On écrit habituellement cette équation Véquation mo
dulaire proprement dite, en y remplaçant w par ( — i) * ç\ elle a alors pour racines
{—\)~~^ o{nz), ç \~~Ti — )' (X = 0, I, 2, ..., n — I).
A l'équation R(«', u) = o qui relie les deux fonctions (v = cp(/iT) et w = c5(t) correspond une équation toute semblable reliant les deux fonctions {v= <J^(t) et a = 'i(/iT). Si, en efl^et, dans Téquation
qui est vérifiée identiquement en t, on remplace t par > elle
devient
Le même mode de raisonnement permet de prouver Texistence d'une équation algébrique à coefficients entiers, entre J(/it) et J(t) qui, quand on regarde J(t) comme donnée, a pour racines
J(/it), J| j, (X = o, I, 2, . . . , /i — I):
elle est du degré n 4-1 par rapport à chacune des quantités J(/ît), J(t); elle est irréductible dans le corps formé par les nombres rationnels.
Il convient d'insister, enfin, sur ce que les formules (LVIII) de Schroler permettent d'obtenir directement des équations modulaires pour chaque nombre premier impair donné /?; nous en donnerons des exemples pour n = 3 et /i = 5.
aa4 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
§ III. — Problème de la transformation.
693. Le problème de la transformation pour des fonctions doublement périodiques quelconques ^{u)^W(u) d'une même variable u consiste à rechercher la dépendance dans laquelle doivent se trouver les couples de périodes primitives de ^(w) et de W(«i) pour que ces deux fonctions soient liées par une relation aigébrique. Ce problème se ramène immédiatement à celui de la transformation pour la fonction pu, puisque ^(i/ 1 coi, (1)3) et p{u I Cl),, (03), d'une part, W{ii\Qi, Û3)et p{u\Qi, Û3), d'autre part, sont liées par une relation algébrique. Si p(u | coi, (03) et P(//|q,, Û3) sont liées par une relation algébrique
/[p(a 10)1,0)3), p(aHli, Û3)] = 0,
on voit aisément, en l'envisageant comme une identité en u, et en y remplaçant u par u augmenté d'un multiple entier quelconque /2, de 2(0,, que l'on a aussi
/[p{u jaij,o)j), p(a-h2W,w, |û,,Ûj)] = 0.
Puisqu'une équation algébrique ne peut avoir qu'un nombre fini de racines, cette relation envisagée comme une équation en
permet, puisqu'elle est vérifiée quel que soit l'entier /i,, d'affirmer que parmi les multiples (entiers) de 2 u>, il y en a certainement qui sont congrus à o, modulis 2û,, 2Û3 ; on verrait de même que parmi les multiples (entiers) de 2 o>3 il y en a certainement qui sont congrus à o, modulis 2û,,2û3; en sorte que, pour que deux fonctions pu puissent être transformées l'une dans l'autre, il faut nécessairement qu'il existe cinq entiers [jl, a^ &, c, d (que Ton peut toujours supposer sans diviseur commun), tels que l'on ait
|Jia)i = afli -+- 6û3, (JL0)3 = CÛi -t- C?Û3.
Soit 5 le plus grand commun diviseur des quatre entiers a, 6, c, d\ nous savons, par la théorie des substitutions (n^ 133), que Ton peut déterminer des couples (co', , 0)3), (û,, û,) respectivement
APPLICATIONS A l'aLGÈBRB ET A l'ARITHMÉTIQUE. 225
équivalents à (toi, toa), (ûi, Û3), et tels que Ton ait
!AW| = ^ — oû|, H^wj = ôQj.
Si l'on désigne par v le plus grand commun diviseur de |x et de
€ld ^ ÙC I 'Il
— ^ — > et par m, n Jes quotients de ces deux entiers par v, on peut d'ailleurs mettre ces relations sous la forme
wia», — /lolij, //i VU) 3 — 0 123;
m, n aussi bien que m, 8 et que v, 8 sont premiers relatifs. De ces relations on déduit que l'on a
\ Aïo 0/ \ m /?iv/
d'où, à cause du théorème de l'homogénéité,
mais p(8a) est une fonction rationnelle de p{u) formée avec les mêmes périodes; le numérateur est du degré 8^, le dénominateur d'un degré inférieur à 8^; en appliquant les formules (XXI4) et
(01114), on voit d'ailleurs que pfw — > co'j, j est une fonction rationnelle de p{u I (o',, (1)3), c'est-à-dire de p(w | coi, cos), dont le
numérateur est du degré /i, le dénominateur du degré n — 1;
81/ —> (1)3 j est donc une fonction rationnelle de p(m | tui, (1)3)
dont le numérateur est du degré /iS^, le dénominateur d'un degré inférieur à no'^. De même p( mu a\^ -- j est une fonction rationnelle de p(z/|û|, Û3) dont Je numérateur est du degré m^v, le dénominateur d'un degré inférieur à m^v. Ainsi deux fonctions p (m I Cl) 1,0)3), p(w|ûi,û3) ne peuvent être liées par une relation algébrique que si elles sont aussi liées par une relation de la forme
OÙ R et R| sont des fonctions rationnelles dont les numérateurs sont de degrés respectivement égaux à /iS^, m- y et dont les déno-
2a6 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
minateurs sont de degrés inférieurs à /lo^, m^v; /??, /î, 3, v sont des entiers qui doivent vérifier la condition que m, n d'une part, m, 0 d'autre part, et enfin v, o soient premiers relatifs. Il n'est pas difficile de montrer que ces entiers sont les mêmes de quelque façon que Ton choisisse les périodes 2(0',, 2(o', ou 2û', , 2Q3 équivalentes à 2a)|, 2(1)3 ou 2û|, 2Û3.
