CD

Deux éléments (/?, q), (/>', y') transformés par une même substitution S donnent des éléments distincts ou non, suivant qae les éléments (/>, gr), (/?', q') sont eux-mêmes distincts ou non. Si l'on transforme tous les éléments du système complet, par la substitution S, on reproduit le système complet.

Parmi les substitutions S nous distinguerons les substitutions

2 = ( ? U où a, p, Y, 8 sont des entiers qui satisfont aux conditions suivantes : ao — ^y est égal à i, p est pair et l'on a, en outre, a = 5 ^ I , Y — o (mod. 16). L'intérêt d'une telle substîtu-

tion consiste en ce que la substitution de • — q- à t ne change ni

<P(t) = y/A*(T), ni la fonction sn(w|T) et qu'elle change K, iK respectivement en aK-i- «*?K', yR-h /•5K'(XLVII, LXXX). La substitution inverse d'une substitution S et le produit S2:i' de deux substitutions (n**» 146, 147) qui satisfont aux conditions précédentes sont eux-mêmes des substitutions qui satisfont à ces conditions; les substitutions S forment un groupe.

680. Étant donnés deux éléments distincts, on peut trouver une substitution S telle que le premier élément, transformé par cette substitution, devienne le second élément, ou plutôt n'en soit pas distinct. Supposons que le premier élément soit (o, i) et soit

APPLICATIONS A L*AL6ÈBRE ET A L*ARITH1IÉTIQUE. 209

{p, q) le second élément; (o, i) transformé par S devient (y, S); il est permis, en remplaçant au besoin (/?, q) par un élément qui n'en soit pas distinct, de supposer /?, q premiers entre eux, puis p^o^q ^ I (mod. i6) ; on prendra y == /?, 8 = 5^? puis, en désignant par olq, Po une solution entière de Téquation qcn — ^ ^ = i , on devra prendre a = ao-f-X/?, ^=: ^Q-^Xq; on choisira rentier X de façon que ^ soit pair; la condition qa — ^^ =r i, qui est toujours vérifiée, montre, d'ailleurs, que l'on a a^ i (mod. 16); toutes les conditions imposées pour que la substitution S soit une substitution S sont alors vérifiées. La substitution S"*, inverse de S, transformerait l'élément (/?, q) en (o, i), et une nouvelle substitution S' du même type transformerait l'élément (o, i) en un autre élément arbitraire (/)', q'); la substitution composée S'S"% qui appartient toujours au même type, transformerait donc l'élément (/?, ^)en (/?', gr') (*).

681. Les V éléments (rp, rq), où r = 1 , 2, ..., v, sont distincts; nous dirons qu'ils appartiennent à une même ligne. En donnant à r une valeur fixe et à r' les valeurs 1,2, . . ., v, les éléments (rr'p, rr^q) reproduisent la ligne à laquelle appartient

(*) Si Ton veut s'occuper de l'équation qui a pour racines les valeurs non nulles de sn(a ), et non les carrés de ces valeurs, il est nécessaire de modifier un peu ce qui précède et, en particulier, la définition de deux éléments indistincts; deux éléments {ptq)t ip'yç') seront indistincts si l'on a

c'est-à-dire soit

p' — p — o (mod. 2n)f g' — g = o (mod. n),

soit

P'h-/?-=o (mod. 2/1), <7'-h^ = o (mod. /i);

le cas où Pj g seraient tous deux divisibles par n est toujours exclu. Les dernières congruenccs montrent que l'on peut, si l'on veut, supposer p impair. Le Tableau des éléments distincts contient alors /i^— i = 4^(^ "^"0 éléments. Deux éléments restent distincts ou indistincts quand on les transforme par une substitution Z. En modifiant légèrement la démonstration du texte (n* 678), on reconnaît aisément que l'on peut remplacer un élément (/?, g) par un élément (/>', g') qui n'en soit pas distinct, et pour lequel on aura

p'^if g' — o (mod. 16).

Dès lors, on voit de suite qu'il y a toujours une substitution £ qui transforme un élément donné en un élément donné, pourvu, bien entendu, qu'on ne distingue pas les éléments indistincts.

