partie purement imaginaire de \/b est positif. On a alors
20)1 / /r /- 2(i>3H-2ti>, /- ,-r r-
2 0)3 i- ,j /- 2tU3 '2(0, /- /y /-
L'ordre dans lequel on a égalé les quatre racines de Téqua-
y./ V I 2C0i 2CO3 2(JU3dt2t0i ,,
lion /(j^) = O aux nombres j3 --> p-^-^ p r^ est de ter-
miné par la condition que p— ^- soit réel et posait, p —-^ réel
Cl négatif ; p s exprime au mojcn de p -— > j) — et du
produit p'-ô-^ • p' -TT-'j par les formules d'addition.
APPLICATIONS A l'ALGËBRE ET A l'aRITHMËTIQUE. 233
§ V. — Division des périodes par 5. — Équation modulaire
correspondante.
703. Au lieu de former directement Téquation ^5 = o et Téquation f{y) = o, du douzième degré en y^ qui en résulte par la substitution y = pu^ équation qui a pour racines les douze valeurs
que peut prendre 1 expression pop^q pour ap^q^= -^ — - — -^
nous formerons. les équations du sixième et du second degré dont sa solution dépend.
Soient
En posant y = p{<^pjq)i on peut écrire (GIII7)
^y^ — g\y—gz et celte équation, si l'on regarde P comme égal à
e§t aussi bien vérifiée par p(«^^y) que par p(2a^,ç), puisque Ton a
P(4ap,7) = p(«A>,7); le polynôme
(r* ^-7^î)'-+- 2^3^— (7 — P)(47' — gty — gz)
doit donc être divisible pary- — P^ -h Q ; en écrivant qu'il en est ainsi, on obtient les deux équations
d'où l'on déduit
(3) p6-5^,P*-4o^sP'-5^|P*-8^,^3P-5^5=o.
Cette équation est irréductible dans le corps Q formé par les fonctions rationnelles de ^2» gz à coefficients entiers, puisque en la résolvant, par exemple, comme une équation du second degré
en ^3, la quantité sous le radical n'est pas un carré parfait. Il suit de laque les six valeurs àe p{ap^q) + p{2,ap^q) sont distinctes (' ). P étant déterminé par cette équation, on déterminera y par Téquation
On voit que toutes les fonctions symétriques entières de p{ctp^q)y p{'^^p,q)j dout Ics cocfficients appartiennent à û, seront des fonctions rationnelles de P dans le même corps.
En éliminant P entre les équations (3) et (4)) on obtiendrait Téqualioa du douzième degré f{y) = o, ayant pour racines les douze valeurs que peut prendre pctp.q pour /i = 5, équation que nous avons évité d'écrire.
704. Il n'y a aucune difficulté à former de même Péquation du sixième degré qui admet pour racine la quantité R introduite par M. Kiepert. On a, en effet, pour /i = 5,
= 4Q p2=__Ap,^.l^,+ «Ç;
(') Faisons en passant sur la forme de l'équation en p quelques obserratioDs qui s'étendent aisément aux équations analogues pour n premier impair.
Le coefficient de la plus haute puissance de p est numérique et les autres coefficients sont entiers en g^^ g^\ cela pouvait être prévu, car ce caractère, comme on l'a vu au n<* 457, appartient au polynôme en y que l'on déduit de ^*^(u) quand on y remplace pu par y-y il appartiendra donc aussi, en vertu de U théorie des fonctions symétriques, à l'équation S(^) = o, ayant pour racines les
sommes de racines de l'équation en ^ et à tous les diviseurs entiers en z,
Szy ëi ^^^ ^^ ^^^^ P^^ divisibles par un polynôme en g^^ g^; or le premier mtmbre de l'équation en p est un tel diviseur, puisque ses racines sont cerlaincs
sommes de racines de l'équation en y.
D'autre part, le polynôme en p est une fonction homogène de p, g^, g^ quand on regarde ces quantités comme du premier, du second, du troisième degré; cela pouvait aussi être prévu par l'équation d'homogénéité (VIII3).
Ces remarques montrent que, pour former l'équation en P, on n'a à déterminer que des coefficients numériques; en particulier, il Cbt certain que le terme en P" manque toujours dans l'équation en P.
