relatif à la fonction a: 4- *y la fonction

et transformer l'expression de ^ 4- y^ en la décomposant en éléments simples (n° 367).

Nous nous bornerons à quelques remarques relatives à la fonction y(^), qui ne sont d'ailleurs que l'application des observations faites au n° 372. D'après ce qui a été dit plus haut, t^ -\- ^2 est de la forme C0| 4- awa, a étant un nombre réel compris entre o et 2; si l'on considère la fonction doublement périodique de seconde espèce

T. et M. — IV. i3

l84 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

on voit de suite que ses multiplicateurs, relatifs aux périodes 2(i>i, 2 0)8, sont respectivement ^"""'^', e'^'; si, par conséquent, a est de

la forme —» p eiq étant des entiers premiers entre eux, [^(/)]^^ sera une lonction doublement périodique ordinaire ; il en sera de même de l'expression

que Ton pourra obtenir sous forme explicite par la méthode de décomposition en éléments simples; elle admet le pôle unique ois, d'ordre de multiplicité \q. Gomme on a donné plus haut l'expression de p[t^ + ^2)) d'où il est aisé de déduire celle de J3(acoa), on voit le moyen de déduire l'équation algébrique que doit vérifier

la constante C pour que a ait une valeur donnée -9 de l'équation

algébrique que vérifie p ( - 0)3 j > équation algébrique qui sera étudiée plus tard. Nous nous contenterons de ces indications sommaires sur un sujet qui se rattache d'ailleurs à la théorie des intégrales pseudo-elliptiques, que nous n'avons pas abordée; le cas simple où a=:i sera traité explicitement un peu plus loin (*)•