Les fonctions

C^fxU e-^«"Cf'(M -4- (Dût)

îao(w) =

^U O'WqjO'M

Î3y(w) = -r- = zH- e^^T-V« --7 ^

sont des fondions doublement périodiques de seconde espèce, à multiplicateurs -h i et — i ; les derniers membres appartiennent au type X{u) du n® 366.

Les carrés des fonctions \ sont des fonctions doublement périodiques de première espèce ; observons que les formules (LXIIIi ^3^4) ne sont autres que des formules de décomposition en éléments simples. Il en est de même des formules (LKIIIs^e) relatives aux fonctions Çpo(«) 5yo(w)7 5oy(") 5a?('0-

402. La théorie de la décomposition en éléments simples des fonctions de seconde espèce conduirait sans difficulté aux équations différentielles que vérifient les fonctions Ç; par exemple, en observant que la fonction Çgo(w) 5yo(«) admet les mêmes multiplicateurs que la fonction \%q{u), qui, n'ayant pas d'autre pôle que zéro dans le parallélogramme des périodes, peut jouer le rôle d'élément simple, et que cette même fonction Çpo(w) iYo(w) admet, comme pôle unique, le pôle double // = o, on voit qu'on peut écrire

A et B étant des constantes : or, en se rappelant seulement que le développement de $ao(")î suivant les puissances ascendantes de w,

commence par un ternie en - et ne contient pas de terme indépendant de //, on voit de suite, si l'on égale dans les deux membres les coefficients des puissances négatives de £/, qu'on doit avoir A = o, B = — I : on retrouve donc ainsi la formule (LXI| )

Çio('0 = ~?3o(w)Çyo(M),

d^où Ton déduit immédiatement Téquation différentielle (LXIIi)

403. Supposons n impair. Dans le parallélogramme des périodes de la fonction p(w | a>i, W3), les fonctions $oa(w — ^^sj» Çpy(«/ ~>a>3J sont doublement périodiques de seconde espèce,

avec les mêmes multiplicateurs dz i que les fonctions Çoa('^)» Çpy(w). Leurs pôles et leurs zéros se mettent immédiatement en évidence, d'où Ton conclura sans peine leurs expressions sous forme de produits rentrant dans le type du n° 389; on retrouve ainsi les formules, relatives aux fonctions Ç, que Ton obtiendrait par la division membre à membre de celles, relatives aux fonctions rf, qui figurent au Tableau (XXVJ).

La décomposition en cléments simples permet d'obtenir, sous forme de sommes, les expressions des fonctions

on trouve ainsi, en particuli-er et en conservant les mêmes notations qu'au n** 129,

îos(" —, toal = y===-. -—==>(-- i)''to3(w -4-—-) \ n / ^K, — E3 /k2 — Es ^ \ " /

Cî3 ( " — » W3 1 = - > Îît3 U H- — — -

(n (r = Tq, 7*1, . . . , /"/i-i).

Les formules (LXXXVII7-0) et (LXXXIX7-9) se déduisent de celles qui précèdent par le passage des fonctions Ç aux fonctions sn, en, dn.

404. Les combinaisons que l'on peut former en multipliant une fonction Ç de l'argument w par une fonction ç de l'argument w -h a sont des fonctions doublement périodiques de première ou de se-

conde espèce; on parvient à des formules intéressantes (') en les décomposant en éléments simples.

Considérons, par exemple, la fonction Sao(w)$ao('^-l-^)) elle est de première espèce, du second ordre; ses pôles, qui sont simples, sont o, — a et les points congrucnts; le résidu relatif au premier pôle est ^aio{a); on en conclut de suite

5ao(w)$ao(w-l-«) = Uo{a)[^u — l^(ii -h a) -^ X].

