Des équations (2), on déduit
Y -h OT
si donc, en désignant par p le plus commun diviseur des valeurs absolues des nombres — y, a — 0, p, on pose
— Y = ap, a— o=^p, ? = cp,
on définit trois nombres entiers a. 6, c jouissant des propriétés suivantes : a et c sont différents de zéro; c est positif; on a
a -h 6*: -+- CT» = o;
comme t n'est pas réel, on a nécessairement
6' — 4ac < o;
a est donc positif. Si l'on pose
on aura
Pi-^-^P Q > Pi — bp
et, par suite.
n = ao — pY = — ^— ? — — > ji = a H- 3-: = i-^ '-^1
APPLICATIONS A l'ALGÈBRE ET A l'aRITHMÉTIQUE. 267
OÙ le radical est pris, comme dans ce qui suit, avec sa détermination arithmétique. On observera que le nombre entier n est la norme du nombre complexe [jl.
723. Inversement, supposons qu'on se donne les entiers a, 6, c, tels que ^ac — b^ = m soit positif, et les nombres entiers p, pi, dont le premier est positif, et tels que pi ± bo soit pair; les expressions précédemment écrites de a, p, y, o au mojen de a, 6, c, p, Pi définissent une multiplication complexe par le nombre
p, -f- ip y/m ,
pour la racine de Téquation
a -^bi-'t- c:* = o,
dont la partie purement imaginaire est positive, ainsi qu'on le voit de suite en retournant les raisonnements précédents.
724. Au lieu du multiplicateur jjl on peut introduire, pour le
même t, le multiplicateur
.. — %-\- i Jm M = >
£ étant égal à o ou à i, suivant que b est pair ou impair; jxcst lié à M par la relation
fz- pM = a — p,
OÙ ~" est manifestement entier. Le fait que M est un multiplicateur complexe, pour t, résulte, d'après les équations (2), de ce
que l'on a
Ht ^ — ^ Rf b-^z
M = h ce, M T = — a T,
ainsi qu'il est aisé de le vérifier. D'ailleurs, de ce que M est un multiplicateur pour t et de l'expression de [x au moyen de M, il résulte que [jl est, comme on le sait déjà, un multiplicateur pour t.
725. Si T* est lié à t par une substitution linéaire Ti = 5-»
à déterminant ao — py égal à 1, il existera une multiplication
complexe pour T| avec le même multiplicateur M; car T| vérifiera évidemment une équation du second degré
ai -+- bi^i -+- cix} = o,
où ^a^Ci — b\ est égal au produit de ^ac — b^ parle carré du déterminant de substitution qui est i, en sorte que h et b% sont de la même parité et que les quantités mi, £|, analogues à m, e, sont respectivement égales à ces dernières. Rappelons d^ailleurs que
l'on a
J(x) = J(tO.
726. Supposons toujours qu'il y ait multiplication complexe pour T. Des équations (2) il résulte que Ton a
d'où
D'autre part, quel que soit t, les valeurs x que prend la fonction il ^ ~ \ quand a, jî, y, 0 prennent toutes les valeurs entières possibles telles que Ton ait ao — j^y z= n^n étant un nombre entier positif donné, vérifient une équation algébrique
où l'on a écrit J au lieu de J(t); puisqu'il y a multiplication complexe, J vérifiera donc l'équation F(J, J) = o. Ainsi chaque invariant absolu qui correspond à une valeur de t pour laquelle il y a multiplication complexe, vérifie une équation algébrique à coefficients entiers (').
Kronecker a appelé ces invariants absolus particuliers : les i*/ivariants singuliers. Il a de même appelé modules singuliers les valeurs de k'^ (t), qui correspondent aux valeurs de t pour lesquelles il y a multiplication complexe.
(') On démontre d'ailleurs que c'est un nombre algébrique entier.