APPUCATIONS À l'algèbre ET A l' ARITHMÉTIQUE. 335
il suffit donc d'éliminer P entre les deux équations
pc 5^, P* -40^3 P»- 5^1 P» -8^,^,P- 5^î = o, ou encore entre les deux équations qui leur ^ont équivalentes
9(R« + ^îR-^i)P«-t-54^3aR- ^2) P- 81^1=0;
on trouve ainsi, sans aucune peine, Péquation
V(R) = 5R«-t-i2^,R»— i6ogR3-+-256Ç*
où
et Ton obtient, en passant, l'expression que voici de P en fonction
rationnelle de R,
— Rî— 2^,R»-+-i6Ç'
705. Pour n = 3, les équations modulaires entre g2i ^3> Ga? G3 se déduisaient immédiatement des équations (i) du n° 687, puisque pour /i =: 3, v est égal à i, et que, par suite, on a simplement
Pour /i = 5, il faut faire subir à ces équations une légère transformation. Puisque p—p-» P ^ sont racines de l'équation (4), on a d'abord
2w, 4a>, 20)1 4a>, Pj+i^g-iPi + ^a.
p — -^p^- = Pi. P — p-r = ëp; '
on en déduit
n3 ^"> ^. n3 i.^ - P3 __ P?-^î^îPl-^^3 . P ~T" -^P c — '^l o »
en remplaçant ces sommes par leurs valeurs dans les équations (i) du n° 687, on a ensuite
^ I 39P,^j-+- 4o^3H-PiG,— 8oP}=o,
les deux équations cherchées sont le résultat de Télimination de P| entre les deux équations (3) et (5).
On observera que les deux équations (5) sont linéaires aussi bien en Gj, Gs qu'en ^2? gz* Si on les résout par rapport à g^^ gi et que, en y remplaçant Pi par P, l'on porte ces valeurs dans Téquation (3), on obtiendra une équation du sixième degré en P dont les coefficients seront des polynômes en G2, G3 à coefficients entiers, et que devra vérifier Pi. Cette équation, jointe à l'équation (3) et aux équations (5), montre bien nettement comment les éléments de Tun des couples (^2, gs), (G2, G3) dépendent algébriquement de l'autre, les éléments de l'un des couples étant susceptibles de six valeurs quand on se donne l'autre couple. Il convient de remarquer que si l'on connaît deux couples correspondants (g2^ gz), (G2, G3), la valeur correspondante de P| , racine commune aux deux équations (4)> s'obtient rationnellement au moyen de ^2, ^3, G2, G3.
706. Passons à l'équation du douzième degré qui donne les valeurs de sn^ ap^q, où
ipK-\-i iq K'
Le système complet des éléments est, par exemple,
oii l'on a mis l'un sous l'autre les éléments qui appartiennent à une même ligne.
Si Ton pose
y = X:»sn*ap,^sn»2a,,,^,
APPLICATIONS A l'aLGÈBRB ET A l'aRITHMÉTIQUE. 287
on aura, en vertu des formules d'addilion,
yjk^x\{iapn) = diix '- ,
/7 ,0 X 327 — 4pa7' -+- 6ar* — 27»
^ "" '''^^ 3ar> — 4pa76-h6a7* — I
d'un aulre côté, on voit de suite que l'on a
k sn*(3ap,ç) = k sn«(2ap,^),
et l'on a là le moyen de former une équation que devront vérifier toutes les valeurs de Arsn^a^^^; comme l'équation ainsi obtenue est du douzième degré, on est sûr que c'est l'équation cherchée; elle se trouvera mise sous une forme qui nous sera commode.
Si l'on pose, pour abréger,
et
A = 3 — 4o>5 4-6z» — ^*, B = 3z* — 4pz«-+-6-s* — I,
cette équation sera
(1) /(z) = A2{i - z*y — 4(1 — pz -+- 5*)Bî.
La fonction k'^ sn^(ap^g) sn^(2ap^q)^ rationnelle en ksn^(ap^q)j ne change pas de valeur quand on y remplace k sn^ (ap^q) par l'une ou l'autre des racines qui correspondent aux éléments d'une même ligne verticale. Si donc, dans l'équation /(z) = o, on fait la transformation
on devra obtenir une équation du sixième degré eny^ et les deux racines z qui correspondent à une même racine y de cette équation doivent pouvoir s'obtenir par une équation du second degré ; c'est ce que l'on va vérifier.
