LETTRE DE GH. HERHITE A M. JULES TANNERY. 29I

C'est le résultat annoncé; il subsiste pour a pair, comme on le voit sans peine en reprenant les calculs, après avoir modifié, comme on Ta expliqué, le chemin d'intégration. Le fait que cp(i, a) est nul, quand a est congru à 2(mod. 4) et n'est pas nul quand a n'est pas congru à 2(mod. 4), se reconnaît directement.

Posons maintenant, en supposant que 6 ne soit pas congru à '2(mod.4))

9(rt, b) = (a,^*)o(i, h),

et cherchons à déterminer la valeur de (a, b) qui n'a de sens que sous la condition précédente.

On observera d'abord que, en vertu de cette définition, (1,6) = i, que, en vertu des propriétés de cp(a, 6), on a (a, b) = {a-, b) quand a et a' sont congrus mod. 6; enfin qu'on peut, sans changer la valeur de {a,b), supprimer de a tout facteur carré parfait qui s'y trouverait.

En supposant qu'aucun des deux nombres a, b ne soit congru à ^(mod. 4), l'égalité <p(«, b) o(by a) = tp(i, ab) et l'expression de ©(i, a) fournissent de suite la relation

(l f- iab\ (i -+- i)

OÙ ta,b est égal à i si l'un des nombres a, b est positif et à — i si ces deux nombres sont négatifs. Cette égalité se réduit à

(a, b)(b,a) = Za,h

si l'un des nombres a, b est de la forme ^n -r- ly et à

(a, b){b, a) = — la.b

s'ils sont tous les deux de la forme ^n — i, donc enfin à la forme

(rt — 1)|6— I) (a,6)(6, «) = (— I)~ * ta^b,

si l'on sait seulement qu'ils sont tous les deux impairs.

Supposons qu'on veuille calculer (a, b) dans le cas où b est impair. On peut toujours supposer a impair et moindre que b en valeur absolue, car il existe toujours un nombre impair a' congru à a(mo(l. b) et moindre que b en valeur absolue, c'est le reste positif de la division de a par b si ce reste est impair, et, dans le cas contraire, ce reste diminué de 6; ou remplacera a par a .

Supposons donc a impair et |<Tf|< \b\\ l'égalité précédente ramène le calcul de ( «, b) d celui de (b,a)y et le calcul de (by a) se ramène ensuite, comme on vient de l'expliquer, au calcul d'un symbole (b\ a), où 6' est impair et où 16'| <|rt|. En continuant de la même façon, on voit que le calcul de (a, b) se ramène au calcul d'un symbole de la forme (=t 1, a),

aga fonctions elliptiques.

où a est impair, positif ou négatif, et que Ton a

(a,6) = ih(=hi,a).

D'ailleurs (i, a) = i, et Ton a

en prenant le signe supérieur ou inférieur suivant que a est positif ou négatif, comme on le voit en recourant à la valeur de ç(i, a), et en se rappelant que ©(— I, a) n'est autre chose que la quantité conjuguée deîp(i,at); a étant impair on voit que (a, b) est égal à ziz i.

Les calculs que Ton vient d'indiquer sont très analogues à ceux du n** 2â9 ; en se reportant à ce que l'on a dit alors, le lecteur verra de suite que Ton a

toutes les fois que ce dernier symbole est défini, c'est-à-dire lorsque b est impair et que les deux nombres a, b ne sont pas tous deux négatifs. Nous avons, en effet, établi relativement au symbole (a, 6) toutes les propriétés

relatives au symbole de Legendre-Jacobi, sauf la propriété (a, ^) = (a, — b);

o( Q b ) or celle-ci résulte de ce que (a, b) est réel et de ce que ■^ , \ se chancre

en la quantité conjuguée, c'est-à-dire ne change pas, quand on change b en — b.

Supposons maintenant a impair et b divisible par 4* La formule (la; donne alors l'une ou l'autre des deux relations

(a, b){b, a) = £«,*, {a,b)(b, a) = — tta.by

dont la première est valable si a est de la forme J\n-hiy la seconde si a est de la forme f\n — i. Le symbole (6, a) se calculera comme on vient de l'expliquer; a étant impair, il est égal à db i, en sorte que l'on a finalement

(a, b) = ta,b{b, a) ou (a, 6) = — itaM^y^)

suivant que a est de la forme 4/1 -\-i ou ^n — i .

En résumé, on sait calculer <p(a, b) toutes les fois que b est impair ou divisible par 4 et sa valeur est zh i ou db i; quand b est le double d'un nombre impair, ^(a, b) est nul.

Nous avons à appliquer ces résultats au calcul de la somme

,^ itza / 1 , \«