On réserve le nom de transformation primitive à celles qui correspondent au cas où m = 0 = 5 = I ; n est le degré de la transformation primitive. Ce qui précède met en évidence que toute transformation peut s'obtenir au moyen de transformations primitives. On voit aussi comment les équations modulaires correspondant à une transformation quelconque dépendent des équations modulaires correspondant à une transformation primitive, dont nous avons parlé au § II.
§ IV.— Division des périodes par 3. — Équations modulaires
correspondantes.
694. Nous avons formé (CIV2,3), et explicitement au bas du Tableau de formules (CIV), l'équation W^{u)=^o qui, par la substitution j^ = p^/, prend la forme
^1 ^1 . • . 7-W| '2 tu» 2103 rh '^uii o» etdont les quatre racines sont j3-^ , p- y p — — -' Si, entre
cette équation et l'équation (XCVl),
qui suppose y/c^ — ^'3 z= i , on élimine r, on obtient immédiatement Téquation F{3) = o, dont les quatre racines sont sn^--,
sn-— —I su-' bn tcnanl compte des relalions (XCVl)
(n-.ilO),
APPLICATIONS A L* ALGÈBRE ET A l'aRITHMËTIQUE. 227
on parvient aisément à Tëquation
F(z) = it*5* — 6A:«5« -I- 4(1 -+- A:*) -5 — 3 = o.
Par la substitution z = kz^ cette équation se transforme en
(I) (z»-i)» = 4(i-pz-^z»),
où
les racines de cette équation sont les carrés des valeurs que prend la fonction Eu i>. ^j de Kronecker(LXXV3) lorsqu'on y remplace i'
par -> -> •
On peut déduire directement Téquation (i) de Tégalité
sn2ap,^ = (— i)/^îsnap,^,
qui a manifestement lieu pour n = 'i] en posant z = A* sn- ap^ç et tenant compte de la formule de duplication (LXXXV^), on a, en effet,
en supprimant le facteur tZ on retombe sur l'équation (i).
695. Si Ton désigne par Z| o la racine de l'équalion ( i ) qui correspond à l'élément (i, o), on a d'ailleurs (LXXXVI3)
en»-— ,
il suffit d'éliminer Z|q entre cette équation et l'équation (i), dans laquelle on a remplacé z par Z|o, pour obtenir une équation entre 'f^(3T) et o^{'^)s l'équation
à laquelle on parvient ainsi, entraîne immédiatement la relation
puisque les premiers termes des développements des deux mem-
bres (XXXVIII i) suivant les puissances de cf sont égaux (ils sont
tous deux égaux à -f- '\<f)' En posant
m = ©it). p = — o(3t>,
on obtient l'équation modulaire proprement dite (pour n = 3)
( 'X ) v"* — u^ — 7, uvd — M* i?' ) = o.
696. On va vérifier que celle équation (2) se déduit aussi de Téquation (i) par une transformation rationnelle. On a, en eflet,
y7 (A: — z ) (I — /^z) I — pz-hz^ (\ — z^y
la dernière égalité résultant de Téquation (1); on en conclut, en extrayant les racines carrées,
Cpï(T) -2(1 — A A j'
car il est bien aisé de voir que le second membre de cette égalité doit, comme le premier, être positif pour de grandes valeurs po-
sitives de -• On n'a plus qu'à faire la transformation
•i{\ - kz)'
en remplaçant dans (i), i - z'^ par 2(1 — /:z)^, en remarquant que le second membre peut s'écrire (i — kz)(i — j/^)' en supprimant le facteur i — Az qui, en vertu de (i), ne peut s'annuler que si A*2 = i , on trouve
^ ~ I — Az'
l'élimination de z, enlre cette expression de y^ et celle qui est fournie par la transformation ralionnelle elle-même, donne enfin
A*^* — 2 k^j'^ -H iy — 1 = 0, et, en posant A: =^ ;/', V = — -y on retrouve l'équation modu-
ce
laire (2) enlre 1/ = cp(T) et r = — '^(3t).
APPLICATIONS A L*ALGÈBRE ET A L'aRITHMÉTIQUE. 229