QIO FONCTIONS ELLIPTIQUES.

l'élément (/>, q)^ caries valeurs absolues des restes minimums des nombres r/''( m od. n) sont les nombres i, 2, ...,v. Un élément détermine la ligne à laquelle il appartient. Le Tableau (T)des éléments du système complet, rangés en lignes, contient 2(7 + 1) lignes. Les éléments d'une même ligne, transformés par la substitution S, restent les éléments d'une même ligne. Deux éléments XPt ?)> {P^'i yO appartiennent ou non à la même ligne, suivant que le déterminant j[?yi — p^q est, ou non, divisible par n; il suffît évidemment de démontrer que, pq^ — p%q étant supposé divisible par /i, les deux éléments (/?, y), {p^^ qx) appartiennent à la même ligne; or, si p est divisible par n, il en est alors de même de p^ , puisque q et />« ne sont pas à la fois divisibles par n ; on en conclut de suite que (/>, y), (/?<, q^) appartiennent à la même ligne formée des éléments (o, 1), (o, 2), ..., (o, v); s\ p est, au contraire, premier à /i, il existe deux entiers r, s tels que l'on ait /?! = /?r -j- nSj et l'on aura

PÇi—Pi^ =Pq\ — ipr^ns)q ^piqi —qr)^o (mod. n);

d'où l'on conclut que qt — qr est divisible par n, comme p^ — pr, et que les éléments (/>, ^), (/>|, qt) appartiennent donc à la même ligne.

682. Il existe une substitution S qui transforme deux lignes différentes, arbitrairement choisies dans le Tableau (T) en deux lignes différentes, choisies elles-mêmes arbitrairement. En vertu du raisonnement employé à la fîn du n° 680, il suffîra de démontrer la proposition en parlant des deux lignes

qui deviennent, si l'on en transforme les éléments par la substitution S,

(Y»û), (2Y, 20), ..., (vY, vo). (a, p), {2a,2?j, ..., (va,vp);

nous voulons que ces deux lignes coïncident respectivement avec celles qui contiennent les éléments (/?, q), (r, s).

Ayant choisi /?, q premiers entre eux tels que l'on ait p =0, q^ I (mod. 16)5 nous prenons d'abord v =/?, 2 =5^^ nous devons

APPUCATIONS A l' ALGÈBRE ET A l'aRITHMÉTIQDE. 211

prendre ensuite a = Xr -f- a/i, ^ = X5 4- bn^ en désignant par a, è, }. des entiers, de manière à vérifier d'abord la condition

qui entraîne

{qr — ps)\ -\- n{qa — pb) = i \

qr — ps est premier à /i, puisque les deux éléments (/>, çr), (r, s) appartiennent à deux lignes distinctes; on peut donc déterminer les entiers X, [x tels que Ton ait

puis, les entiers/?, q étant premiers entre eux, déterminer les entiers a, b de façon que Ton ait

qa — ph = ji.

Si ao, 60 sont une solution de cette équation, on prendra

a = Xr-h /i(ao-H/>:r), p = X5 H- /i(6o -4- yar),

ar étant un entier que l'on choisira de façon que ^ soit pair, ce qui est toujours possible, puisque nq est impair; alors, à cause de la relation a.q — p/? = i, on aura a ^i (mod. 16).

683. Ces considérations arithmétiques vont nous fournir des renseignements précieux sur les équations que vérifient les quantités sn2(a^^^), p(a^^ç). Nous raisonnerons sur la première; les raisonnements se simplifient pour la seconde, en ce sens qu'on n'a pas besoin de tenir compte des conditions imposées à a, P, y, S en dehors de la relation aS — Py = i .