707. Regardons dans ce qui suit y comme mis simplement pour abréger à la place de la fraction rationnelle en z qui con-
stitue le. second membre de l'équation (2); résolvons cette équation par rapport à p et substituons la valeur ainsi trouvée dans A et dans B; on trouvera sans peine
puis, en remplaçant aussi dans (1),
D'autre part, on a identiquement en y, 5, p,
dans le premier membre, la quantité entre crochets est nulle en vertu de la définition (2) de j^; on a donc les deux égalités
zf(z) V -\- z^
qui peuvent être regardées comme des identités en z si l'on se reporte à la définition (2) dey] dans les deux seconds membres,
z n'entre explicitement que par la combinaison ^—^ — j z ne peut
donc être une racine de/(z) sans que la valeur de ^—^ — qui annule le second membre de la seconde égalité n'annule aussi le second membre de la première, c'est-à-dire sans que l'on ait
(5) 6(7) = iGp^y — (n- ây-y)H^ - 27 -4-j*) = o.
Réciproquement, si l'on prend pour j^^ une racine de celle équation, pour z une racine de l'équation du second degré en Zj
le second membre de la première égalité (4) sera nul [comme on le voit en éliminant p entre (5) et (6)], en sorte que
APPLICATIONS A l'ALGÈBRE ET A L* ARITHMÉTIQUE. sSq
sera nul; mais alors, en vertu de Tidenlilé (3) dont le second membre est nul à cause de (6), on aura, puisque j^ n'est pas nul,
c'est-à-dire que ^ satisfera bien à sa définition (2); dès lors, les identités (4) ont lieu, en sorte que /{z) est nul à cause de (6). Nous avons donc démontré que l'on obtient les racines de /(z) en résolvant l'équation (5) du sixième degré eny^ puis l'équation (6) du second degré en z.
708. Si Ton considère une fonction symétrique de deux racines de l'équation y*(::) = o qui correspondent aux deux éléments d'une même ligne et, par suite, à une même racine^ de S (y) = o, elle s'exprimera rationnellement au moyen de la somme et du produit des racines de l'équation (6), c'est-à-dire en fonction de la racine y considérée; celte fonction symétrique dépendra donc d*une équation du sixième degré. Tel est le cas, par exemple, pour l'expression (LXXXVI5),
en* --- en* -^
an' -r- an' -^ 5 5
en supposant que y soit Â'^sn^-r-sn^ ^, les deux racines de l'équation (6) seront k sn^ -— , /c sn^ ^ et leur somme sera ^^^ — -,
on en déduit
en remplaçant, dans le second membre, p par A* -\-j.^ et en supprimant en haut et en bas le facteur y — i, on trouve sans peine
où
ïï-
24o FONCTIONS ELLIPTIQUES.
en éliminant y entre B(^) ^= o. et l'équation qui définit ?T, on obtient sans difficulté l'équation en IT, puis l'équation en y//.
709. Si l'on veut former l'équation qui a pour racines o(5t), on constatera d'abord, comme dans le cas de /i = 3, que
^ cp(5T) ^ VZ est une fonction rationnelle de y. On a, en effet,
en remplaçant, dans le numérateur, '^^y par la valeur tirée de l'équation 6(^) == o, on trouve, après des réductions faciles,
y/k x(s\y-^i^kHy^-Zf) J '
en extrayant les racines carrées et en choisissant le signe de manière que le second membre soit, comme T, positif pour de grandes
valeurs positives de -» on obtient
Ceci posé, on a à éliminer y entre les deux équations
en remplaçante^ par i — X, on est ramené à éliminer X entre les
équations
e(i — X) = X6-+- 4X5-f-i6|ji>(X — i) = o,
X^-h -2X3 -+- 4 (AT — i)Xî-i- 4 jjiT(X — 2) = o,
où l'on a écrit, pour abréger, \k au lieu de /: — t; la première de ces deux équations se simplifie en ajoutant le premier membre de la seconde multiplié par — À^ — aX; on est alors ramené à éliminer X entre deux équations du quatrième degré
AT X* 4- (lA-T -+- {jlT)X5 — 4 |ji(T + jji)X -h 4 jjLî = o, X*-h2X3-i- 4(X:T — i)X»-t-4iJiTX — 8jjiT = o.
