I OIS) I

Jo I v«Jcos«/-h ^J sin»^ J^ I /a} cos*/-+- 6î sin«/ ,

• De même, les deux, relations

og(p«<

(•p.) Sin'^„= j— -. 1 r-r ,

(rt«-r- ^„)COS«Cp«-h 2artSin5Q« ^17

(•2 bis) I = i , -

J^ |v/a,îcos«/-h6Jsin«f| 7^ | /aj^, ces*/ -4- 6*^i sin«/ |

sont équivalentes quel que soit /i =0, i, 2, 3, ....

Ces formules permettent de ramener le calcul d'une intégrale elliptique quelconque de première espèce, mise sous la forme normale de Legendre, et dont le module est réel et compris entre o et i , au calcul d'une intégrale du même tjpe ayant un module positif plus petit qu'un nombre positif aussi petit que l'on veut. Si, en effet,

y/aj cos'^ -+- ùl sin^t

est l'intégrale donnée, à module —> la formule (i bis) montre qu'elle est égale à Tintégrale

*?• dt

)Ja\ cosî^-i-6} sin^^l

à module — moindre que — > et où <po s'exprime au moyen de ^^ par

la formule (i). En prenant ensuite i}>, =z cp^ dans la formule (2 bis) écrite pour w = 2, on voit de même que l'intégrale donnée est égale

NOTE 2. — SUITES ARITDMÉTICO-GÉOMÉTRIQt'ES DE GAISS. 278

à rîntégrale

^' dt

I \l a\ cos* i -\-b\ sin*^

à moduie — moindre que —. et où 'fi s'exprime au moyen de ^,i=:<po

par la formule (2) écrite pour /i = i. Et ainsi de proche en proche, en appliquant les formules (2) successivement pour w = 2, 3, . . ., et en prenant chaque fois t}/; r= çp,|, on voit que Ton a pour tout indice /i,

'r^* dt r^'* ^li

o« s'exprimant au moyen de ^^ par la chaîne d'équations du second degré (en sin^p,)

. , 9.rt/sin9/ ,

( Û| ^- fc>/ ) CCS* cpi -r- 2 ^1 sin* ^1

Or, par un choix convenable de /i, on peut toujours s'arranger de

façon que le module positif — de la dernière intégrale soit plus pelit

qu'un nombre positif donné à Tavance aussi petit que Ton veut. Le théorème annoncé est donc démontré.

En particulier, si Ton a à calculer pour un module quelconque donné, compris entre o et 1, la valeur de Tintégrale complète de première espèce de Legendre

^0 J^ |v/«5cGS*/-f

on voit que ce calcul revient à celui de l'intégrale

I /aj CGS»/ -f- h\ sin*f

qui lui est égale, quel que soit le choix que l'on fasse de Tindice n^ et pour laquelle le module peut être rendu aussi petit que Ton veut.

Sur les covariants H et T d'une forme biquadratiqne R.

Toute forme binaire biquadratique

admet, outre son hessien (t. IV, p. 70)

H = Ao^} 4- 4 Aizf Zj -f- 6Aj5}5| -h GAj^i^J -T- Av5|,

un second covarianl T que l'on peut définir par Tune ou Tautre des égalités (*) équivalentes

T= — [ R(Ao5j4-3A,5Î5j-+-3A25,5Î-+-A3SÏ)

T =— — [ R(Ai2j-+-3Aj5Î5j-+-3A35i5|H-A4^i)

Delà relation p(2// — a — h) = ^. y — :p établie (p. 74 du t. IV),

on déduit aisément une relation fondamentale qui lie les deux covariants H et T aux deux, invariants ^j, g^ et à la forme R elle-même. Reprenons les notations

z= — —f{u), y = piiu — a — b):

on aura, d'une part, comme on vient de le rappeler,

Uizuz,)^

(') La différence des seconds membres, multipliée par - z^z^ se présenle soos

la forme KH — IIR et est donc nulle. Il peut élre bon d'observer que Ton a aussi

8 \^z^ dz^ ôz^^ ôz^,

îiOTB 3. -— covàriants h et T d'u?îe fobme biquadratique R. 275 d^autre part, on a

