Le problème de la division de l'argument pour un nombre
entier n consiste, pour la fonction j>m, à calculer J> { -; g2^ g A
quand on se donne J>(w; g2y gz)* Ce problème a été entièrement résolu pour /i = 2 par la formule (XVI|); il ne dépend que d'équations du second degré. Il suffirait, pour le résoudre dans toute sa généralité, de le résoudre complètement pour n premier impair; nous nous attacherons au cas où n = 5 ; la marche à suivre est la même dans le cas général.
Pour n = 5, le problème dépend d'une équation de degré 5^,
dont les racines sont les diverses valeurs de p( ^^ l?i!^ J.
La formule (CIVe), en y changeant // en t» permet immédiatement de former cette équation, et l'on voit de suite que ses coefficients appartiennent au corps Q formé par les fonctions rationnelles de g2i g3 à coefficients entiers. Elle y est irréductible, mais sa résolution peut se ramener à des résolutions d'équations du sixième et du cinquième degré, ces dernières étant résolubles par radicaux. Pour le faire voir, nous étudierons d'abord les transformations inverses de la fonction jjw, nous montrerons que ces transformations se ramènent à la résolution de telles équations, puis nous mettrons en évidence que le problème de la division de l'argument se ramène à deux transformations inverses successives.
716. Supposonsd'abordquel'on sedonnepf M ^j 0)3 j et les invariants correspondants G2, G3, et proposons-nous de calculer la
25o FONCTIONS ELLIPTIQUES.
valeur correspondante de p{u\ tO|, 103). Nous commencerons par calculer les invariants g2y ffz <le cette fonction au moyen de Gj, G3, comme on Ta indiqué au n** 70o; nous devrons ensuite résoudre par rapport à pu Téqualion du cinquième degré en pu^
dont les coefficients sont des fonctions rationnelles, à coefficients entiers, de pf // -r^» 0)3 j , G2, G3, P|, où P| est lié à G2, G3 par l'équation du sixième degré que l'on a appris à former au n** 705. Cette équation (quand on regarde P| comme connu) peut être résolue par radicaux (*); ses racines sont, en effet, manifestement
Xr = plu-] ^ l> (^ = 0, I, 2, 3, 4);
si donc on désigne par a une racine primitive de l'équation x^ — 1 =: o, on voit de suite que l'expression
X (XqH- OL-PXi H- OL-^Px^ -+- CL-^Px^ -4- a-*/» Xi ),
où p est l'un des nombres o, i, '2, 3, 4> ï^c change pas quand on augmente u de — r--> ou que l'on fait une permutation circulaire sur Xq, ;r,, ^Tj, .Ts, 0:4, car le premier facteur se reproduit, multiplié par — ; et le second par —^^; il suit de là que Ap est une fonction doublement périodique de w, admettant les périodes -r-^ et 20)3; on voit de suite que c'est une fonction paire de ii;
c'est donc une fonction rationnelle de p(u\-~f W3J; c'est même
une fonction entière de p(u\-,-y W3 j , car dans le parallélogramme
des périodes dont les sommets sont o, -7-^» — -- -f- ^^ W3, 9.(03, il n'y a pas d'autre pôle que le point o qui est d'ordre de multiplicité
(*) On démontre toutefois que celte équation, en général, n'est pas abélienne.
APPLICATIONS A l'aLGÈBRE ET A l'aRITHMÉTIQUE. 25 1
2/? -1-2; A^ pourra donc s'exprimer par la méthode de décomposition en cléments simples, on par l'identification des coefficients des diverses puissances de //, au moyen d'une fonction du
premier degré de p f w V ' CO3 j et de ses dérivées d'ordre pair % 2/?,
ou par un poijnome en p(wUr*> toaj. Il est d'ailleurs aisé de
voir qu'on n'introduit pas, sauf a, d'autre irrationalité que celles que l'on a déjà introduites, c'est-à-dire que A^ est un polynôme en p(u -^> W3 j, dont les coefficients sont des polynômes
en a, p,, G2, G3 à coefficients numériques rationnels. Les polynômes A^ étant formés, on voit que l'on a
en ajoutant ces cinq équations membre à membre, on trouve (*) i r. Al \t Aj A4 "I
Les autres racines s'obtiennent en remplaçant y,/A| par ses diverses déterminations. L'équation proposée se résout donc par radicaux.
Il est à peine utile de dire que le problème qui consiste à trouver p(m| w,, W3) au moyen de piu to,, ^j se traite exactement comme celui dont nous avons développé la solution.