Fixons un corps (*) û, formé au moyen d'éléments numériques quelconques et de la fonction <p(t) et considérons une équation f(^z) = o, entière en z^ dont les coefficients appartiennent au

( ' ) Un corps, ou domaine de rationalité, est un ensemble de nombres, constants ou variables, tels que, si deux éléments figurent dans cet ensemble, la somme, le produit, le quotient de ces deux éléments y figurent aussi. Tous les nombres rationnels figurent dans un corps quelconque. On pourra, si Ton veut, supposer que le corps O comprend seulement tous les nombres rationnels et toutes les fonctions rationnelles de «pCt) à coefficients numériques rationnels.

corps û, et qui soit vérifiée quand on y remplace z par

où /?, q sont deux entiers donnés, non divisibles tous deux par n; il faut entendre par là que la fonction analytique de t, f[sn^(ap^q)y cf], où T entre dans cp, dans sn, dans K et dans K', est identiquement nulle. Si, dans cette fonction, on remplace x par

' -ô-> ou 1= ( Is ) est une substitution qui satisfait aux con-

ditions précisées plus haut (n° 679), <p ne change pas, non plus que la fonction sn^ qui reste la même fonction de a, et ap^q est remplacé par ap^^g' en désignant par (/>', g') le transformé par S de l'élément (/), q); on voit donc que/[sn2(a^'^^'), cp] est toujours nul. Comme (/?', q') peut coïncider avec n'importe quel élément du système complet, on voit que l'équation /{z, ?)= o, du moment qu'elle admet pour racine une des valeurs de sn^(a^^^), les admet toutes.

Soit maintenant F(z) = o l'équation même que l'on a appris à former au n" 677 et qui a pour racines les valeurs non nulles de sn^ {ap^ç)\ ses coefficients appartiennent au corps Û. Il est impossible que F{z) admette un diviseur entier en z dont les coefficients appartiennent au corps Q. Si Ton avait, en effet, une identité de la forme

où f\{z)^ /^{z)^ •.. seraient de tels diviseurs, chacun de ces polynômes deviendrait une fonction analytique univoque de t, quand on y remplacerait z par sn^(ap^g)', leur produit F(s) étant nul identi((uement, l'un d'eux, /i (z), par exemple, serait aussi identiquement nul; il admettrait donc la racine sn^ap^ç et, par suite, toutes les 2v(v -h i) racines de F(>3)^ il serait donc identique à F{z) à un facteur constant près appartenant au corps û; l'équalion F(5) = o est donc irréductible dans le corps Û (*).

(') Si l'on considère l'équation V{x^) = o, obtenue en remplaçant z par x*, et qui a pour racines les valeurs non nulles de sna , on reconnaît de même, en utilisant les remarques contenues dans la note du n"* 080, qu'elle est irréductible dans le munie corps.

APPLICATIONS A l'ALOÈBRE ET A L ARITHMÉTIQUE. 2l3

684. Ceci posé, envisageons une fonction symétrique rationnelle S(>So Zfy . .., z^) de V variables 5|, ^2, . . ., ^ytlont les coefficients appartiennent au corps û^ remplaçons-y pour /• = 1,2, . . ., v la variable Sr par la fonction rationnelle (*) de sn^u qu'est sn^ra, puis sn^u par z, et désignons par R(^) la fonction de z ainsi obtenue. Cette fonction R(^) prend la même valeur quand on y remplace z par Tune quelconque des v valeurs de

sn*(rap,^) = sn«(arp,/g) (/- = i, 2, ..., v),

c'est-à-dire par Tune quelconque des v racines de F{z) = o qui correspondent aux éléments d'une même ligne du système complet : l'expression

R(sn*ap,ç) ou S(sn«ap,ç, sn«a,p,,^, . . ., snïavp,^)

est égale à

R(sn*ar/,,r7) ou s ( Sn* ar/,,r7, Sn«airp,îr7, ..•, Sn*Cfvr/»,vrg),

puisque les nombres r/?, 2/7?, ..., v/-/? sont congrus (mod. n) aux nombres zb/?, itz 2/?, ..., itv/?, que les nombres rg^ '^^^q^ •••, vrç sont congrus (mod. /i) aux nombres dz ^, ±: 2 <7, ..., ifcvy, et que la fonction S est une fonction symétrique de ses éléments. La fonction il(^), quand on y remplace z par les 2v(v -f- 1) racines de F (5), n'est donc susceptible que de 2(v-i- i)= /i -f- 1 valeurs au plus; nous allons montrer qu'elle en a exactement /i -|- 1, à moins de se réduire à un élément de Q. Supposons, en effet, que l'on ait

