LETTRE DE GU. HERMITE A M. JULES TANNERY

Les propriétés suivantes de la fonction ç (a, b) apparaissent immédiatement (^) sur la définition.

Quand on change de signe Tun ou Tautre des nombres a, by la quantité ç(a, b) est remplacée par la quantité conjuguée. On ne change pas ^(a^ b) en remplaçant a par un entier a' congru à a suivant le module b.

Etant donnés les deux entiers a^ a', premiers à b^ s'il existe un entier /71 tel que Ton ait

a'^ni^a (mod. ^), on aura

car m étant forcément premier à b, l'ensemble des restes, pris suivant le module b^ .des nombres mr esl le même que l'ensemble des restes des nombres r. En particulier, si l'on a

a ^^ /II* (mod. é), on aura

(p(rt,^») = cp(i,6).

On a aussi

o(a, 6)cp(6, a) = o(i,a^).

Le produit tp(ûr, 6)cp(^, a) est, en effet, égal à

OÙ r doit prendre \b\ valeurs incongrues suivant le module 6, tandis que r' prend séparément \a\ valeurs incongrues suivant le module a; dans ces conditions, ar-hbr' doit prendre \ab\ valeurs incongrues suivant le module ab; le produit cp(a, b) 9(6, a) est donc égal à (p(i, ab). On a aussi

ç.(i,a) = /rti»-« — -r

en désignant par ^a la valeur positive de la racine si a est positif, et en

supposant /a = — ^ jy/— a | si a est négatif. Il suffit d'établir cette proposition quand a est positif; la seconde partie résulte, en effet, de la première, en changeant a en — a, et se rappelant que 0(1, «) est alors remplacée par la quantité conjuguée (*). Kronecker a montré (') que l'on

(') Voir Dedekind, Vorlesungen iiber Zahlenlheorie von Lejeunc-Dirichlet, 4* éd., p. 293.

(-) Celte proposition résume divers cas cnumérés par Gauss dans le Mémoire cité et qu'il a irailcs d'une façon purement algébrique.

(■') Monalsberichie dcr Derliner Âkadcmic^ 1S80.

obtient rapidement la formule relative au cas où a est un nombre positif, en écrivant que l'intégrale

JlIC —

giinz *

prise le long d'un contour qu'on va définir, est égale à iîtz multiplié par la somme des résidus de la fonction sous le signe / relatifs aux pôles i,

2, . . ., situés à l'intérieur du contour. Celui-ci est un rectangle sy-

métrique par rapport à l'axe des quantités réelles, dont un côté, situé sur l'axe des quantités purement imaginaires, va du point — yx très éloigné vers le bas, au point ^'t situé très haut; le côté parallèle à celui-là passe

par le point -; pour éviter le pôle o, on décrit de ce point comme centre, à l'intérieur du rectangle, un demi-cercle de rayon très petit, et Ton supprime du rectangle l'intérieur de ce demi-cercle; si a est pair, — est un

pôle que l'on évite de la même façon ; les demi-cercles ainsi décrits entrent naturellement dans le contour. Il est aisé de voir que la partie de l'intégrale qui correspond aux côtés parallèles à Taxe des quantités réelles est négligeable, quand |^| | est très grand. On parvient aisément, quand a est impair^ à la formule

^^ 2iTCr« y^* 2f7ty»

et la méthode même permet d'affirmer que l'intégrale recliligne qui figure dans le second membre a un sens. En multipliant par 2, remarquant que

dans la somme II 6 '* , étendue aux valeurs r = i, 2, ,.., a — i, les termes à égale distance des extrêmes sont égaux, changeant enfin y en xyja, il vient

La valeur de l'intégrale définie qui figure dans le premier membre de cette formule est ^(1 — i); elle se déduit immédiatement de celle de l'in-

tégrale / e~^* dt qui est, comme on sait, égale à ^ /~; elle résulte d'ail- Jo

leurs aussi de la formule même, pour a = 3. On trouve finalement