r3(2x|3x)^j(ioxl i5x

Ces quatre relations, déduites toutes les quatre de la même formule (LVIIIi ) pour a= I, |3 = 5, vont nous fournir aisément l'équation modulaire pourn = 5. Nous avons établi (n<** 699, 700), pour [X = o, 1 , 2, la relation

d'où l'on déduit, en changeant t en 5t, la relation

3r,(o|5x)^,(5|ix|i5x)-^(-i)t*3r^(o|5x)2r,(5îix|i5x)

= 3r3(o|5x)2j,(5{xx|i5x);

multiplions ces deux relations membre à membre et par 7'^'; si dans l'égaliré ainsi obtenue on donne à ui les valeurs o, 1, 2, on

obtîenl trois relations que nous ajouterons membre à membre; nous parviendrons ainsi à la relation

li = j

S,(o|T)3r,(o|5T)2y'^'2r,(txT|3T)3r,(5Hix| i5t)

3r3(o|T)2r,(ol5-:)2(-0t*^-»''^3(fx^|3T)^,(5HLT|ir.T)

= 2r,(olT)2r3(o|5T)2^*^'^«(.'^^|3x)2r3(5jjLT|i5T)

34(oh)2r3(o|5T)2(-i)lx7«:^'3r,(jxT|3T)2r3(5txT|i5i:),

lx=o

dans laquelle figurent précisément les quatre sommes, de trois termes chacune, que nous venons d'exprimer au moyen d'un produit de deux fonctions 2r(o); si l'on remplace ces quatre sommes par leurs valeurs, on obtient la relation •

ri2r3(o|T)2r,(o|5T)~^2r,(o|T)2?3(o|5T)]2r,(o|^)2r/o|^ = [ 2r^(o|T)^3(o|5T)- %(o\'z)^,{o\5z)]?j^(o\'i'z)%(o\io'z):

il suffit d'appliquer les formules de transformation (XLVIl), (XLVIlI)pour/^ = 2, pour apercevoirridenlité de cette relation (*) avec Téquation modulaire proprement dite pour /^ = 5.

(') La môme formule (LVIII,) fournil un procédé très rapide pour parvenir à l'une des formes de l'cqualion modulaire pour n = 7. Prenons, à cet clTct, dans cette formule a = i, fi = 7 et d'une part x = -(y y — — -J, d'autre part J7 = J, y = — J, et ajoutons les deux formules ainsi obtenues. Réduisons le premier membre par la formule (XLj) appliquée à chacune des quatre fonctions Hx qui y figurent; on aura

H- 2^'« .%(.', Ti8T)Srj(28T|5GT)-27'«Sr,(GT|8T)&,(^3Tl56T).

Faisons aussi dans la même formule (LVIII,), écrite pour a = i, fi = 7, d'une part a: = o, y = 0, d'auirc part ^ - J, ^' ^ •— J, ajoutons, réduisons le premier

APPLICATIONS A l'aLG^BRE ET A l'aRITHMÉTIQUE. ^45

§ VI. — Division d'une boucle de lemniscate en 3, 4

ou 5 parties égales.

712. Le problème de la division d'une boucle de lemniscale en parties égales se ramène immédiatement à la recherche des valeurs

de J3 ( — - 0), , a>3 j dans le cas parliculier où les invariants ^2» gz

sont respectivement égaux à 4 ^t o. Si l'on prend le demi-axe a de la lemniscate pour unité de longueur, la longueur d'une boucle

de lemniscate est, en effet (n** 649), égale à -p aK ou 2a>< pour

va ^2 = 4, ^3 = o, en sorte que la longueur / — 5 de la n'«"c partie

membre par la formule (XL|); nous aurons

22r,(ol4T)S;2(o|28T)-i-2 2r3(ol4T)Sr3(o|-i8T)

= 203(01 8T)2r3(o|56T) -h 2/7* 2r3(2T|8T)Sr3(i4T|56T)

En ajoutant membre à membre les deux formules ainsi obtenues et rempla-

çant ensuite t par ji nous obtenons la relation cherchée

En tenant compte des formules (XXXVII) on peut l'écrire

En élevant au carré les deux membres de cette relation, on en déduit aisément la relation

si l'on extrait la racine carrée et si Ton détermine le signe en développant les deux membres suivant les puissances de q^ au moyen des formules (XXXVIII), on voit que le carre de l'expression ^{x) ^{']X) -^'^{x) ^{-jx) est égal à i; cette expression elle-même est donc aussi égale à i, comme on le voit, en observant que, d'après les formules (XXXVIII), elle se réduit à •+- 1 pour 7 — 0. L'équation modulaire ainsi obtenue

se présente sous une forme particulièrement élégante. Comparez Journal de Liouville, 2« sér., t. III, p. 261; i858.

de la boucle, comptée à partir du point double de la lemniscate, est égale à — î; les valeurs réciproques p des carrés des distances du point double aux (n — i) points de division sont donc données par les (n — i) expressions que prend p = p pour h = i,

Pour /i = 2, il n'y a pas de problème ; pour /i := 4? on a immédiatement (n** 676)

a>i I (Os I 103 d: toi i

Pour /i = 3, on déduit de même des formules (n^ 702)

i-+-iv/5

d'où

/S = o, ^ = IV^7 (V/2 + V/3-T-1V2-/3;),

v/c = J t/^ (v/2 -f- /3 - 1 V/2-/3), en sorte que l'on a

Ces mêmes résultats se lisent, d'ailleurs, aisément sur l'équation/(j^)=o que l'on déduit de la relation Y3(w) = o par la substitution j^ = j3W ; cette équation se réduit, en effet, pour 0^2 = 4, ^3 = o, à l'équation bicarrée iy* — 6y^ — 1=0.

