LETTRE DE CH. HERMITE A M. JULES TAXNERY

le second membre de Téquation (5) quand on y augmente p de i ou de

c -\~ dz T = j-9 puisque alors la quantité (a h- b'z)^ s'augmente de a -h bz

ou de c-\-dz; on trouve ainsi, après des réductions faciles, en tenant compte des formules (j) et de la relation ad — bc = i,

(6) u(v-hi) = (- i)««n((^), n((^-f-T) = (— i)P.e-'«i**'-»-T'n(t'),

où

ai = aoL-{- b^ -h aby ^i = ca-h d^ -h cd.

Les équations fonctionnelles qui vérifîent ainsi la fonction (transcendante) entière U{v) ne diffèrent des équations (i)que parle changement de a, p, T en aj, pi, t; celte fonction ne peut donc différer de 6oi„p,(p|T) que par un facteur (s, indépendant de v, et qu'il reste ù déterminer. En d'autres termes, on a

ou, en remontant à la définition des fonctions 6,

(7) 51 e'«?Kn) = G V (— i)«?, e^îtTC/i+ia,)«-Hii7Ui'(i-f-ia,),

OÙ Ton a posé, pour abréger,

tp((^, n) = b{a -h bz)v^-h (in -h OL)(a-\- bz)v '{--^^'z(2n -h ol)^— n^.

Observons, en passant, que, à la propriété de !!((') de se reproduire, multipliée par ( — i)*i, quand on y remplace c par v-^ij correspond la propriété, bien facile à vérifier, de la fonction ?p(i», w), qu'exprime l'égalité

ïp(p H- I, n) — ç(t^, n -h 6) = '2 a/4 4- «1.

Il sera commode, pour ce qui va suivre, de multiplier les deux membres de (7) par e-'''^*'^*!, de^manière à faire disparaître tTCPai dans l'exposant de chaque terme du second membre et à pouvoir profiter tout à l'heure

de ce que l'intégrale / c'''^'*'û^(' est nulle ou égale à i, suivant que n est

différent dsî o ou égal à o. L'égalité (7) est alors remplacée par la suivante

OÙ la fonction

^{i>, n) = cp(i>, n) — ajr

jouit évidemment de la propriété

^{v -\-i, n) — ^(v, n -h b) = lan,

OU, plus généralement, de la propriété

^{v-i- py n) — ^{ç, n-\- pb) = lapn-h abp{p — i), en désignant par p un entier quelconque, en sorte que Ton a

Nous supposerons maintenant que b soit entier positif; cela ne res-

c -\- ciz treindra pas la généralité de la solution, puisque j-^ ne change pas

quand on y change les signes de tous les nombres a, b^ r, d. En intégrant entre o et i les deux membres de Téquation (8) et tenant compte d*une remarque antérieure, on trouve

(10) fBe^''^'''=\ (y ei'^^-^^^\dv.

Le terme e^'^M*'»'*'^ de la série qui figure sous le signe d'intégration, n'est pas modifie si l'on augmente v de r, pourvu que Ton diminue n de r6, ainsi qu'il résulte évidemment de l'égalité (9); dès lors, si l'on réunit ensemble,

dans la série \^ e''^1'^»''«>, les termes pour lesquels les valeurs de n sont congrues, suivant le module b, de manière à écrire cette série sous la forme

il est clair qu'on pourra tout aussi bien l'écrire en observant enfin que l'on a

on voit que l'égalité (10) pourra s'écrire sous la forme

(II) Gel''^Ta? = ^ / è'^'Y^y^^ dv,

Quant aux b intégrales qui figurent dans le second membre, en se rappelant que '^{Vy p) est un trinôme du second degré en r, elles se calculent au moyen de la formule

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