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Les points (a) et (3) sont sur l'axe des quantités purement imaginaires, le premier très près de o, le second très haut. L'aire à droite de la ligne ponctuée est Timage de Taire de (S) qui est au-dessus de Taxe des quantités réelles, l'aire à gauche est Timagede Taire de (S) qui est au-dessous de Taxe des quantités réelles : deux points x d'affixes conjuguées ont pour images des points (x) symétriques par rapport à Taxe des quantités purement imaginaires.

Il nous faut justifier les diverses parties de cette figure. Supposons d'abord que x décrive le petit cercle "{'^^ ; les formules (CXXj^j) montrent de suite que, x étant très petit en valeur absolue, on a

I j^^logalogd — x)-+-T.(x) -J . .^

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en sorte que x est sensiblement Jûgx, le logarithme ayant sa

détermination principale. Si Ton pose pour un instant xzrpt**^, on aura

--logx=- -^;

X décrivant le petit cercle y' py» ~ diminue en partant d'une valeur un

peu inférieure à i pour aboutir à une valeur un peu supérieure à — 1 ; le point T ou (x) décrit donc, approximalivemenl, le segment de droite parallèle à Taxe des quantités réelles, qui va du point (y') ou

î^ 4- I au point (y) ou ^^ — i.

La (igure décrite par le point t quand x décrit le petit cercle o'xo

se déduit de la précédente par la formule /(x) m -^ • Le point

I — X décrit alors, en eflfet, le cercle y^Y» donc /( i — x) décrit approximativement le segment rectiligne qui va de (y') à (f) ; /(*) décrit donc approximativement un arc de cercle de centre o allant de (o') à (o), arc de cercle correspondant évidemment à un angle au centre infiniment petit.

Si X décrit le bord supérieur os de la coupure de droite, on peut

regarder x comme prenant des valeurs réelles de i à -i-oc; - varie

alors de i à o, /( - j s'élève donc sur l'axe des quantités purement imaginaires d'un point très voisin de o à un point très éloigné ; de la

formule /(-)=: ^ — on déduit, par suite, que le point /(x)

décrit dans la région supérieure du plan, le demi-cercle qui a pour diamètre le segment qui va du point o au point i, ou plutôt du point (o) au point (e), puisque x ne va que de 8 à £.

Quand le point x décrit la coupure o'e' symétrique de oe par rapport à Taxe des quantités réelles, le point /(x) décrit le demi-cercle symétrique du précédent par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Quand x décrit le demi-grand cercle et/ dans la région

supérieure du plan, - décrit le demi-petit cercle p^» /( ~) d^cit

approximativement le segment rectiligne qui va de (p) à (7); donc, enfin.

décrit un arc de cercle infiniment petit de (e) à(r/) dans le voisinage de I.

Quand le point x décrit le bord supérieur tj'y' de la coupure de gauche, en allant de — 00 à o, le point 1 — x décrit le bord inférieur

e'o' de la coupure de droite de -t-00 à i, 7- — décrit donc le demi-

cercle (e') (o') et ':=:/(x), la parallèle menée du point i à l'axe des quantités purement imaginaires à partir de (t/) infiniment voisin de (e) et de i, jusqu'à un point (y') infiniment éloigné au-dessus de l'axe des quantités réelles.

En réunissant toutes ces parties, on a Tirnage complète. L'aire (S) et son image se correspondent, point par point, d'une façon univoque.