LETTRE DE GH. HERMITE A H. JULES TANNERY
dans laquelle la variable d'intégration est réelle et qui est valable pourvu que le coeffîcicnt de i dans p soit positif, condition qui se trouve vérifiée pour o(i', p) puisque le coefficient de v'^ est ab-^b^z. Dans le second membre, la partie réelle de y/ — ip est supposée positive (*). On trouve ainsi
v/ — ib{a -{- b-z)
( *) Cette formule est due à Cauchy (Œuvres, 7* s., t. VII, p. "^80). Cauchy avait déjà aperçu, pour un cas particulier, le rôle qu'elle peut jouer dans la théorie qui nous occupe, rôle que Ch. Hermite a mis en pleine lumière dans le cas général. L'Analyse de Cauchy à peine modifiée peut être résumée comme il suit:
Désignons par A, b deux nombres quelconques, dont toutefois le premier a son
argument trigonométrique compris entre — ~ et -4- ^'» et considérons l'intégrale
rectiligne
rt
où la variable d'intégration x suit l'axe des quantités réelles, du point x^ vers — 30, au point j?, vers -4-x. En posant t = ax ■+■ B, on remplace cette intégrale rectiligne par une autre intégrale rectiligne
if
dans laquelle la variable d'intégration t décrit la droite qui va de ^0 = A^r, + B à /, = A^, + B. La fonction e~'' étant holomorphe dans tout le plan, il sera évidemment démontré que l'intégrale précédente diffère très peu des intégrales rectilignes
si l'on prouve que les deux intégrales rectilignes
r'« dt
sont très petites. Il suffira de considérer la seconde.
Lorsque la variable l - ne'? décrit le segment de droite qui va de ar, à /, — Ax,-T- B, son argument 9, d'abord nul, augmente en valeur absolue, jusqu'à ce que t soit en /|. D'ailleurs, comme J7| est infiniment grand positif, l'argument de f, difi'rre infiniment peu de celui de Ax^ ou de a ; l'argument de t reste donc
inférieur, en valeur absolue, à un nombre u < ^-; on a donc, sur la droite qui va
(le a?, à ^p
I e-*' I < e-«îco»2w ( cos 2 0) > o ), en désignant par R, le minimum de R. L'intégrale est donc moindre que le pro-
où l'on suppose
A = 6 kO(a-hbt) e*'*
On en déduit par un calcul aisé, dans lequel on a toutefois à tenir compte de la condition ad — 6c = i,
v/ — ib{a -^bz) où l'on suppose la partie réelle du radical positive et où
s = 2e>"'^Kp-«)
et
3. La somme S s'évalue au moyen des sommes de Gauss {*). Nous donnons, dans ce qui suit, toutes les indications relatives à ces somaies, nécessaires pour retrouver les formules définitives d'Hermite.
On appelle somme de Gauss une expression de la forme
îiir rr' o
OÙ a Q\. b sont deux entiers (positifs ou négatifs) premiers entre eux, et où /•, l'indice de sommation, doit prendre l^j valeurs entières incongrues suivant le module 6, que nous désignerons par /-q, Tj, .... /'6-i> P^r exemple les valeurs o, i, vt, . . . , | 6 1 — i. Il est clair que la valeur de la somme ne dépend pas du système choisi pour les nombres r^. ri, ..., r^— i.
duit de e""?cosîa) par la longueur du chemin d'intégration qui est évidemment du même ordre de grandeur que R,; or le produit n,e~»îcossa) tendant vers zéro quani Hj augmenle indéfiniment, la proposition est démontrée et Ton a
Supposer que Targument de a est compris entre — ^ et -h^» c'est supposer
que la partie réelle de a- est positive. On remarquera enfin que a est celle des racines de a^ dont la partie réelle est positive.
Le résultat annoncé est complètement justifié dans le cas particulier considéré; Tcxtension au cas général est immédiate.
(') Summatio quarumdam serierum stngularium {Werke, t. Il, p. ii).
