PREMIÈRES APPLICATIONS A L'ALGÈBRE ET A L'ARITHMÉTIQUE

§ I. — Division des périodes par un nombre entier.

676. Nous allons nous occuper du problème qui consiste à trouver, quand on se donne g^ et g^^ ou Ar, les valeurs de pdp.q ou snap^q^ où Ton a posé suivant les cas

^ apwi -4- açrws __ipK-\- 7.qiK'

ap,q — - 9 ^PyÇ — ~ »

en désignant par n un entier positif donné et par/>, q des entiers quelconques, tels toutefois que 2p, 2q ne soient pas tous les deux divisibles par n. Ce problème se relie au problème de la transformation d*une part, et, d^autre part, à la recherche des valeurs de

p— 9 sn- quand on se donne pu, snu, c'est-à-dire au problème

de la division de l'argument ; pour ^2 = 47 ^s = o? il est, d'ailleurs, identique au problème de la division de la lemniscate dont nous nous occuperons plus loin.

Le problème ne se présente pas pour n= 2] il a été complètement résolu pour n = 4 (n°* H7, 334); nous réunissons ici les formules que Ton a obtenues; les signes supérieur et inférieur se correspondent dans les deux membres d'une même équation :

*»*1 \rt ^t , .,, 0)3 ± (i)| . vif,

p— i = Cl -+-(<?, — <?i) A:, p — = <î3— (<?i — e,)A:, p — = ej =p e(<?i — c,) A:A:',

K I iK' i K±iK' /r^TT db ivrrx

sn — = t sn = — — ) sn —

K )pP Œ' v^iH-A: KdtiK' i^^iy/k'

en — = ■» en — = r-) en = — -= — :>

én^=. yfk\ dn i^ = yfTTk, dn ^^^^ = î^ (/TTT' q: e /T^TÏ').

677. D'une façongénérale,lesvaleurs de pa^,,^ sont racines d'une

équation f{y) = o de degré ~" ou -, suivant que n est

impair ou pair, équation que Ton a appris à former aux n^* 4-56, ..., 460 et dont on obtient, suivant les cas, le premier membre

en remplaçant pu par z dans Wn{u) ou dans -r-^\{u) (CIV);

suivant que n est impair ou pair, la première ou la seconde de ces expressions est un polynôme en pu dont les coefficients sont des polynômes entiers en,g2',gz à coefficients numériques rationnels. Quant à Téquation F(:;) dont les racines sont les valeurs non nulles de sn-^a^^^, elle se déduit immédiatement de la précédente; en regardant pour un instant R et VJ comme des fonctions de T, puis en prenant to, =R, (1)3 = /R', et, par suite, y/ei — ej = i,

en sorte que Téqualion F(5) = o résulte de Téliminatioii de y entre les deux relations

on a alors

et les coefficients de l'équation F(5) = o sont évidemment des polynômes en k^ à coefficients numériques rationnels.

Nous nous occuperons exclusivement, dans ce qui suit, du cas où /i = 2v -h i est un nombre premier impair; Téquation y(^) = o est alors de degré ^{n^ — i) = 2v(v + i). Puisque ses coefficients sont rationnels en ^2? g^j elle ne change pas quand on remplace 0J4 , ojj par Q, = aa)| -i- P0J3, Q3 = ycoi -\- 0(1)3, a, j3, y, 5 étant des entiers qui vérifient la relation a8 — ^y = ' • en effet, ces substitutions ne changent ni les quantités g2i ^3, ni la fonction pu. De même l'équation F(z) = o, de degré 2v(v-h i) en 5, ne change

pas quand on remplace t par - — ô~' ^' ?>T»^ étant des entiers qui vérifient la condition ao — ^y = i , les nombres a, 8 étant en outre

(») (XCVI) Cf. Nouv. Ann. de Mathém., 3»sér., t. XIX, p. 2.

APPLICATIONS A L'aLGÈBRE ET A l'aRITHS^ÉTIQUB. QO7

assujettis à être impairs, et les nombres p, y étant pairs, puisque ces substitutions ne changent ni A*', ni sn^u,

678. Appelons élément un couple de nombres entiers (/>, q) rangés dans un ordre déterminé et qui ne soient pas tous deux divisibles par /î. Nous dirons que deux éléments (/?, y), {p\q') sont indistincts lorsque les deux nombres p — /?', q — q' ou les deux nombres p-\-p', q-ï-q' sont divisibles par /i, en sorte que l'on ait p{^p,q) = p{cip'^q'). On observera que Ton peut toujours remplacer un élément donné (p, q) par un élément (/>', q') qui n'en soit pas distinct, et dans lequel />', q' soient premiers entre eux; on peut même imposer, en outre, à p', q' la condition de donner comme restes, pour un module quelconque a, premier à /i, des nombres e, y\ arbitrairement choisis, pourvu que l'un d'eux soit premier à a. Rappelons, en effet, que la forme Aœ + B, où A et B sont des entiers fixes et x un entier variable, peut représenter une infinité de nombres premiers à un nombre entier quelconque C premier à A; on obtient l'un d'eux en choisissant x de manière que le reste de la division de Ax -f- B par C soit i ou un nombre quelconque premier à C; ceci posé, on déterminera deux entiers Xo, [Xq qui vérifient les congruences

toutes les solutions de ces congruences sont de la forme

X = Xo -f- a.r^ 11= yiQ-\- ay^

X ely étant des entiers arbitraires; on prendra

/)'=/> -i- Xq/i -h ana?, q' = q -^ ix;,n -i- any;

l'un des nombres/) H-Xo/i, y -|- [Xq/i est, par hypothèse, premier à a; supposons que ce soit p -{-Xon; s\p n'est pas divisible parn, />' sera premier à an quel que soit x que l'on fixera arbitrairement; on choisira ensuite y de manière que q' soit premier à/>'; si /> = X| n est divisible par /i, X, -f- Xq + ax sera premier à a quel que soit x; on choisira x de manière que Xi -f- Xo -i- ax soit premier à n et, par suite, à an; puis, en observant que q est certainement, dans le cas présent, premier à n et qu'il en est de même de q'j quel que soil^, on choisira^ de manière que q' soit premier

à Xi 4- Ao -H ax^ et, par conséquent, à />'= /i(A| H-)^o -+- aj:). On peut, par exemple, supposer/?'^ i, 5r'^o(mod. i6).

Il y a 2v(v-f- 1) éléments distincts, qu'on obtient, par exemple (n" 438), en donnant à /> la valeur o et à y les valeurs i, a, ..., v, à/) l'une des valeurs i, 2, ..., v et à gr les valeurs — v, — v-j-ii •••» o, ..., V — I, V. Nous appellerons système complet le Tableau formé par 2v(v H- 1) éléments distincts.

679. En désignant toujours par a, p, y, S des entiers qui vérifient la relation ao — 3y = i, nous dirons que Télément

est le transformé de l'élément (p^g) par la substitution