A est une constante que l'on trouve égale à î^a^ en écrivant que le second membre est nul pour u = Wa»

Nous récrivons ci-dessous la formule ainsi complétée, et d'autres qui s'en déduisent, en ajoutant (*>« ou wp à «/ ou à a. Ces formules, et celles qu'on en déduirait en échangeant les lettres u et a, donnent les décompositions cherchées de celles des combinaisons que Ton considère qui sont de première espèce,

[ $oa(«)$ao(w)îao(w -+-«)= ?" — Ç (" H-«) -4-?a a,

I (ex— ep)(ea— ey)îoa(a);oa(")ïoa(w-Ha) = 2;aW — Ça(w-H«)-+-Çxa,

(Cl) / («p — ea)?oa(«)îrpW5YP^""'-^)=î?"~^p("-+"^)-'-îa^''

?ao(«)îao(«)$oa(w-H«)= ^u — ^^("H-a)-^ ?«»

En tenant compte des relations (LXIIIs-e) on volt que la première et la troisième des relations précédentes peuvent s'écrire

Ça — î(M-ha)-^Ça = $oa(«) îaoC") ?ao( w + a) -h ^^o(à) $ya(«)^ îa« — îa( w -^ «) -^ Ça« = (^a— ^p) $op(«) [;va(w) 5ya( m -+- a) — iyo{a)].

Sans nous arrêter à multiplier les relations de cette nature, rappelons que ^u — ^{u -\- a) -\-l^a n'est autre chose (VII3) que

*^ " *^ — Enfin, on voit aisément que, en faisant tendre a

2 pu — pa ' *

vers o dans les formules précédentes, on retombe sur les formules de décomposition en éléments simples (LXIIIi^ 3^ 4) des fonctions

?«(«), Sa(«), S^t(«)-

405. En consultant le Tableau (XII2), on aperçoit que le multiplicateur [jLa de la combinaison $ ( w) Ç ( w + a), où chacune des

(*) Voir le Cours de M. Hermite, XXIV» Leçon.

T. et M. — III. 4

deux fondions Ç est affectée d'indîces quelconques égaux ou inégaux, est égal au produit d'autant de facteurs égaux à ( — i) qu'il y a, parmi les indices des deux fonctions Ç, de nombres o et a. Jl en résulte que si /?, q^ r, s sont pris parmi les nombres o, i, 2, 3y p et q d'une part, r et s de l'autre, étant nécessairement inégaux, les expressions $/,^(w) Srf(w -f- «) sont des fonctions doublement périodiques de première espèce ou de seconde espèce avec les multiplicateurs +1 et — i. Celles de ces fonctions qui sont de seconde espèce sont celles pour lesquelles les deux systèmes (p, q), (r, s) admettent un élément commun et un seul. Considérons, par exemple, la fonction ^pq{u)^pr(u -^ a) où les nombres q et r sont différents entre eux et différents de /?, et désignons par s celui des nombres o, i, 2, 3 qui n'est ni /?, ni q, ni r. Cette fonction et celles qui s'en déduisent, soit en remplaçant p par 5, soit en échangeant deux des nombres p et q ou p et r, ont les mêmes multiplicateurs; ces multiplicateurs sont d'ailleurs aussi ceux des fonctions iyr(w) et ^ps{u). D'ailleurs la fonction ^pç(u) \pr{u + a) n'a que deux pôles, simples tous deux, dans le parallélogramme des périodes; elle s'exprimera donc en fonction linéaire de deux des expressions

les constantes W|, u^f w', , u^ étant fixées de façon que les deux expressions choisies aient leurs pôles congrus à ceux de la fonction kpç{i^) ^pr(u H- a), La même chose s'applique aux fonctions qui se déduisent de la fonction ^pq{u)^pr{u -{- a)^ en remplaçant p par s ou en échangeant deux des nombres p el q ou p el /*.

Dans chaque cas, les coefficients des fonctions linéaires s'obtiennent très aisément en donnant successivement à u des valeurs qui annulent chacun des termes.

On doit avoir, par exemple,

et l'on déterminera les coefficients A, B en supposant successivement «/ = o, u = — a. On trouve ainsi une série de formules, parmi lesquelles nous n'en transcrirons que trois, parce que les autres, quand on passe (LIX| ) des fonctions Ç aux fonctions rf, ne fournissent pas de relations distinctes de celles qu'on déduit de la

APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITION. 5l

même façon des trois.seules formules que nous conservons, savoir :

[ Çao(M) ifio(u -h a) = i^o(a) ^yo(u) — $ao(a) ÇyoC^^

rn s) (^p-"^a)?oa('OÎYa("-+-«) = 5po(o){pa(") — $ao(«)?pa("

De ces formules et de celles qui s'en déduisent par le changement de w en a, il serait bien aisé de déduire les formules d'addition des fonctions Ç; enfin on reconnaîtrait mieux leur nature et, en particulier, leur genre de dissymétrie en les récrivant après avoir remplacé u par 6 et w -h a par — c, a, 6, c étant alors supposés reliés par la relation symétrique a-\-b-{-c = o; mais nous laissons au lecteur le soin de développer ces matières.