— ^ky^—gty — gt

= d{iu — a — h) = d(iu)j

et comme la relation — =idu peut s'écrire

Zf dzi — Zi dzf

\/R(Zly Zi)

on a aussi la relation

= du y

Z9 cfZt — Z\ ttZn ciy

v/H( ;;i, z^ ) — /iy» — g^y — ^3

Si dans la relation (2) on remplace y par sa valeur tirée de (i), on obtient Tégalité

ZtdZi---Zidzz Rd\{ -UdW

mais Rdll — Ilt/Rest une fonction linéaire et homogène de dz^ dz^ dont il est aisé de calculer les coefficients; le coefficient de dz^ est 2-3jT, celui de dz^ est — 2 j/f; on a donc

Z\(iZ\ — Z\ f!lZ2 {Z^(lZ\ — Zi uZf ) 1

y/li{z,,zi) v/lU-4n3-h^,HR«-^-3K«j

On en déduit la relation fondamentale (*), due à M. Ilermite,

(') M. Weber, Ellipt. Functionen, p. i3, part inversement de celte relation pour établir Tégalilé (i).

2yG FONCTIONS ELLIPTIQUES,

Sur une transformation du second ordre qui relie les deux cas

où les invariants sont réels.

Nous avons signalé, au n° 612, la transformation qui permet de passer d'une fonction /m j3(//| w,, wj) dans laquelle les deux périodes 2(0i, 2(1)3 sont imaginaires conjuguées à la fonction

-, / ! 10^-1-0)1 (1)1 — Wi \

dans laquelle les deu\ périodes sont, Tune réelle, Tautre purement imaginaire. Il convient d'étudier d'un peu plus près cette transformation, en raison du parti qu'on en peut tirer dans les applications. Observons d'abord, sans rien supposer sur les périodes 2to,, 2«x)j, que la fonction Y peut être regardée comme une fonction doublement périodique avec les périodes 2W|, 2W3; elle admet alors comme pôles doubles, dans le parallélogramme correspondant, les points o el wi-hwj; la formule de décomposition en éléments simples fournit immédiatement la relation

V / . ( <?* — Cl i( e* — en )

y — et

où l'on a écrit pu, ou j, au lieu de j)(// 1 cop w, ).

I^^u désignant par E,, Ej, E3 les valeurs de Y pour // =1 — *— ^ , (o^,

(O3 (Oi , ,

> on trouve de suite

E| = im — ^2, E2 — — 2ej, E3 = xni' — Ci,

où Ton a posé, comme au n** 59i',

0)3 -h (Oi

"'3 -T- wj / /

'" ^ i' = ^i -^ V «2 — c\ yet — 63,

W3 (Ui

m = p r= ej — V ^2 — ^1 /«2 — ^3 ;

NOTE h, — TRANSFORMATION DU SECOND ORDRE. 277

on en déduit sans peine les relations

d\ {y-^m)(y — m' ) dy ~ iy — Ci)^

Si nous nous plaçons maintenant dans le cas où (Oj, co, sont des imaginaires conjuguées, la partie réelle et le coefficient de i étant positifs dans W3, les quantités ^'ir^ A-hB/, e3 = A — B/ seront des imaginaires conjuguées, e^^=i — -iA sera réel et B sera positif (n® 565) :

\Je^ — ex , \Je^ — e^ sont des imaginaires conjuguées et leur produit

V^qA' -t- B* est positif. Les formules précédentes coïncidenl avec celles du n** 612. Les points m et m' sont les points d'intersection (le premier à droite, le second à gauche) du cercle {e^) décrit du point c'i comme centre et passant par les points ^,, e^. Si Ton imagine pour \\v\ moment que la variable Y soit figurée sur le même plan que la variable )', on voit que /?i, ni' sont au milieu, le premier de t'2> ^^d ^c second de ej, E3, et que le point Y, dont Taffixe est liée à celle du point/ par la relation

