LETTRE DE GH. HERMITE A M. JULES TANNERY

on a d'ailleurs, par une proposition d'arithmétique bien connue,

et, par conséquent,

rt* — 1 ab /a-^d \

De la relation ad — 6c = i, et de l'hypothcse que 6 et c sont pairs, il résulte que les nombres a et c^ sont tous deux congrus à i ou à — i (mod. 4), et que, par suite, a -h d est le double d'un nombre impair; le nombre

c(i±i ^ .) est donc divisible par 4, et .'on peut écrire finalement

C'est la formule que Ch. Hermitc établit dans sa lettre et d'où il déduit toutes les autres. Mais ce n'est pas ainsi qu'il procède.

2. C'est à lui encore qu'on doit les formules générales de transformation des fonctions â; il les a données en i858 dans le Journal de Liouville. Par une analyse très simple et très profonde, il a fait dépendre la constante qui figure dans ces formules, et dont le signe est si difficile à déterminer, de l'expression (*)

En transformant la somme S au moyen des résultats dus à Gauss et en profitant des simplifications apportées à ces résultats par Lebesgue, dans différents Mémoires du Journal de Liouville, il a obtenu des formules équivalentes aux formules (XLII), que nous avons établies sous la forme donnée par M. H. Weber (Ellipt, Funct,), en partant des propriétés de h(T) que l'on doit à M. Dcdekind. Si nous n'avons pas adopté la démonstration d'Hermite, c'est qu'elle appartient à un ordre d'idées tout autre que celui où nous avons voulu nous placer, mais nous croyons devoir reproduire ici cette démonstration, d'une part à cause de sa beauté, d'autre part pour permettre au lecteur de mieux pénétrer la signification de la lettre de Ch. Hermite.

En appliquant la méthode qu'on lui doit (n^'STS, 27i, 381) pour trouver les fonctions (transcendantes) entières les plus générales qui soient doublement périodiques de troisième espèce avec des multiplicateurs donnés.

(•) Summatio quarumdam serierum singularium, 1808; Gauss, Werke^ t. II, p. 9.

on voit immédiatement que la fonction (transcendante) entière la plos générale qui vérifie les équations fonctionnelles

(I) /(<;-+-,) = ( l)'^f{v\ f(v -H T) = (- OPe-'^'^-^T) /(,,),

OÙ a, p sont des nombres entiers donnés, est la fonction

l'indice n placé sous le signe S indique ici, comme dans la suite, que n doit parcourir la suite de toutes les valeurs entières, négatives, nulle et positives. La notation 6a,p(i'), employée par Ilermite, a déjà été signalée dans la Note du n** 160, où l'on a expliqué- comment elle se relie au\ notations de Jacobi, que nous avons adoptées.

En désignant par a', ^' deux nouveaux nombres entiers, en renoplaçant dans l'égalité (2), v par p -t-|(a''c -h P')et en remettant ensuite, à la place de ^sE^ -+- {(a -+- a')^ -+- JO -h P')], son expression au moyen de 6a-+-a',^P'(^)> qui résulte de cette même égalité ('2), on trouve immédiatement

(3) ea,p((;-t--;a''u-h-}P') = e ^ ^^' ^ ^a^-a', p-4-P'(«0.

Cette formule, sauf quelques différences insignifiantes dans les notations, a été donnée sans explications dans la Note que nous venons de rappeler, ainsi que les deux relations, évidentes sur la définition même de la fonction Oa,p(P),

(4) Oa+,,p(0 = (- i)P0«,p(O, Oa,M(^) = ^ot,?(^).

Quand nous aurons besoin de mettre en évidence la façon dont la fonction Oa,p(*') dépend de t, nous l'écrirons 6a,p(^l")'

11 résulte clairement du n" 178 que, si l'on désigna par a, 6, c, d quatre nombres entiers liés par la relation ad — bc = \ et si l'on pose avec liermite

(5) n((^) = e^«*»''(«-+-*^^Oa,p[(a-H^':)p|'u],

la fonction n(p) ne diffère que par un facteur constant de la fonction

Oa.,p,

c -\- dz\ , , . o 1 1

T- ] y en desiprnant par ol*. ai des nombres entiers convena-

blement choisis. Ce premier résultat, que nous avons déduit de la théorie de Ja transformation linéaire des fonctions 0', ressort d'ailleurs aussi très facilement, ainsi que rcxpression des entiers ai, pj, au moyen de a, b^ r, </, a, p, du théorème de Ch. Ilermite sur la résolution des équations fonctionnelles (1). En effet, la formule (3) permet de calculer ce que devient