APPLICATIONS A l' ALGÈBRE ET A l'aRITHMÉTIQUE. sSq
727. La théorie de la multiplication complexe est liée à TArithmétique. On sait que deux formes quadratiques définies, à coefficients entiers,
f^ax^-T- bxy -h cy^, f = a' x'^ h- b'x'y H- c'y»,
sont dites (proprement) équivalentes quand on peut passer de Tune à l'autre par une substitution à coefficients entiers
a:' = aar -4- p^, y z=z^x -\-^y, dont le déterminant ao — ^Sy est égal à i. On a alors
[ a = a a! h- b' a^ -f- c'v-, (3) I 6= 2a'a3-i-6'(ao-i-pY)-+-5tc'Y3,
et V'^ — ^a' c' est égal à 6^ — ^\ac. Aux formes précédentes sont liées naturellement les équations
Si l'on désigne par t, t' les racines de ces équations pour lesquelles le coefficient de / est positif, si l'on pose, comme précédemment,
en désignant toujours pare, e' des quantités égales ù o ou à i et de même parité que 6, b' ^ on voit que, quand les deux formes / et /' sont équivalentes, M est égal à M'. En supposant toujours l'équivalence des deux formes, on peut passer de t à t' par une substitution linéaire (de déterminant égal à i), en sorte (|ue J(t) est égal à J (t).
Inversement, s'il y a multiplication complexe pour t et t', et si l'on a J (t) = J(t'), d'une part t et t' vérifient des équations de la forme
a-\- b'z -\- CT* = 0, «'-H b' -z 4- cz- = Oj-
où l'on peut supposer que les nombres entiers a, 6, c sont sans diviseur commun, de même que a\ b\ d et que c et c! sont positifs; d'autre part, à cause de J(t) ^:= J(V), il existera des entiers a.
p, y, 5 tels que l'on ait il en résulte que l'équation
a'( a -H ?•:)* H- 6'(a -+- pT) ( Y -h 8t) -+- c'rv -4- ot)« = o
a les mêmes racines que l'équation
a -+- 6t -h CT* = o.
Il est bien aisé d'en conclure que, si l'on suppose
les deux premiers membres sont identiques, d'où résultent immédiatement les équations (3) et, par suite, l'équivalence des deux formes envisagées. On voit d'ailleurs aussi que M = M'.
Il suit de là que l'égalité J(t) = J(t') est la condition nécessaire et suffisante pour que les deux formes
ax^ -h bxy -4- cy^^ a' x'^ -h b'y'^ -h c'z'^
soient équivalentes. Si l'on range dans une même classe les formes équivalentes, on voit que la recherche du nombre de classes pour un délerniinant 6^ — .\ac<io donné revient à la recherche du degré de l'équation F(J, J) = o.
§ IX. — Décomposition d'un nombre entier en une somme
de quatre carrés.
728. La comparaison des différents développements en série d'une même quantité, que fournit la théorie des fonctions elliptiques, conduit souvent à des propositions intéressantes d'Arithmétique.
Signalons, d'après Jacobi ('), le théorème sur la décomposition en carrés. II va résulter de l'identification des deux développe-
(') Œuvres complètes, t. I, p. 239 (fin des Fundamenta) et p. 2^7
APPLICATIONS A LALGftBRE ET A l'ARITHMÊTIQUE. a6l
ments (XXXVI,, i)el(CX,)
'nrr-l-ao
\ (Vi /I = l /
où v^^ 1, 3, 5, 7, .... Considérons d'abord le premier de ces deux développements.
On reconnaît de suite, à cause de Pidentité
que, si l'on ordonne le carré de \] 7"' suivant les puissances en-
lières de y, le coefficient de y^ sera le nombre de solutions de l'équation
de même, dans le cube et la quatrième puissance de ^^q"\ le
coefficient de 7^ sera le nombre de solutions de l'équation
ni -+. n'i -4- n'^ = N
ou de l'équation
Cherchons maintenant le coefficient de r/^ dans les deux séries
Soit
p étant un nombre entier positif impair, et considérons le cas où r est plus grand que zéro. Pour que 2v(a -f- i) soit égal à '?J p^ il faut et il suffit que v soit un diviseur de /?; à chacun de ces diviseurs correspond un terme en q^ dans le premier développe-
ment; le coefficient de gr^ dans ce premier développement sera donc ^{p)j en désignant par ^(p) Ja somme des diviseurs de />. Si Ton a
n devra avoir la forme 2Prf,rf étant un diviseur de p qui peut d'ailleurs être égal à i ou à /?, et p un entier qui peut être nul, inférieur ou égal à r. Inversement, si n est de cette forme, en supposant dd'=pj il y aura un nombre
qui rendra n(P -h i) égal à 2'"/>.