APPLICATIONS A l'aLGÈBRE ET A l' ARITHMÉTIQUE. 24 1
En appliquant la méthode de Bézout et en combinant.les lignes et les colonnes de manière à simplifier le déterminant du quatrième ordre auquel elle conduit, on parvient aisément à un déterminant du quatrième ordre dont sept éléments sur seize sont nuls, et que l'on n'a donc aucune peine à développer; on trouve ainsi, en supprimant des facteurs jjl et (i -h Â:'),
En posant f{o'z) = — ç^ 0(1) = w, donc T = , on trouve
finalement (* )
On parviendrait à la même équation en suivant la méthode appliquée au n° 698 pour /i = 3.
A r* 710. On peut mettre cette équation sous la forme ^ = |r, en
posant
on peut donc aussi la mettre sous la forme
ou
Ah- A
-wi)(i-f-PM,
C'est la forme que Legendre lui a donnée. Dans son Supplément aux Fonctions elliptiques^ p. ^S, il établit, en effet, l'équation
\Vk^V~i) «-^ ' + ^
De l'équation modulaire obtenue au n® 709 on déduit aisément
( * ) Jacobi, Fundamenta; Œuvres, t. i, p. 7S.
2^2 FONCTIONS BLUPTIQUBS.
la relation
[l-Cp8(T)][l-CpH5T)]=(l-W»)(l-p8) = [(I— aV)(,^p4)J[(,ç;*)(i+e,4)]
4lW
d'après une remarque faîte au n®692, on a donc aussi
Il V ^^-^^JLi H' <.^>IJ i6ij;«(':)^;»(5':)
Si l'on divise ces deux, relations, membre à membre, et que Ton tienne compte des égalités
on obtient la relation
d'où, en extrayant la racine sixième des deux membres et choisissant les déterminations par la considération des développements suivant les puissances de q (XXXVIIIi),
C'est la forme même donnée par Jacohi à l'équation modulaire au § 30 de ses Fundamenta (' ), savoir :
(v/Â- - v/7) {/X yz + ( v/T - /?) t/iP '/? = o.
711. Dans la formule (LVIIIi) posons a = i, ^ = 5, et prenons d'une part x=z \^ y = ^^ d'autre pari :r = 5^, y = J ; ajoutons les deux formules ainsi obtenues ; transformons, comme dans le cas de /i = 3, par la formule (XLi ), les produits de 2? qui figurent dans
(') Œuvres, t. I, p. i25.
APPLICATIONS A l'algèbre ET A L*AR1THMÉTIQUE. 2^3
le premier membre, en sommes de 2r; enfin, exprimons les 2rde l'argument j, | ou | par les 2r de l'argument o; nous obtiendrons ainsi la relation
3rv(o|':)2?^(o|io':) = 2r^(o|3T)3r,(o|i5':) — ^«3r^x|3x)2r,(5x|i5':)
^»2rv(sïT|3':)2rj(ioTli5':).
De même, prenons dans la même formule écrite pour a = i, ^ = 5, d'une part ;r = {, j' = — J ; d'autre part j: = '-, y = — J ; ajoutons les deux formules ainsi obtenues; réduisons au moyen de la formule (XL|), et nous aurons la relation
2r^(o|2x)3r^(o|iO':) = 3rj(o|3':)3rJo|i5T)-7«3r3(x|3T)3r^(5T|i5-:)
-h q^%{2'z\Zz)^,,{io'z\ 15-.).
Pour X = — '9 y = d'une pari, et a; =-3 — - -h- - ,
y = ; 7 d'autre part, on parvient de même à la relation
^î(o|^)2r, /'ol— ) = 2 2r,(o|3x)3,(o|i5T)-+-2y»3r,(T|3':)3r3(5x|i5':)
-+-2(7«3rj(2':|3x)3r3(iox|i5x),
tandis que pour x = — — , j/- = — d'une part, et ^ = h -*
5x I ^ = - " d'autre part, on obtient la relation
^, /o I ^) 2r, ^o I ^^ = 22r3(o| Sx) 2rj(o| i5x) -+- 2ryî3r3(T 1 3T)2r,(5 1 i5t)