- C0{, (1)3 ], connaissant j3(i/|w<, (1)3). La formule d'homogénéité
(') Dans le cas général où le nombre 5 est remplacé par le nombre premier impair ai, il convient d'observer pour cela que les fonctions cycliques entières de
u,, a>3 I,ou r = I, 2, . . ., — ; — , comme les fonctions symétriques des
mêmes quantités, s'expriment rationnellement au moj'ende^j, ^3 et de la racine correspondante (ici PJ de l'équation du (/i + i)'*"* degré dont dépend le problème de la division des périodes par n.
montre que l'on peut regarder comme connue la fonction
Connaissant celte dernière fonction, on calculera p( r r»*«? "â^) î
on a pour cela, d'après ce qui a été dit aux n"" 705, 716, à résoudre une équation du sixième degré qui ne concerne que les constantes et une équation du cinquième degré résoluble par radicaux. Ayant
obtenu jd ( ^ to< , ^ j , on calculera p ( r Wi j Ws ) ; il semble qu^on
ait encore à résoudre une équation du sixième degré, mais on évite cette résolution puisque Ton connaît à la fois les invariants
de plj tO|, -^ ) et ceux de pf j to,, W3J, qui sont les données
g2, gz] on n'a donc qu'à résoudre (par radicaux) une nouvelle équation du cinquième degré.
718. Des considérations analogues s'appliquent à la division de l'argument pour la fonction snw; le calcul de sn f - j > connaissant sni/, est entièrement résolu pour /i = 2 par les formules du n® 334; il se ramène, pour n premier impair quelconque, à deux transformations inverses de la fonction sn«.
Si, dans la formule (LXXXVII4), on regarde sn(i/|T) comme
rinconnue et sn { ^
/iTj comme donnée, l'équation
nx = TT sn w ■ ■
est du degré n en sn u. Désignons par Ûq '^ corps formé des fonctions rationnelles de ^(t), cp(nT), à coefficients entiers-, on rappelle que 'f (t), f (^t) sont liées entre elles par l'équation modulaire, de degré n -j- i par rapport à chacune de ces deux quantités. Les fonctions symétriques entières des quantités sn^Or, 0 qui figurent dans l'équation (LXXXVII4) appartiennent, ainsi que M, à ce corps. La fonction o{n'z) doit être regardée comme donnée
en même temps que la fonction sn( r? /iTJ> et c'est par rapport
APPLICATIONS A l'aLGÈBRE ET A l'aRITHMÊTIQUE. 253
à ç(t) que réquation modulaire doit d'abord être résolue; puis Téqualion (LXXXVII4) doit être résolue par rapport à sn(w | t) : en se reportant à Téqualion (LXXXVIIi), on voit que les racines de réquation en sn(w | t) sont de la forme
Xr = snlu-] j (r = o, I, 2. . . ., n — i)
et il n'est pas difficile d'en conclure qu'elles s'obtiennent encore par l'extraction d'une racine n^^^*^.
Le multiplicateur M est donné par la dernière des formules ( LXXXVI5); cette formule, en y remplaçant sn par son expression (LXXIq) au moyen des fonctions 2r, donne de suite
„ ^ ? Mnii TT ::iw .
en utilisant ensuite les formules (LI2), (XXXVI2), on arrive sans peine à l'expression
n 3r5(o|/ix)'
cette formule met bien en évidence la façon dont M dépend de t. Le problème qui consiste à trouver sn(a|T), connaissant
sn (^ -) et ^( - )> se résoudra de même au moyen des formules (LXXXlXji), après que l'on aura calculé cp(T) au moyen de l'équation modulaire du degré w -f-i, qni lie ©(t) ely ( - j • Au moyen des formules (LXXXVIII5), (LII2), etc., on trouvera aussi
3rî(olT)
Ceci posé, connaissant sn(/f|T), on commencera par calculer snfma -)> où l'on a écrit, pour abréger, m pour désigner le
multiplicateur M dans lequel on aurait remplacé t par -; c'est le problème de transformation inverse dont nous venons de parler.
Il exige d'abord la résolution par rapport à f(-) de Téqualion modulaire de degré n H- i entre cp(T) et o f - j > puis la résolution,
possible par radicaux, d'une équation de degré n en sn l mu - ) •
(Connaissant snf ww - j> on calculera sn (/?i/n'w| t), où Ton a
écrit m' au lieu de M] ce problème se résout au moyen de Téqualion (LXXXIX4) et peut être effectué par radicaux. Comme, d'après les formules (1) et (2), on a
on a ainsi obtenu sn ( - t j et le problème de la division de l'argument est résolu pour la fonction sn.
