NOTB 1. — FONCTIONS DE X ET THÉORÈME DE M. PIGABD

On peut si Ton veut supprimer les arcs infiniment petits ainsi que le côté (Y ) (y) infiniment éloigné vers le haut ; on a alors le théorème suivant :

Si dans le plan des x on pratique deux coupures allant de i à

•+- 00 et de o à — ce le long de Vaxe des quantités réelles, et si l'on

regarde le bord supérieur ou inférieur de chaque coupure comme

faisant partie de la région supérieure ou inférieure^ , le plan des x

ainsi coupé, par la transformation conforme 1-=. -^t — r^> « pour

image la partie du plan des t limitée : i^ en bas par les demi-cercles situés au-dessus de l'axe des quantités réelles, et ayant pour diamètres les segments de droite allant de — i à o et de o à -h I9 2** à droite et à gauche par les parallèles menées par les points -hi et — I à l'axe des quantités purement imaginaires. Les deux demi-cercles sont les images des bor^ls inférieur et supérieur de la coupure de droite; les deux parallèles sont les images des bords supérieur et inférieur de la coupure de gauche.

Quand on traverse la coupure de gauche et qu'on remplace x'(x), X (x) par les fonctions qui les continuent, la fonction qui continue 7 est, comme on Ta vu (t. III, p. 209), t =b 2 suivant que Ton traverse la coupure de haut en bas ou de bas en haut. De même quand on traverse la coupure de droite, la fonction qui continue t est — ^^ — > sui-

vantque Ton traverse la coupure de bas en haut ou de haut en bas. On reconnaît très aisément quelles images du plan des x, coupé comme on Ta expliqué, fournissent les transformations conformes correspon-

dant à ces nouvelles branches de la fonction 1, / -

Si nous envisageons la fonction t iz:/(x), définie en un point x^ non situé sur les coupures, ainsi qu'aux environs de Xq, et obtenue par continuation le long d'une courbe quelconque, pouvant traverser les coupures, mais non les points o Ou i, nous savons que cette fonction est holomorphe à l'intérieur de tout contour simple entourant le point x^ et ne contenant ni le point o, ni le point i. Dans une aire contenant l'un ou Tautre de ces points singuliers, la fonction /(x) est susceptible d'une infinité de déterminations, mais toutes les branches de cette fonction que l'on engendre en tournant autour de l'un ou de l'autre des points singuliers o, i sont toujours régulières en un point quelconque du plan autre que o et i. En outre, le coefficient de /, pour une valeur quelconque de/(x), est toujours positif.

Ces propriétés de la fonction /(x) ont permis à M. E. Picard

d^établir une proposition importante concernant les fonctions entières (transcendantes ou non) et que voici (*) :

S'il existe deux nombres a, 6, tels que la fonction entière g(z) ne puisse acquérir, pour aucune valeur finie de Zy ni la valeur a, ni la valeur A, celle fonction est une constante.

Si la fonction entière g{z) ne prend ni la valeur a, ni la valeur b,

la fonction, aussi entière, ■ ,*' ne prendra ni la valeur o ni la

valeur i. Il suffira donc de démontrer qu'une fonction entière g^(z) qui ne prend ni la valeur o, ni la valeur i, est une constante.

Dans la fonction t=:/(x) précédemment définie, regardons x comme étant égal à ^(^); nous obtenons ainsi une fonction de z que nous désignerons par F (5) et qui (n** 49) est régulière pour toute valeur ^i^o de z^ puisque x n'est jamais égal ni à o, ni à i. La série entière en ^ — Zq qui représente la fonction F(^ ) aux environs de z^ ne peut avoir un rajon de convergence fini (n** 55); la fonction F(5) peut donc être représentée par une série entière en z — Zq (ou en z)y convergente quel que soit z; c'est une fonction entière.

Si, d'ailleurs, on pose F(5) = a H- iB, A et b étant réels, on est sûr que B est positif, quel que soit z\ or on a

|eiF(»)| = e-''<i;

la valeur absolue de la fonction entière e^^^^^ étant plus petite que i, quelque soit 3, cette fonction est une constante; il en est donc de même de F(^), et, par suite, de g{z). C'est ce qu'il fallait démontrer.

(•) Annales de l'École Normale supérieure, 1880. Cette proposition, généralisée tout d'abord par Tauleur lui-même, a reçu, grâce aux beaux travaux de M. Borel {Leçons sur les fondions entières, 1900), une extension considérable. Nous n'avons en vue que la démonstration même de M. Picard, relative au théorème énoncé.

NOTE 2. — SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES DE GAISS. 269

Sur les suites arithmético-géométriques de Gauss.

En parlant de deux nombres positifs quelconques «o, b^^ dont le premier a^ sera supposé plus grand que le second b^y considérons la double suite indéfmie

^'0» ^i> ^2» •••> ^'«-1» ^*«> •••> obtenue en supposant, en général,

(I) aa= ■ > bn= \'an-\bn-\ ( /l = I , '^., 3, . . . ),

où Ton doit entendre, comme dans ce qui suit, que le radical a sa détermination arithmétique.

On voit de suite que Ton a

an — On = > ffn "i" 0,1 = >

(2 (in—b„ / \/a„-i — y/^ff-iV / /^-i^7^/»:My

la dernière inégalité résultant de ce que Ton a

(v/an, H- /^)* > («/»-! H- ^/i-l)'.

Les formules précédentes montrent que Ton a

Cln> bn, an<an-\, bn> bn-.\\

les nombres a^y ^n (f^ .-• vont donc en décroissant; les nombres />q, bu biy ... vont en croissant; les nombres 60, b^ 62, ... restent inférieurs au\ nombres Oq, a^ a^y ... de même indice; les deux suites ont donc une limite ; cette limite est la même à cause de Finégalité

(3) ^n—bn /ao— ^nV"

qui résulte immédiatement de Finégalité (2). On voit sur Tinéga-

270 FOÎîCTIONS ELLIPTIQUES.

lité (3) que les deux suites convergent très rapidement vers leur limite commune.

Si l'on pose

il est clair que Ton aura

lim Cl = o;

au reste, on reconnaît sans peine que Ton a

Gauss a appelé la limite commune des deux suites ao, a^, ... et />o, ^!, • . • la moyenne arithmético-géométrique des deux nombres positifs donnés «o» ^o> ^^ ^'^ représentée (*) par le symbole jx. On a manifestement, quel que soit le nombre positif /i,

|ji(/iao, A60) = /i(A(ao^o)-

Proposons-nous d'évaluer la moyenne arithmético-géomélrique des deux nombres positifs

ao = 2ri(o|'c;, 60 = 2rî(o|-:),

où 4 est un nombre donné réel et positif, en sorte que q ■=. e*^^' est

réel, positif et plus petit que i, et que ^o >• ^0 >■ o. On a immédiatement (XXXVIe)

Co = 3|(o[t), puis(XLVIl4),

«. = ^^^^^ = -[^5(oh) + &f(o:T)J = 2r|(o|^T>,

bi = )/aob„ = &3(o|T)2r»(o|T) = SKoIît),

,., =.^!»Zl^ = i[5,|(o;^)-&J(o|T)]=3î(o|aT,,

Cl, en répétant le même raisonnement,

(') Werke, t. III, p. 352; voir aussi t. III, p. 362 et suivantes {Nachlass)^ où Gauss emploie le symbole M au lieu de (x.