quoique les éléments (/?, </), (/?', ^7') appartiennent à deux lignes distinctes; en remplaçant t par ^q > ou S = ( ^1 appartient au type défini plus haut (n° 679), et en désignant par (/?i, <jr| ), (/'«' 7i) '^^ transformés par S des éléments (/?, ey), (/;', </'), on aurait encore

mais, comme les éléments (/?4,<7, ), {p\^(j\) peuvent appartenir

(*) Les coefficients de cette fonction rationnelle sont des fonctions entières, à coefficients numériques rationnels, de ^(t).

2l4 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

à telle ligne que I'oq voudra (n° 682), il en résulterait que la fonction R (5) ne saurait prendre deux valeurs distincles pour deux racines de Téqualion F (5) = o, quel que soit le choix que nous fassions de ces deux racines; la valeur unique de R.{z) serait donc un élément de Q.

Si nous écartons ce cas, on peut donc dire que par la transformation y = R(5), Téqualion F (5) = o se réduil nécessairement à une équation G (y) = o de degré (/i -h i), dont les coefficients appartiennent au corps ù; elle est irréductible dans ce corps; elle a pour racines les (n -h 1) valeurs .)'o? J'i > •• •? yn que prend R(^J quand on y remplace :; par sn^a^^^ et (/?, q) par /i -h- 1 éléments appartenant aux n -f- i lignes distinctes du système complet; chacune des racines correspond à une ligne de ce système complet.

Si ys est une de ces racines, les deux équations

ont V racines communes, à savoir les v racines z^^s^ Z2,si •••} -^v,* de F(z) = o qui correspondent à la même ligne que^,; ces v racines dépendront d'une équation ^(5 ; y s) = o, que Ton obtiendra en cherchant le plus grand commun diviseur de F(z) et de R (z) — ys, en sorte que les coefficients de g{z', ys)i envisagée comme une fonction de 5, sont des fonctions rationnelles de^, et des éléments da corps û; en d'autres termes, ces coefficients appartiennent au corps ùs formé en adjoignant ys au corps Q.

Dans ce corps Q,, l'équation en 5, f{z\ y s) = o, est, d'ailleurs, résoluble par radicaux ; il est aisé de voir qu'elle appartient même au type le plus simple des équations résolubles par radicaux, car eXie esl cycliq ue . En effet, siX est une racine primitive du nombre premier n, les valeurs absolues des restes minimums (mod. /î) des nombres X, X^, . . . , X^ sont les nombres 1, 2, . . . , v rangés dans un certain ordre; de plus, X^+* est congru à a. Il résulte de là que chaque élément d'une ligne s'obtient en multipliant les deux termes de l'élément précédent par X, et qu'on reproduit le premier élément eu multipliant le dernier par X. Si donc on représente, pour un instant, par 9(sn2a) la fonction rationnelle de sn^ M qu'est sn-(XM), fonction dont les coefficients sont des fonctions entières de o(t) à coefficients numériques rationnels, on voit que les racines Zx^ z-y, » * - -, z^ de l'équation g{z^ y s) = 0

APPLICATIONS A l'ALGÈBRE ET A l'aRITHHÉTIQUE. 2i5

peuvent être rangées dans un ordre tel que l'on ait

z, = e(5,), ^8 = 6('«i), ••., ^v = ô(zv-i), <si = e(zv);

c'est le caractère des équations cycliques.