406. Les notations relatives aux fonctions ^ permettent de condenser beaucoup les formules. Lorsque l'on veut passer de ces formules aux fonctions sn, en, dn, il est nécessaire de particulariser les valeurs des indices a, p, y, en sorte qu'une formule où ne figure qu'un seul de ces trois indices conduit à trois formules relatives aux fonctions sn, en, dn; une formule où figurent deux ou trois indices a, p, y fournit six formules qui, à la vérité, peuvent n'être pas distinctes. Nous n'écrirons ici que quelques-unes des formules relatives aux fonctions de Jacobi ; le lecteur obtiendra les autres, soit par le même procédé, soit en ajoutant à l'argument les quantités K, i'K', K -h iK!.

Tout d'abord la relation (LXIII3) donne, pour a = 3 et en remplaçant u par ■»

yei — ez

ou, en tenant compte des formules (LXVIli), (LXXVIII4) et (XXXVII4),

On en déduit, pour w = o,

(CIIO Z'(o) =

puis

(CrU) A» sn*M = Z'(o) — Z'(m).

Comme on a cn^ u = i — sn^ u, dn- u = i — k^ sn- w, on en conclu l les formules

^ ^ ( dn«w = i — Z'(o)-f-Z'(M).

Si dans ces formules on ajoute K, «K', R -h «R' à Targument a, on obtient des formules analogues concernant les inverses des fonctions sn^w, cn^w, dn^ u et leurs rapports mutuels; toutes ces formules sont, au fond, contenues dans les formules (LXIII).

De la mcme façon, on déduira des relations (XCVII), en y supposant a = 3, celles-ci :

Z(i/)-4-Z(a) — Z{u-^ a) = k^snasnu sn(u-^ a)

(Cil) < /r^snar / x-i sna., j j / m

— i 1 cn« — cna cn(w -H a) I = F un a — dnadn(a-i- a)];

puis, des formules (C2), les suivantes :

snacnu dn(u -h a) = ânasn(u -h a ) — cnasnu, cna cnudn(u-h a) = dnadnucn(u -r- a) -h X:'* snasni/, ' dna cna sn(M -I- a) = sna dn(M -h rt) -h snMcn(w -h a), k^ cnacnucn{u -h a) = dna ânudn(u -h a) — /*'*,

auxquelles il convient d'adjoindre, outre les formules qui résultent du groupe précédent quand on néglige le premier membre, celles qu'on en déduit en échangeant les lettres u et a, et en remplaçant successivement u par u — a et a par — a.

III. — Développement de pu en série entière. — Expression des dérivées de pu et de p(u — a) au moyen des puissances de pu. — Expression linéaire des puissances de pu au moyen des dérivées de pu.

407. L'équation différentielle obtenue pour la fonction pu conduit à des conséquences importantes relatives au développement en série de cette fonction et à l'intégration de ses puissances entières.

Rappelons tout d'abord que l'équation différentielle (Vile) permet (n'* 101) d'établir la formule récurrente

r—3)(ir-hi)Cr = 'i^acr-i ('-^4),

qui, jointe aux expressions déjà connues (IX3) de C2 et de C3, fournit autant de termes que l'on veut dans le développement de pu

r=ao

PU= ^^-h^Cr^t "*''.

On reconnaît immédiatement que la série qui représente pu est convergente, sauf au point o, pour tous les points intérieurs au cercle décrit du point o comme centre, avec un rayon égal au plus petit des nombres 2 | (iJa|. Grâce à la périodicité et à l'emploi du théorème d'addition, on peut toujours ramener le calcul de pu au cas où le point u est intérieur à ce cercle.

Du développement de pu on déduit immédiatement celui de

Çi/ = — /pw du

qui converge dans les mêmes conditions, et celui de la fonction transcendante entière

les premiers termes des développements de pu, ^w, cs'w figureront dans le Tableau de formules.

408. On voit d'ailleurs, sans aucun calcul, sur la formule récurrente jointe aux expressions de C2 et C3, que chacune des expressions Cr+i est un polynôme entier en g2i gz à coefficients numériques rationnels. Parfois, on désire mettre en évidence la forme seule de l'un ou l'autre de ces polynômes Cr+i sans s'occuper delà valeur numérique de ses coefficients; on y parvient facilement en faisant usage de la formule d'homogénéité (III3).