Si 0 est inférieur à r, ^ est impair; le terme du second développement qui correspond aux nombres rf et p est ainsi — 2Prf; la somme de ces termes qui correspondent à une même valeur de d est
et la somme de tous 'ces termes qui correspondent à une même valeur de p est donc
Si p est égal à r, jî est pair; le terme du second développement qui correspond aux deux nombres rf et p = r est 9fd ; la somme de ceux de ces termes qui correspondent à une même valeur de/) est 2'' •}(/•).
Finalement, le coefficient de q^^ dans la somme
W — ao
rîV
JL I — ^rsv "^ ^ T-i-q" '
est
en supposant r >> o. Pour /• = o, on voit de même que ce coefficient est ^(/?).
On voit donc que le nombre de solutions distinctes, en nombres entiers positifs nuls ou négatifs, de l'équation
est 24 ^(/?) OU 8'}(/>), suivant que r est différent de zéro ou égal à zéro. Il faut entendre que les solutions /?, n' ^ n!\ n'" et /i,, n\, n\^ n'I sont distinctes si l'on n'a pas à la fois n=zfti^ n' -= n\^
Non seulement on a ainsi démontré la possibilité de décomposer en quatre carrés un nombre entier quelconque, mais on a le nombre de ces décompositions.
L'identité (XXX VI«)
traitée d'une façon analogue, conduit à la proposition suivante :
Le nombre des décompositions en quatre carrés quelconques d'un entier impair est égal à huit fois le nombre des décompositions du quadruple de cet entier en une somme de quatre carrés dont les racines sont des nombres tous impairs et positifs (').
(') Voir le Cours de Ch. Ilermilc, rédigé par M. Andoyer, \' éd., p. 241.
T. et M. - IV. ,8
Sur la fonction de x définie par l'égalité t = / ^-: — et sur un théorème de M. Picard.
On a expliqué au Chapitre VII comment t est une fonction univoque de /. dans le plan G obtenu en pratiquant dans le plan de la variable v. deux coupures allant le long de Taxe des quantités réelles, Tune de o à — 00, Tautre de i à -h 00. En dehors des coupures la définition de T n'oflfre aucune difficulté; nous avons expliqué au n® 5V5 comment, au moyen des formules (CXX), on pouvait compléter cette définition sur le bord supérieur de la coupure de droite et sur le bord inférieur de la coupure de gauche ; rien n'empêche, en distinguant les deux bords de chaque coupure, d'adopter une définition semblable sur le bord inférieur de la coupure de droite et sur le bord
supérieur de la coupure de gauche; la fonction '^- — - est alors
définie dans tout le plan G, y compris les bords des coupures, sur lesquels la fonction prend des valeurs infiniment voisines de celles qu'elle prend en un point infiniment voisin de la région du {)lan à laquelle appartient le bord considéré et ces valeurs sont fournies sans annbiguïté aucune par les formules (CXX^). C'est seulement aux points o, i que la fonction n'est pas définie. Nous représenterons les bords de ces coupures par des parallèles infiniment voisines os, l'i\ y'r/, -pi ©" regardant 0^,7'^^/ comme appartenant à la région supérieure du plan, o'e', Y^é comme appartenant à la région inférieure; nous relierons ces coupures par des cercles infiniment petits oao',Y?Y' ^^crits respectivement des points i et o comme centres (les points a, p sont supposés sur l'axe des quantités réelles); enfin, nous décrirons, du point o comme centre, un cercle de rayon infiniment grand qui rencontre les coupures aux points e, t\ r,, t/ infiniment éloignés. Il est clair que le contour aoer/Y'^vT, £'o'a limite une région (S) simplement connexe dans le plan cT. Noire but est de montrer comment se fait dans le plan de la variable t, lié à /. par la formule
NOTE t. — FONCTIONS DE X ET THÉORÈME DE M. PICARD.
rimage du contour de (S) parcouru dans le sens direct. Les formules (CXX) y suffisent entièrement. Nous représenterons systématiquement par {a) le point du plan des t qui correspond au point a du plan des x.
Limage cherchée est figurée schématiquement ci-dessous :