Observons encore que si y = R' (z) est une autre fonction de z formée comme R(^) Ta été, et si Ton désigne par j^i» y^f -- '^ ^n les valeurs de y' = R'(^) qui correspondent respectivement aux mêmes lignes du système complet que les valeurs j^o? J^i 7 • • •? yn de y =^ R(^)» î^ existe une relation de la forme

y's^'^iys) (s = o, 1,2, ...,/i),

où W désigne une fonction rationnelle de ys dont les coefficients appartiennent au corps û,; en effet, l'expression R!{z) conserve la même valeur j^^ pour toutes les racines 5|,,, Z2^st • . •, 5v,j de l'é-

quation en 5, g{z^ ys) = 0; et j^^ = - ^^ R(5r,j) est évidemment

une fonction rationnelle (dans û) des coefficients de l'équation g{^^ys)y c'est-à-dire dejv

685. Des résultats tout pareils concernent l'équation y(^) = o dont les racines sont les valeurs de pcip.q] au lieu du corps ù on considérera toutefois un corps û' formé au moyen d'éléments numériques quelconques et des quantités ^2? gz*

L'équation f{y) = o est irréductible dans le corps l}'. Une fonction symétrique (ou même cyclique) des quantités pcip^q relatives à une même ligne et dont les coefficients appartiennent au corps Û', est racine d'une équation de degré n-{-i, dont les coefficients appartiennent à ce corps, et cette équation est irréductible dans ce corps si les valeurs de la fonction symétrique (ou cyclique) considérée changent quand on passe d'une ligne à l'autre. Toute autre fonction symétrique (ou cyclique) des mêmes quantités pcLp^q qui garde la même valeur pour les éléments d'une même ligne, et dont les coefficients appartiennent au corps û', est alors fonction rationnelle de la première.

Une racine de l'équation irréductible de degré (n + i) correspond à une ligne du système complet d'éléments et les — ^^— va-

leurs de pcip,q pour les éléments de cette ligne sont racines d'une T. et M. — IV. i5

2l6 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

équation de degré dont les coefficients appartiennent au

corps û^ obtenu en adjoignant cette racine à Q'. Dans le corps Û^ , Téquation de degré est irréductible.

686. Parmi les fonctions symétriques des quantités pctp^ç relatives à une même ligne, qu'il convient d'employer, la somme Pz='^pap^q se présente d'autant plus naturellement qu'elle figure déjà dans les formules de transformation (XXI). Il resterait, il est vrai, à prouver, pour pouvoir affirmer que P vérifie une équation irréductible de degré /i + i, que P change de valeur quand on passe d'une ligne à l'autre ; dans les cas particuliers où /i == 3, 5, que nous examinerons plus loin, ^irréductibilité de Téquation en P, du quatrième ou du sixième degré, apparaît toutefois directement sur l'équation même et le changement des valeurs de P quand on passe d'une ligne à l'autre en résulte.

M. Kiepert a montré que, pour n >> 3, la fonction

R = JJ [P(''«P.7) - P('^rap^g)l

OÙ V = — ; — > était particulièrement avantageuse. On reconnaît

de suite qu'elle est une fonction symétrique rationnelle des v quantités p{f'cip,q)'i puisque p{'irap^q) est une fonction rationnelle de ^2> g^i Pi'^^p.q)-) ^"^ sorte que R peut être mis sous la forme

J^F[p(mp,^)].

F désignant une fonction rationnelle de p(''<^/>,y) (* )•

(') R peut être mis sous une forme intéressante que le lecteur retrouvera saos peine en reprenant les formules des n'\372, 373 (voir V Errata), On a, en continuant à designer par v, et en écrivant R au lieu de R,

«,■„ = <-■'' n t^'»^.., ("■",.„) »^-.p,-., (2 '•«,„)] = n ^^rêrTr'lh—v

Au moyen des formules (VI,) et en partant de la dernière expression de R ,

APPLICATIONS A L*ALGÈBRE ET A L'aRITHMÊTIQUB. 217

§ II. — Équations modulaires.