Si Ton désigne par X un nombre quelconque et par Cr+i ce que de\îent Cr+i quand on remplace W|, (03 par Xa}|, Àa>3, on voit immédiatement en appliquant celte formule que l'on a la relation

D'autre part, si Ton désigne le poljnome entier en g2^ ^3, qui représente Cr^x par

oii a2, as sont des entiers positifs ou nuls, où Aoc^^a, ^st un nombre rationnel et où la somme est étendue à un nombre fini de combinaisons des entiers a2, as, on a manifestement

Il suffit de comparer ces deux résultats pourvoir que les nombres entiers positifs ou nuls a^, as qui correspondent au nombre entier déterminé, positif ou nul, r vérifient nécessairement la relation

iajH- 3a8= r-+-i.

En tenant compte de cette relation, on voit immédiatement quelle est la forme du polynôme en ^2, g^ qui représente Cr^.|. Ainsi le coefficient c< 2 de w^^ est de la forme A^J "+" ^^o 2 ^3 + ^S\i où A, B, C sont des nombres rationnels, puisque la relation aa2 -f- Sas = 12 n'est vérifiée que pour les trois couples d'entiers positifs ou nuls a2 = o, as = 4 î a2 =; 3, as = 2 ; ag = 6, as = o.

Il va sans dire que ces résultats pourraient se déduire sans peine, par induction, de la formule récurrente elle-même.

409. Au développement de du^ il convient de joindre celui des fonctions ^a", ou, plus généralement, de la fonction transcendante entière de «/,

/(a, i^o) = e-^^^o — 1— i = Aq^ AiM-i-. . .-h A;, — | -t-...,

qui se réduit k d^u pour Uq = Wa; la relation

I [df{u, f/p) d/(u, Uq)']

dont la déduction est immédiate, fournit la formule récurrente

A„ = — {n — i)A„^jPMo,

OUtï

qui permet d'obtenir autant de termes que l'on veut, dès que l'on aies deux premiers, qui s'obtiennent directement : on trouve ainsi

il ne reste plus qu'à faire Uo= (Oa pour avoir le développement cherché, dont on trouvera les premiers termes dans le Tableau (XCIII).

410. En effectuant la division de la série qui représente/(w, Uo) par la série qui représente rfw, on obtient le développement de la fonction JU(w, Wo) du n° 374, sous la forme

an u w'*~* e^é>(u. Uo) = h ai -i- aj — ï H- . . . -f- a„ — j h . . . ,

développement qui est valable dans les mêmes conditions que celui qui représente pu; d'ailleurs l'équation différentielle linéaire (n** 374) que vérifie X(i/, Uq) fournit, pour les coefficients a„ dont l'indice est supérieur à 3, la formule de récurrence

n {n — 3)1 ni *^ {n — 1)\ {n — 4)'

^ ^i '. ITTy -H ... -h 2 C,.

(/i — 6)! -'\n-^'ir)\ ' '

où les Cr sont les coefficients du développement de pw; l'indice /• ne doit pas dépasser la valeur-; si n est pair, (ai — ar)! doit,

pour /•= — , être remplacé par i. On trouvera dans le Tableau (XCIV) les expressions des premiers coefficients.

411. Le raisonnement que nous avons fait pour p^u dans le n® 397 montre en général que J3"m, où n désigne un entier positif, est une fonction linéaire de pu et de ses dérivées, jusqu'à la (2/1 — 2 y*"® 5 on a plusieurs manières pour calculer ces fonctions linéaires, de proche en proche.

Tout d'abord, maintenant qu'on est en possession du développement de pw, avec autant de termes qu'on veut, on peut appliquer exactement la méthode que nous avons suivie pour p^ a. c'est-à-dire la formule de décomposition en éléments simples.

On peut encore utiliser cette remarque déjà faîte au n** 101 ; les dérivées d'ordre pair de pu sont des polynômes en pu. Inversement l'expression de ces dérivées permcl, comme on le verra tout à l'heure, d'obtenir, par la résolution d'équations du premier degré, les expressions linéaires des puissances de pu au moyen de pu et de ses dérivées d'ordre pair. Il y a donc quelque intérêt à pouvoir pousser un peu loin le calcul de ces dernières; voici comment on peut procéder.