Pour 71 = 5, l'équation du sixième degré en P se réduit à

P6 — 20P* — 8oP« = o;

elle admet donc la racine double P = o et les quatre racines

simples P =r. ^ 10 -^G \/5 où chacun des radicaux a deux déterminations. A la valeur P = o correspondent les deux valeurs

Q = ^ — y racines de la seconde équation (2) du n*' 703, pour

APPLICATIONS A l'aLGÈBRE ET A L* ARITHMÉTIQUE. 2^7

^2=4, ^3 = 0. Aux quatre racines simples P correspondent deux valeurs de Q données par la relation Q = ^P- -+- 1 = 2 + y/5. Les douze valeurs de pctp.q seront donc les douze valeurs que prennent les expressions

quand on donne aux radicaux qui y figurent leurs deux déterminations.

Ces formules mettent en évidence ce fait que la division d'une boucle de leraniscate en 3, 4 ou 5 parties égales peut être effectuée à V aide de la règle et du compas seulement, tout comme la division de la circonférence du cercle 'en 3, 4 o^i 5 parties égales. Ce parallélisme entre les deux problèmes se poursuit, d'ailleurs, pour tous les nombres premiers impairs /i, et c'est à lui que Gauss fait allusion au début de la septième Section des Disquisitiones arithmeticœ,

713. Il n'est peut-être pas inutile de faire observer que, pour déduire les mêmes résultats de l'équation ^{y) = o [équation (5)

du n° 7071, on ne saurait prendre pour A'-* la valeur *"~^^ = i

trouvée au n°649; pour passer de l'équation en pudi l'équation en sn^ w, on a, en effet, au n®677, appliqué la formule (XCVI), qui suppose essentiellement \/e^ — e» = i, en sorte que dans l'équation 6(j') = o la valeur de k^ est liée à celles de ^2= 4i5'3 = o par les relations

qui sont vérifiées pour /{'-+- i = o, k- — a = o, mais non pour ik^ — 1 = 0.

Pour k = f, on a p = o, et l'équation 6 (y) = o est résoluble par radicaux; elle se décompose en

en sorte que y est, soit de la forme 2 h- y/5, soit de la forme 1 H- 2 ^ — I. Les deux quantités 2 -h y/5 sont racines doubles de S{y) = o; pour ces valeurs l'équation (6) du n** 7Q7 devient une

T. et M. — IV. 17

identité; les quatre racines de Péquation

sont d'ailleurs racines de l'équation /(s) =o; on obtient ainsi huit racines de /(5) = 0, savoir

-5=1 (y/so -f- 14 /5 -+- \/22 -+- 10 /s),

où chaque radical a deux déterminations. Les deux quantités I -f- 2 y/ — I sont racines simples de S (y) = o, et les valeurs correspondantes de z sont y i -f- 2 y,/ — 1 ; on a donc quatre autres racines de l'équation du douzième degré /(z) = o.

Pour vérifier que ces douze racines fournissent les mêmes solutions que les douze valeurs de y = pcip^q écrites plus haut, il

suffit de se rappeler que pu^= —r~ ^^> P^^ conséquent, de vérifier que Ton a

(v^io-+-G v/5 -h y/a -f- 2 /5) (\/i4 v/5 — 3o — y/io/S — 22) = 4, ce qui n'offre aucune difficulté.

714. Pour fixer celles des douze racines qui sont égales à p —^r p —p^i p -^ > p ^—^7 il suffit d'observer qu'en parcourant dans le

\J kJ \J

sens direct le rectangle dont les sommets sont les points o, a>i, C0| -f- (1)3, W3, O, on rencontre successivement les points o, —z-^y

4OJ1 40)3 •X(i}3 ^ ,

^-r^f (0,, . . ., 0)3, ~-9 — c-> O, et que, comme dans ce parcours pu varie de +00 à — oc par valeurs décroissantes, on a

P^>plf>.,>o>e.>p;i|i>pîp;

on voit ainsi que

20)1 6 -h c 4^1 ^ — c 4<J^3 — O-hc 2a>3 — ù — c

5 2a o la 5 ia ' j ia

APPLICATIONS A l'aLGÈBRE ET A l'aRITHMÊTIQUE. 249

en posant, pour abréger,

a = |/5| — a, 6 = I v/i4a — >. !, c = | /loa — J

Les huit autres racines sont imaginaires; on peut les discerner aisément les unes des autres en tenant compte des valeurs des quatre racines que nous venons d'écrire, et en appliquant le théorème d'addition.

§ VII. — Division de rargnment.