687. Considérons d'abord les deux fonctions doublement périodiques p(u I (i)|, (1)3) et p ( w ~> 11)3 j, où /i est un nombre premier impair donné. La formule (XXI4) permet d'exprimer la seconde de ces deux fonctions au moyen d'une fonction rationnelle de la première ; les coefficients de cette fonction rationnelle de p{ii |ti),, (1)3) ou p{u\ ^2j ^3) dépendent des quantités pap^o- En développant les deux membres de cette égalité suivant les» puissances de u et en égalant les coefficients de u^ et de w', on obtient immédiatement les expressions des invariants G2) Gs de

la fonction p ( u \ —^ y (oA au moyen de g^i gi et des sommes

> p j > p<*^' ; SI, dans ces expressions, on remplace

les dérivées de p par leurs valeurs (XCVII) en fonction des puissances de j3, on a

Gi =^1-4- 60 2^1^^ —^ D(n — i)^j,

on trouve sans difficulté, en supposant « = 6^d= i, où l'on a posé

en particulier

Ces diverses transformations résultent sans peine des formules (XXXIJ, (XXXIIIj), (XXXVI,), (XXXVIII,,)» (LIj), (LIII2) ; on rappelle qu'ece /?, q désignent des entiers qui ne sont pas tous deux divisibles par n. Pour plus de détails, voir Kiepert. Journal de Crelle, t. 87, p. 199; t. 95, p. 218.

2l8 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

comme les fonctions symétriques des quantités p sont des

fonctions rationnelles de Tune d'elles, P< = ^ p > par

exemple, on voit que G2, G3 sont des fonctions rationnelles de gi^g^j Pi (à coefficients entiers); en d'autres termes, Ga, Gj appartiennent au corps û^ obtenu en adjoignant P^ au corps û'; ou encore, il existe deux équations algébriques, à coefficients entiers entre G27

G3, g2j gi-

Si, entre ces deux équations et les deux équations (XXXVIIg), qui expriment que J(/it), J(t) sont respectivement des fonctions rationnelles à coefficients entiers de G2, Gj et de g^^ gz, on élimine G2, G3 et g2^ par exemple, on obtient une équation algébrique à coefficients entiers, entre J.C/'t) et J(t); dans cette équation ne peut figurer ^j, car si l'on change ti)<, cos en Xco^, Xcoj où \ désigne un nombre quelconque, t ne change pas, tandis que ^jse change en ^^"^ gz» H existe donc aussi (XXXVlIg") une équatioo algébrique, à coefficients entiers entre k^{n'z) et A:'-(t).

688. On peut encore reconnaître l'existence d'une équatioD entre y/^ = ^^{'^) ^^ \/^ = \/k(rvz) en s'appujant sur les résultats établis au n*^ 584, de manière à obtenir quelques renseignements de plus.

Supposons formée l'équation irréductible F(w) = o, de degré 2v(v + i), qui a pour racines les valeurs non nulles de sn^a^,^; les coefficients de cette équation appartiennent au corps û formé par les nombres rationnels et les fonctions rationnelles à coefficients entiers de <p(t)=:v/A\ Supposons aussi formée l'équation G{y) = o de degré 2 v -h 2 dont on a établi l'existence au n° 684 et qui a pour racines les diverses valeurs d'une fonction symétrique de celles des racines de l'équation F(5) = o qui correspondent aux éléments (/?, q) d'une même ligne; si les coefficients de la fonction symétrique appartiennent au corps û, il en est de même des coefficients du polynôme G(^). Enfin, supposons formée l'équation g{^'iy)= o^ du degré v en :;, qui, lorsqu'on y remplace y par une des racines de l'équation G(y) = o, a pour racines les valeurs de sn^^y,^^ correspondant à la même ligne d'éléments (p^q) que la racine de l'équation G(y)."=o; les coefficients de l'exprès-

APPLICATIONS A l'aLGÈBRB ET A l'aRITHMÉTIQUE. 219

sion g(^]y), envisagée comme un polynôme en ^ et 5, appartiennent aussi au corps Q.

Ceci posé, reportons-nous à la formule (LXXXVI3) qui peut s'écrire

sijKo est la racine de l'équation G(y) = o qui correspond à la ligne (i , o), (2, o), . . . , (v, o) du système complet d'éléments (p^ q), le second membre, qui est évidemment une fonction symétrique de sn2(a^o), sn2(«2 0)7 •••» sn2(av,o)) c'est-à-dire une fonction symétrique des racines de l'équation en z, gi^iyo) = o, s'exprimera au moyen d'une fonction rationnelle R(yo) de^o? dont les coefficients appartiennent au corps û; il en sera donc de même du premier membre o^{n'z) ou y/7.

