On a d'ailleurs aussi

lV»(T)68(3T) = fl-98(T)][l-Q8(3T)]

— (1 -f- fr'* — U"* — lt'*v'*){\ H- U* — t^^ — làv^)

— {\ — U'*V^ -h 1UV — XU^V^) (1 — 11"*^^ 7.UV -+- 2U3p*)

= (l — wH'i)2— î(l — M*P2),^Î<.2 =(i ^2^2 y»

= |i-oH'c)?'(3x)l^;

on en déduit immédiatement, en extraj'ant la racine quatrième, la relation

ou encore

y/F/ -^ s/Vi = I ;

c'est sous cette forme que Legcndre [Fonctions elliptiques, t. I, p. 23o) a donné le premier l'équation modulaire pour n ^= 3.

698. Plaçons-nous maintenant au point de vue du n" 691, et proposons-nous d'établir directement l'équation modulaire entre tt=tp(T) et (v = '^(3t). On sait qu'elle est du quatrième degré en çv, du quatrième degré en w, qu'aucun de ses termes ne peut être de dimension impaire en (v et w, qu'aucun de ses termes ne peut contenir w o\x u seul, à une puissance qui ne soit un multiple de 4; elle est donc nécessairement de la forme

(ay II'* -T- «•> //2 -4- «4 ) «'♦ -h ( hi u^ -+- ^3 a ) w^

(coti* -f- CiU^)w--+- (di u^ -i- d^u)w -t- CqU* = o.

Si Ton identifie cette équation avec les deux équations que l'on obtient en y remplaçant, d'une part, w par — z/, u par w, d'autre

part, u par i Uy w par i vv, on voit que :

ou bien

rt » = ^2 = ^3 — Cq = Ca = 6^1 = o et ^0 H- a^ = o ;

OU bien

«2 = ^3 = ^0 = ^1 — a, = h] = di = t'o = <> '

la première alternative est seule possible, car dans la seconde l'équation modulaire ne serait pas irréductible; l'équation modulaire

23o FONCTIONS ELLIPTIQUES.

est donc nécessairement de la forme

Si, dans le premier membre de celte équation, on remplace

u = ç(':), w= 'f (St) par leurs développements (XXXVIIIi), on

obtient, en égalant à zéro les coefficients de q^ et de ^r*, les relations

2^4 — f/3 = O, hi -h d:i = O,

en sorte que l'équation cherchée est

iv^ — a^ — iu^w^-\-iuw =0.

Pour çv= — i', on retombe sur Téquation (2).

699. Cette même équation (2) se déduit aussi de la formule (LVIIIi) et c'est peut-être par celte voie que l'on aperçoit le mieux la source commune d'où découlent toutes les équations modulaires (*).

Si nous faisons, dans cette formule, a= 1, p = 3 et, d'une part, :r = j,y = — i, d'autre pari, ^=: J,y= — |, puisque nous ajoutions les deux relations ainsi obtenues, il viendra

Si l'on transforme le premier membre de celle égalité, en appliquant la formule (XL<), il se présente sous la forme

[2;,(il4x) + &,(-i|4T)][^,(i|i2^) + a,(i|iaT)]

quel que soit T, on a d'ailleurs (XXXIV) S,(1|t) =-3,(i|T) =S,(o|T) =0; ^,(iT|T) = r"'~^ &,(o I T);

l'égalité précédente peut doue s'écrire

&i(ol4-)3ri(oli2-:) = &3(oi4x)2r,(o|iaT)-a,(o|4':)a,(ol 1%-.).

(') Voir Journal de Liouville. V sér., t. III, p. 360; i858.

APPLICATIONS A L*ALGÈBRR ET A L^ARITHMÉTIQUB. 23 1

Cette équation, daus laquelle on peut supposer t remplacé par -, est manifestement identique à l'équation modulaire (2).

700. Observons en passant que l'on obtient, par le même procédé, des équations analogues en posant dans la formule (LVIII4), écrite pour a = i , p = 3, au lieu de

X =\y ^ = — 1, et a? = f , y = -.^, soit

37 = 2-: -+-|, y = i'z — {, et x = 'i'z-^^, ^ = •2-: — J,

soit

a: = 4T-h|, jK = 4^ — i» et a? = 4'c-t-f, ^=4'c-f;

on parvient ainsi aux relations

701. L'équation au multiplicateur s'obtient en éliminant z entre les deux équations

Mz(i — Az) = A — z, z* — 6z* -+- 4pz — 3 = o.

Ces équations sont équivalentes aux deux équations

Az«-f- Bz -t- C = o, A'z2-+- B'z -+- G' = o, où

A = M-f-i, B = 3AM2— 6AM — A, G = — SM^-f- 4A»M -f- M,

l'équation au multiplicateur est donc

(AG'— A'G)î = (AB' — A'B)(BG'— B'G);

en divisant les deux membres par (A^ — i)-, et réduisant, elle

prend la forme

L'équation f(y) = o dans laquelle se transforme l'équation ^3(w)=:o par la substitution y = pu (n° 694) étant du quatrième degré en y, est résoluble par radicaux; il en est de même T. et M. — IV. iG

(le l'équalîon F(z)= o. En général, ces équations ne sont pas abéliennes.

702. Dans le cas où g2 cl ^3 sont réels, il n'est pas difficile d'écrire explicitement les valeurs des quatre racines de Tcqualion /O) = o dans laquelle se transforme l'équation ^'^(u) = o par la substitution y=: pu.

Convenons de désigner par e la racine cubique imaginaire de

Tunité dont l'argument est — ^ ou -^, suivant que le discriminant

est négatif ou positif; par F la racine cubique réelle de — aÇ; par a^ 6, c les quantités

par ^ la racine positive de a; par \^b, sjc les racines de fr et de c

dont la partie réelle est positive; il est aisé de voir que \^b^ \/c sont imaginaires conjuguées et que le coefficient de 1 dans la