Si l'on pose pour abréger ^ = p«, on reconnaît aisément par induction (n** 101) que la dérivée a/i'*^"® de pw, que nous représenterons par P,;, est un polynôme en y de degré /i-hi; désignons par P^^, PJ^ les dérivées première et seconde de ce polynôme, prises par rapport à y. On aura

du ~ " du' du-' ~ " \dûj '» du^ '

mais on a, d'une part,

du^ "■" du^'^^i -^n^t^

cl, d'autre part, à cause des équations (VIIq-t). on aura donc, en remplaçant,

Pn^i = (4j^-^ij'-^3)p;.+ (or-- Ç) p;;

cette relation, jointe à celle-ci

permet évidemment de calculer de proche en proche les polynômes P^; on trouvera dans le Tableau (XGVIl) les expressions de P,, pour les premières valeurs de n,

412. Quand on veut pousser les calculs un peu loin, il est commode de les fractionner davantage et de calculer séparément les coefficients de chaque polynôme.

Il suffit d'observer ceux des polynômes qu'on a calculés pour prévoir que ?« doit être de la forme

où les coefficients ^x[]a, sont purement numériques et où a2, ol^ sont des entiers positifs ou nuls qui satisfont à la condition

•2 aj -f- 3 «3 ^ 71 -H I ;

il sera commode tout à l'heure d'admettre que les indices a2, ol^ peuvent prendre d'autres valeurs que celles-là, mais que, alors, les coefficients A}^^\g^^ sont nuls.

Le fait que le polynôme P„ est ainsi constitué résulterait d'ailleurs aisément des propriétés d'homogénéité de la fonction p(u; gi'i ffi)] îl nous suffit ici de le regarder comme un résultat d'induction : car la substitution de la valeur précédente de P^, dans le second membre de la relation de récurrence, montre bien que la loi se conserve pourP;,^!, et que dans ce polynôme le coefficient de

est le nombre A.'^^^^^l en posant

Alx'ltii - i'^n -h 2 - 4a2- 6a3) (2/i -+- 3 - 40^1-623) AJ^J^,, — (// -h 3 — -2x2— 3a3)(/i-i- 4 — 222— 3a3) ^S^IIol.-i n -f- 3 — 9. ao — 3 7.3

(2/1 -H 5- 4a2— Oaj) AyjLt,«,;

dans cette formule «a et as doivent être deux entiers positifs ou nuls qui vérifient la condition 2a2-h Sas^Ai + 2, et ceux des coefficients d'indice supérieur égal à n, pour lequel l'un des indices inférieurs est négatif, ou pour lequel la somme de deux fois le premier et de trois fois le second dépasse n-\-i doivent être regardés comme nuls. La relation précédente permet évidemment de calculer les coefficients du polynôme Vn^i quand on connaît ceux du polynôme P„5 elle permet même de calculer autant des coefficients que l'on voudra de P„ en laissant n indéterminé; ainsi elle

donne

A[,«Jt) = (2^^2)(2/i-t-3)Ai%,

et comme l'on a A.Jj*J, = 3 !, on en déduit de suite

Ai%=(2/n-i)!; on trouve aussi, pour n plus grand que i, 2, 3, 4> respectivement

X\-X n-f-i Ay, n-f-

M"o ^ (/i-f-i)(3/i — 8) Affl ^ (/i -4- 0(1 m — 36)

(2/1-+-I)!"" -2*. 3. 5* ' (in-hi)!"" 2*. 5. 7. II

413. Ayant ainsi formé les expressions de P<, P2, P3, •••, il suffira de résoudre les équations ainsi obtenues par rapport à^*, y^^y^i • • • pour avoir les expressions de ces puissances de pu en fonction linéaire de y et de P|, P2, P3, c'est-à-dire de pu et de ses dérivées d'ordre pair; on obtient ainsi

Sur ces formules, on lit immédiatement les valeurs des intégrales des puissances de pu. On trouvera dans le Tableau (CXI) ces valeurs pour les premières puissances de pu.

41 -i. Mais, quand l'exposant de la puissance de pu est un peu élevé, il vaut mieux calculer les expressions directement, sans passer par la résolution des équations du premier degré.

