Z-A •^-^^= Z^TÂ
La construction ud point y au moyen du point Z s'eflfectue en se servant du cercle (A) décrit du point A =: E', = |(e, -4- ^3 ) comme centre avec un rayon égal à |B. On prend le symétrique Zj de Z par rapport au cercle (A), puis le symétrique 7J de Z, par rapport à la droite qui joint les deux points e,, e^; le point j' est le sommet opposé au point A d'un parallélogramme dont trois sommets sont A, Z, Z'; les deux points Z, Z' fournissent le même point/,
T. et M. - IV. 19
280 F0NCT10!«S ELLIPTIQUES.
La transformation précédente peut être commode quand on a affaire à des valeurs réelles de y\ on observera que le point u allant en ligne droite de o à cui + (1)3) puis de o)) + eu, à 20)3, le point Z va sur Taxe des quantités réelles de + 00 à Ej, puis de E^ à A, et le point j^, aussi sur Taxe des quantités réelles, de -h 00 à — oc.
Ces résultats mettent en évidence Texistence d^une transformation
rationnelle à coefficienls réels x ^=. —r^ ^, —.^ qui transforme
une différentielle de la forme / ^ où le polynôme du quatrième
degré R(^) à coefficients réels admet deux racines réelles et deux racines imaginaires en j% en une différentielle de la forme
dz
/4(Z-E',)(Z-K;)(Z-Ei)
/dx par une )/\\{x)
transformation linéaire en une différentielle de la forme
J —^My — ex ){y — C5 )(y — c,) ' on posera ensuite
NOTE 5. — VARIATION DES PONCTIONS â. !x8l
Sur le sens de la variation des fonctions 3 pour des valeurs réelles de Fargiunent dans le cas normal.
Les résultats établis au n^ 175, relatifs à la variation des fonctions ^
dans le cas où -; est positif et oîi la variable (^ est réelle, deviennent
intuitifs lorsqu^on se reporte aux formules de décomposition en facteurs (XXXIIj.j). Observons d'abord que, dans les quatre seconds membres, les produits infinis que Ton voit figurer sont formés de facteurs toujours positifs qui tous varient dans le même sens que — cos2i''re pour STi, Sr^, que ■+■ cos 2^''repour^2, ^j; le sens delà variation du produit infini est le même que celui de ses facteurs. Le sens de la variation de '^liv) et de 3r4(t^) est ainsi évident. Quant à ^i{v) et à ^i((0» 6° tenant compte des facteurs sine et cos(^, on voit que la première fonction augmente de o à &, {\) nzSr, (o), que la seconde diminue de 37,(0) à o, quand v augmente de o à |; les formules (XXXIV3) permettent ensuite de reconnaître le sens de la variation quand v augmente de y à i.
Des considérations analogues s'appliquent aux fonctions
j^iiiv), 2r,(/p), 3r,(eV), âr^iV),
décomposées en facteurs où figurent sht;, cht^ au lieu de sine, cosf'.
On reconnaît directement sur les expressions de 3r,(/t^), 2rj(eV) que ces fonctions, toujours positives, varient dans le même sens que t^; puis, directement encore sur l'expression de^4(eV), que cette fonction
décroît quand v croît de o à — .: quand f' croît de — . à -. > ^^(â') con-
linue de décroître, comme le montre la relation entre &4(/V) et &4 (x — i\'). Enfin la formule de passage de la fonction ^4 à la fonction
^1 montre que la fonction -:^i{iv) croît quand ^^ augmente de o à A»