Si, maintenant, dans l'équation G(^) = o, de degré 2v + 2 en y^ on fait la transformation vp = R(y), on obtiendra une équation en tv, de degré 2v-t-2 = /z-hi, dont les coefficients appartiennent au même corps û, et que vérifie y//; cette équation peut être formée, en suivant la méthode précédente, par des calculs purement algébriques; nous en donnerons des exemples pour /2 = 3 et /i = 5. Cette équation est dite équation modulaire. On étend d'ailleurs ce nom à d'autres équations analogues.

Observons que le même raisonnement s'applique mot pour mot à la quantité

de l'équation (LXXXVI5) ; on formera ainsi V équation au multiplicateur, entre M et 'f (t), équation qui sera encore du degré

2 V -h 2 rr= /? -u 1 en M.

689. On peut se placer, pour définir l'équation modulaire (*), à un point de vue tout autre, d'où nous allons voir que la fonction

(') Cy. M. Krause, Théorie der Doppeltperiodischen Functionen . . . y t. I, p. 2o3 et suivantes. Le lecteur qui voudra pousser- plus avant l'étude des Fonctions elliptiques à l'Algèbre pourra consulicr le troisième Volume des Fonctions etliptiques de Halphen, et surtout les Elliptische Functionen de M. H: Weber.

<P(/it) elle-même est racine d'une équation algébrique, de degré /i -h I , dont les coefficients sont des polynômes en ç(t).

Si To est une solution de l'équation ©(':) = y©? où ç© est donné, toutes les solutions de cette équation sont des transformées

linéaires - — 1— de tq rentrant dans le type i® du Tableau (XX«),

et pour lesquelles on a

yo -h 0* — I ^ o (mod. i6),

comme il résulte du théorème du n^ 525 concernant les solutions de l'équation

et de la formule (XLVIi, cas i**) qui se rapporte à la fonction ç. Toutes les valeurs de la fonction ©(/it) sont donc de la forme

? — — Çi I > où a, p, Yî 5 désignent des entiers vérifiant les conditions précédentes ; il est bien aisé de voir que ces valeurs sont au nombre de /i -+- i .

i"" Si P est divisible par /i, on a

? :L «.. =?/ -^-^^ — \ = ?('»xo);

en effet, les nombres a, - > /ly, o vérifient les conditions imposées; d'abord leur déterminant est égal à i ; puis la condition yôn-o^ — r^o(mod. i6), supposant 8 impair, implique y^o (mod. 8); en ajoutant membre à membre les deux congruences

(n — i)y8=so, y^ "+" ^* — i^o (mod. i6), on trouve

/lY-o-i-û* — 1 = 0 (mod.i6).

2** Si P n'est pas divisible par n, on peut déterminer cinq nombres entiers a, b, c, rf, Ç tels que l'on ait

c + rfîi^ ô = r> aa — 6c = 1,

et cela quel que soitTo. Il faut pour cela que les nombres a, p, /?Y, /i8 soient proportionnels 2.na — 6$, 6, ne — d\^ rf, et comme

APPLICATIONS A L^ALGÈBRB ET A l' ARITHMÉTIQUE. 221

le déterminant des quatre premiers nombres est égal à n, ainsi que celui des quatre derniers, le facteur de proportionnalité ne peut être que ± i ; supposons qu'il soit H- i , ce qui ne restreint pas la généralité de la solution, et cherchons à satisfaire aux équations

na — 6$= a, 6 = p, ne — d^ = n^j d = n^;