§ VIII. — Multiplication complexe.
719. Quel que soit le nombre entier n que l'on envisage, la fonction p(nu) s'exprime rationnellement (n® 460) au nioven dep//, en sorte que les périodes de pw sont des périodes de J3(/îw). Si un nombre complexe a, pour un couple de périodes données 2(01, 2(i>3, jouit de la même propriété, en sorte que les périodes de p(u\o)i, W3) soient des périodes de p([xa|too tog), on dit qu'il y a une multiplication complexe de la fonction pu par le nombre [ji, pour le couple de périodes 2a)|, 20)3.
Soit [x un tel nombre complexe et désignons par A(«) la fonction j3([ji// 1 w,, Wg) ; puisque tj^(^^) admet les périodes :2a),, 2CO3, ^{u) est une fonction rationnelle de p(^u \ Wi, 0)3), p'(w \ tO|, W3); •l(w), étant une fonction paire de Uy est donc une fonction rationnelle de p( « I (1), , W3) seulement.
720. Puisque les périodes de la fonction J3(w|wi, wj) sont des périodes de la fonction p^t-u \ Wi , 0)3), il est clair que 2iiLC0|, 2 jjlw, sont des périodes de la fonction p(a | o), , tog) ; on doit donc avoir, en désignant par a, p, y, 0 des entiers réels tels que ao — ^v soit
APPLICATIONS A l'aLGÈBRB ET A l'aRITHMÉTIQUE. 255
différent de zéro, des relations de la forme
(i) fztoi = au)i -4- Pw3, (JLW3 = Y^i -H 00)3.
Réciproquement, des relations de cette forme montrent évidemment que la fonction p([jLw|to<, W3) admet les périodes 2a>i, 2 0)8, et que, par conséquent, il y a, en vertu de la définition, multiplication complexe par le nombre complexe |jl, pour le couple de périodes 2C0|, 2CO3.
Les égalités (1) peuvent s'écrire
(Oi = aQi + piîs, 0)3 = Y^i H- Sûa,
en posant
ûj = y Q^ = l
il y a donc transformation entre les deux fonctions p(u \ Wi, 0)3) et j3(w|Q<, Û3), et Ton voit encore de cette façon que p(a | û|, Û3) ou it.^p{^ku I <i)|, 0)3) est une fonction rationnelle de p(u\ to,, 0)3). Les équations (1) étant homogènes en co|, CO3, il est clair que, s'il y a multiplication complexe par [jl, pour le couple de périodes 2(0,, 2b>3, il y aura aussi multiplication complexe par le même nombre [x, pour le couple de périodes aî.w, , 2X10^, quel que soit "k ; on parlera donc de multiplication complexe par [jl et pour un rapport de périodes t.
En résumé, la condition nécessaire et suffisante pour qu* il y ait multiplication complexe pour t et par [jl (t et [x étant des nombres complexes donnés) est que les équations
(2) fz = a-hPT, jjf: = Y -+- 0'
soient vérifiées pour quatre entiers a, p, y, 5.
On observera que p, y et a5 — [îy sont nécessairement différents de zéro. On peut supposer ^ positif, quitte à changer le signe des cinq quantités a, p, y. S, a.
721. Des conditions (2) il résulte immédiatement que, s'il y a multiplication complexe par ix et pour t, il y a aussi multiplication complexe par tout nombre de la forme a-{-6[x, où a et b sont des entiers réels quelconques.
a56 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
On peul d'ailleurs retrouver ce résultat par le raisonnement suivant :
D'après la formule d'addition de la fonction jd, l'expression p(au -\- biLu) est une fonction rationnelle de p(au)^ p(biLu) et du produit p'(au).p'(biJLu)] mais p{l>-ii) est, par hypothèse, une fonction rationnelle de j3w, en sorte que p'(^Lu) est le produit, par p'u^ d'une fonction rationnelle de pu] donc, comme p'(au) est le produit de p' u par une fonction rationnelle de pu^ et que p{b[Lii) est le produit de p'([JLw) par une fonction rationnelle de j3([jLw), l'expression p'(rtw).j/(6[jLw) s'exprimera par une fonction rationnelle de j3W seulement; il en est donc de même de p{au-hbiku),