On y parvient facilement en formant la dérivée seconde de p" u par rapport à u; cette dérivée est

= 2/1(2/1 -4- 1)7«-^-» ^—- gty"-^- ''(/i — O^sr""*;

on a donc

•^ 2/1(2/1-1-1) dui 4(2/i-i-i;**-^ 2(2/i-M)^'-^ '

APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITION. Sq

et il est clair que cette formule permettra d'obtenir l'expression linéaire de y""*"* au moyen de y et de ses dérivées, si l'on connaît de pareilles expressions pour j'""^, y^"^^ y^* Le calcul se fera simplement en supposant

v« — RI'*) — \- -+- R^'*' 2—— -A-

•^ "" ^ (2/1 — 1)! rfa««-« ^'"^^r (2^2r — I)! rfa««-»'-«

les coefficients B^"^ étant des polynômes en g^y gz- En substituant dans le second membre de l'équation précédente, on obtient la relation

B(«+i) = {in-ir){in-ir^i) g^„,

4(2/l-Hl) '^ » o» 2(2/l-hl) '^ » °

Dans cette formule onpeutdonner à ries valeurs o, i, 2, ...,/i + i, si l'on convient que les coefficients BJ.''^ dans lesquels l'indice inférieur est négatif ou est plus grand que l'indice supérieur, doivent être regardés comme nuls. Elle permet d'obtenir autant de termes BJ."* que l'on veut. BJ,"^ est égal à 1 , B*"' à o, pour tout entier positif n,

415. Si l'on veut fractionner encore les calculs, on constatera, sur les valeurs trouvées, que B^"^ peut être mis sous la forme

^Ba.îa.'fî-'S'?''

ia„a.)

OÙ les nombres entiers ao, as, positifs ou nuls, satisfont à la condition 2a2-f- Sas = 'S et où les coefficients purement numériques Bajotj se déterminent par la relation récurrente

Dans cette relation, on donnera à a2, as toutes les valeurs entières positives ou nulles qui vérifient la condition 2a2-|- Sas^/i + i.

6o CALCUL INTÉGRAL.

en regardaDt comme nuls les coefficients pour lesquels un indice inférieur est négatif ou pour lesquels la somme des deux indices inférieurs, respectivement multipliés par 2 et par 3, est plus grande que l'indice supérieur.

Cette relation de récurrence permet de calculer l'expression générale d'autant de coefficients B^'^Ja, ^"^ ^'^^ veut; pour tout entier positif Al, BJ^'^Jj est égal à i ; pour n plus grand que 2, 3, 4, 5, on a respectivement

*'»''>" •lî.o' *^«'»"22.7' "*'°" 25.3.5*' ^•*" 2*.5.7.ii

416. Aux expressions qui donnent les dérivées p^"^(w) au moyen de pu et de p'w, il convient de joindre les expressions qui donnent, au moyen de j)w, pa, p'w, p'«, les dérivées p^''^(w — a), prises par rapport à w, de la fonction p{ii — a).

La formule d'addition (VII3) peut s'écrire

plu — a) — pu = — -' — ^f- î^— — — - — ^^- —

^^ ^ * 2 {pu — paY

ou encore, en permutant les lettres u et a et en désignant par j^ la fonction pu^ par j^^"^ sa dérivée /i'^™*' prise par rapport à w, et parc, c^'^^ ce que deviennentj^, ^^"^ quand on y remplace u para,

Le second membre de cette formule peut s'écrire

' y-0^ ^y-c)^^ {y^c)^y^ où Ton a

AS)0'=C, A'^^rr-, A^,0'=— , B^jO)=£.'.

On voit, par induction, qu'on doit avoir en général

A(/l) \(rt) KKn)

jv'»'(î/ — a)= AS,«'-H

y — c (r — cj* *'* ' (^ — c)"-^* (y — c)i (y-cp ' •••"^ (j c;«-^»J -^^

APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITION. 6l

et la démonstration même fournil les formules de récurrence

\in^l)=: 2(2v -4- l) Bi:^.',— I2CV B^^'j— c''(2V — l) B^'"— c'«(v — l) B!,^,,

qui s'appliquent pour v = o, i, 2, ..., /i-|-3, si Ton regarde comme nulles les quantités B dont Tindice inférieur est plus petit que 2 ou plus grand que l'indice supérieur augmenté de a. Ces formules permettent de calculer les coefficients A^"^ et B^"' pour chacun des indices n.