-^ ' Y— et

peut s'obtenir par la construction suivante : on prend le symétrique (n* 559) r, du point y par rapport au cercle (^j), puis le symétrique/' du point V, par rapport à l'axe des quantités réelles; en se rappelant que {e^ — ^i)(^2 — ^3) ^st le carré du rayon du cercle (e^), on voit de suite que l'on a

Y — et z.z(y — et) -f-(j^'— ^1);

Y est donc le quatrième sommet du parallélogramme dont y, 6*2, }' sont trois sommets. Aux deux points v, /' liés parla construction que l'on vient dédire, correspond évidemment un même point Y'; Tun des points r,j' est à l'extérieur du cercle (ej), l'autre est à l'intérieur. Si Tun des points y, y' est sur le cercle {e^)y il en est de même de l'autre, et, dans ce cas, le point Y est sur Taxe des quantités réelles entre e^ et E, ou entre e^ et E3 suivant que la partie réelle de y est positive ou négative. Lorsque/ est un point de l'axe réel,/, et y' sont tous deux confondus avec le conjugué harmonique de y par rapport aux points ni^ m' et le point Y est sur l'axe des quantités réelles, à droite de E, ou à gauche de Ej, suivant que / et >' sont à droite ou à gauche de ^j. Si y croît de e, à /?*, ou décroît de 4- «à m, Y décroît

de 4- 00 à El ; de même si y décroît de e^ à m\ ou croît de — oc à m\ Y croît de — 00 à Es, Ces diverses remarques se raccordent très facilement aux considérations développées aux n°* 5%, 595 et dans la Note qui termine le Tableau des formules. Le lecteur peut, par exemple, se reporter à la figure de la page 164 pour ce qui concerne la correspondance entre le plan des^ et le plan des ei, défini par la relation yz=z pu.

Remarquons d'abord que les deux points^, /', qui se correspondent par la construction que nous venons d'indiquer, peuvent être regardés comme les images de deux points e/, symétriques par rapport au point J(w3-f-Wi); à ces deux points u dont la somme des affixes est toj-t- W| correspondent, en effet, deux points y^=zpu et j^'rz: p(M -hw,), en sorte que Ton a

(7— ei)(y — C2) = (cj — ei)(^2 — 63).

L'image du rectangle du plan des u remplit tout le plan des y et conduit au système de coupure figuré à la page i64; Timage du même rectangle, en vertu de la transformation

(Os -h »X»i tOj

remplit deux fois le plan des Y. Si l'on sépare ce rectangle en deux autres, par la droite qui va de co] à co,, droite dont l'image dans le plan des y est l'arc ti/nt^ du cercle (ej), le rectangle de gauche aura son image, dans le plan des j', à V extérieur du cercle (êj). Si le point u décrit le contour de ce rectangle, en passant successivement par les points o, 1^(0)3 — wi), w,, J-((03 -+- co,), (1)3,1(0)3 — 0),), G, le point j se mouvra sur l'axe des quantités réelles de — 00 à ni' \ puis, sur le cercle (ej) de m' à £,, de £1 à m, de m à £3, de £3 km'; puis, sur l'axe des quantités réelles de m' à — 00, en ayant toujours l'aire indéfinie à sa gauche; le point correspondant Y ne quittera pas l'axe des quantités réelles et s'y mouvra de — 00 à E3, de E3 à E,, de E, à Ej, puis reviendra de Ej à E,, de Ej à E3, de E3 à — 00. L'image du rectangle de gauche envisagé (dans le plan des u) remplit tout le plan des Y. De même, l'image du second rectangle du plan des w, symétrique

du premier par rapport au point — -9 se fait à Tinlérieur du

cercle (ej) dans le plan des y^ et remplit tout le plan des Y. Si le point u décrit le contour de ce rectangle en passant successivement par les points 0)3+ w,, {(o), + 3tu,), W3, ^(0)3 4- w,), Wj, l((03-h Swi), ^sH- w,, le point/ se meut sur l'axe des quantités réelles de £, à m',