LETTRE DE CH. HERMITE A M. JULES TÂNNERY

1. La lettre de Charles Hermite, que Ton va lire, demande quelques observations préliminaires.

Nous avons dit (n** 198) que les formules (XLVIi,!,}) qui expriment au moyen de ©(x), ^{'z)j xC*^) ^^^ fonctions <p(Tj, <Kt), x('r)> ^" ^*^^ suppose T = j—> en désignant par a, b, c, d des entiers liés par la relation

ad — bc = i^ étaient dues à Hermite. 11 les a données sans démonstration en i858. La démonstration qu^on trouvera dans cette lettre est la seule quHl aura publiée.

Cette démonstration, dans le cas où a, d sont impairs, 6 et c pairs (XX|, cas I"), repose sur la formule

qui est une conséquence immédiate des formules (XXXVlj), (XXXVIIIj), (XLVlIj), (XXVIIIfi). Cette formule a lieu quel que soit t, donc aussi quand on y remplace z par t. En supposant b = %b\ ic = c', on a d'ailleurs

et, puisque ad — b'c' est égal à i, on voit que les fonctions â(o|2T) sont liées aux fonctions 2r(o|2T) par les formules de transformation linéaire, comme les fonctions 2r(olT) aux fonctions 2r(olT). Le calcul se fait très facilement au moyen des formules XLH. Pour les fonctions ^(o|t), 5(0 1-:) on est, par hypothèse, dans le cas i® du Tableau (XXe); pour les fonctions 2r(o| -n), 27(0 12-:) on est dans le cas i" ou dans le cas 3« de ce même Tableau, suivant que ^' est pair ou impair: mais, dans les deux cas, v est égal à 3, m'" est égal à d; c'est toujours la formule (XLII^) qui s'applique et l'on a, en outre, à utiliser la seconde formule (XLIls) et la troisième formule (XLII7). En désignant par £1, i"l les quantités analogues à £, e'^, mais relatives aux entiers a, b\ c\ d^ on obtient ainsi, en supposant a > o,

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