on en tire

il suffît évidemment de déterminer Ç de manière que a 4- pÇ soit divisible par /i, ce qui est possible, puisque ^ est premier à n; rien n'empêche même d'imposer à Ç la condition d'être divisible par un entier quelconque, premier à /i, par exemple d'être divisible par 16; a, 6, c, (f , Ç étant ainsi déterminés, et a, d étant impairs, 6, c pairs^ comme il résulte des expressions mêmes de ces quatre nombres au moyen de a, p, y, 8, Ç, on a (XLVIi),

d'ailleurs, cd-^d'^ — i = (y + 8S)/i5 -h/i^o^ — i, si l'on suppose Ç divisible par 16, est congru (mod. 16) à nyS -h /i^S^ — i, et, par conséquent, puisque yS + 8^ — i est divisible par 16, à (/i — i)Y3-h(/i2 — 0^^» ^^> P^^ suite, à n^ — i ; on a donc

» (« vm '<-'-^^ c-T-^)

690. Les diverses valeurs de ç(ait) seront donc les valeurs distinctes de

que Ton obtiendra, par exemple, en donnant à X les valeurs o, i , 2, . . ., /i — I. On reconnaît, d'ailleurs, très aisément que les valeurs ainsi obtenues sont effectivement distinctes, sauf pour des valeurs spéciales dcTo.

Il est clair, par ce qui précède, que la substitution à Tq d'une valeur de t telle qu'on ait ?(':)= 'f (tq) n'en peut altérer l'ensemble. Les fonctions symétriques élémentaires de ces(/i + i) va-

leurs seront donc des fonctions algébriques de ©o= ?('^o)qui ne sont susceptibles que d'une seule valeur, quand on se donne (po^ c'est-à-dire des fonctions rationnelles de ç^, à coefficients numériques. Il existe donc une équation algébrique K{iVj i/) = o, entière, à coefficients numériques, entre «' = ç(/it) et w = '^(t), de degré /i -f- i en w. On voit de suite qu'une telle équation, ne devant pas changer par une substitution linéaire qui n'altère pas ^ (t), est irréductible dans un corps formé de nombres et de fondions rationnelles de f (t) à coefficients numériques quelconques; nous la supposons débarrassée de tout facteur ne contenant que u ; elle admet les racines

w = ?(/ix), iv=(— i) 8 ?(^~^ — )' (X = o, I,-2, ...,/l-IJ.

L'égalité

R[(-ir^\(^)»?(^)]=o

étant vérifiée identiquement, on voit, en y changeant t en /zt, que

l'équation R [( — i) * u^ çvj = o est vérifiée en même temps que l'équation R((v, u)= o, qui, ainsi, ne change pas quand on

change iv en ( — i) * u et u en iv; d'autre part, le changement de T en T H- 2 (XLVg) montre que l'équation R(w, m) = o ne doit

pas changer quand on y remplace u par i^ u et w par f' w. On voit ainsi, en particulier, qu'en regardant u cl tv comme du premier degré, l'équation R(^ï^', u) = o est aussi bien du degré n-{- i en « qu'en iv^ qu'aucun terme du polynôme R(iv, u) ne peut être de dimension impaire, qu'aucun de ces termes ne peut non plus contenir une seule des deux variables (v, u à une puissance qui ne soit pas un multiple de 4*

691. Ces remarques permettent de réduire notablement le nombre des coefficients numériques de ce polynôme, qu'il reste à déterminer. Pour cela, on pourra remplacer, dans le polynôme écrit avec des coefficients indéterminés, w = cp ('^'^) et u = o('z) par les

développements entiers en </* que Ton déduit immédiatement des formules (XXXVIII,); on égalera ensuite à zéro les coefficients des

APPLICATIONS A L* ALGÈBRE ET A L'aRITHMËTIQUE. 223

diverses puissances de q^. Sauf le facteur y/2, qui disparaît à cause de la parité des termes de R(iv, a), ces coefficients sont entiers; on aura donc, pour déterminer les coefficients de R(tv, m), à résoudre des équations du premier degré à coefficients entiers; les solutions seront des nombres rationnels, ou même, si Ton veut, entiers. Les coefficients de l'équation R(tv, u)= o, considérée comme une équation en (v, appartiennent donc au corps û.