Les relations

- p(«>(a - a) -+- - pi«)(— ii — a) = Ai«>-h ^ h. . .-r- , "^l , ,

que l'on déduit des précédentes et de celles qui en résultent par le changement de i^ en — w, donnent immédiatement, par intégration, les formules du Tableau (CXII), qui permettent de calculer facilement, pour un entier positif quelconque n, les valeurs de l'intégrale

Les calculs sont effectués pour les premières valeurs de n.

418. Quand a est égal à coa? les relations précédentes se simplifient parce que c' est nul; on a alors

X 4(0) i->'A',<>'«« OfAi^)]!

p (M — (Oa) = 2A\0)-f- ! ^ -h — ' î— ^:> • • •

y — e:t {y — eoL)^

en supposant A*,"^ égal à Se, — ^ = (<?a — ^p) (^a — ^y)-

Dans le Tableau (GXll), le calcul des valeurs de l'intégrale / 7 ZZ — V» ^^' effectué pour les premières valeurs de n.

IV. — Développements en séries entières des fonctions £, sn,cn,dn. — Expressions linéaires des dérivées des fonctions (» sn, cd, dn au moyen des puissances de ces fonctions. — Expressions linéaires des puissances des fonctions ^, sn, en, dn au moyen des dérivées de ces fonctions.

419. Connaissanl le développement de j3 u suivant les puissances ascendantes de u, il n'j a aucune difficulté à calculer autant de termes que Ton veut dans le développement des fonctions Çoa"> iao'^j ipyW, qui sont des fonctions algébriques simples Ae pu] on n^a qu^à appliquer les propositions établies dans Tlntroduction. Nous nous contenterons de donner quelques explications à propos de la fonction

sn u = y/ci — Ci i;o3 ( , = — . •

D'après la relation d'homogénéité (VIII3), on a

^2. sA =(«1 — e3)p(w; ^ïî ^3)»

en posant, pour abréger,

en se reportant aux formules (XXXVIgj»), (XXXVII|j2)> on a d'ailleurs les relations

la relation entre les fonctions sn et p peut donc s'écrire

sn u =

En utilisanl le développement de pu et en tenant compte des

valeurs de g'^y g'^, on trouve

puis

on n'a plus, pour trouver le développement cherché, qu'à appliquer la formule du binôme : on trouvera dans le Tableau (XCVI) les premiers termes de ce développement.

Les polynômes en A*- qui figurent dans le développement de sn u comme coefficients des puissances de u sont réciproques; cette circonstance résulte de ce qu'il en est manifestement ainsi dans le développement de

à cause des valeurs de g'.^ et de g'^, La considération de ce développement permet aussi de reconnaître aisément le degré de ces polynômes : le coefficient de w^/ï+ï est de degré n en A^.

420. Il va sans dire que l'on obtient de la même façon les développements de cnu et de dnw; on en trouvera les premiers termes dans le Tableau (XCVI). On peut aussi les déduire du développement de snu par les formules

cil u = [ï — sn^zij*, dnu = [1 — A* sn*z/]* ;

enfin, on remarquera qu'il suffit d'avoir le développement de l'une des fonctions cnu, dnu pour avoir aisément le développement de Tautre, comme il résulte des formules de transformation relatives au cas 3** des Tableaux (LXXXs^e)? où l'on peut supposer que le nombre c est un multiple de 4 et qui donnent alors

Les mêmes Tableaux donnent la relation

,n(«,L)=-tsn(j, >t),

qui, jointe à ce que le coefficienl de w^""*"' est un polynôme en k^ de degré /i, met aussi en évidence la réciprocité de ce polynôme.

421. D'autres méthodes que nous allons indiquer sommairement permettent de retrouver ces résultats et quelques autres.

Les équations différentielles que vérifient les fonctions Ç, sn, en, dn sont toutes de la forme

OÙ a^ 6, c sont, suivant les cas, des fonctions connues de €t , e2> e^ ou de A'^; les conséquences qu'on peut tirer de ces équations sont toutes pareilles à celles que l'on a déduites de Téquation différentielle que vérifie pu, et les détails que nous avons donnés à ce sujet nous permettent d'être maintenant plus brefs.

Les dérivées d'ordre pair an de toute fonction y^ qui vérifie une équation différentielle de la forme

sont des polynômes en y^ de degré 2/i + i, ne contenant que les puissances impaires de y. On a, en effet, en posant

rf*'* y

et en admettant que Q,i soit un polynôme en y satisfaisant aux conditions énoncées, dont les dérivées par rapport à y sont Q)^ et QJ'^, la relation

Si l'on pose

on trouve

\(n^\)= 2r(2r — i) a Aj.^), -+- (ar + i)ï6 A</»î-+- (ar h- 2) {ir 4- 3)c Ai«>, .

Cette égalité permet de calculer les quantités A^"' puisque Ton connaît A j**= 2a, AJj*^ = 6; r doit y prendre les valeurs o, 1,

2, . . . , n + I ; lorsque dans le second membre un indice inférieur est négatif ou plus grand que l'indice supérieur, la quantité AJ."' correspondante est nulle.

On trouvera dans le Tableau (XCVIII) les résultais ainsi obtenus pour les premières valeurs de r.

422. Si l'on veut fractionner les calculs davantage, on observera, sur les premières valeurs calculées, que A^"^ est un polynôme entier en a, 6, c homogène, à coefficients entiers et positifs, de degré n si l'on regarde a, h, c comme du premier degré, de degré n — r si l'on regarde a, 6, c comme étant respectivement des degrés o, I, 2; on peut donc poser, si celte loi est générale,

(a) A^;'J = V \ir^a^yb^-''-iycy,

les AJf'y élan t des coefficients purement numériques ; r peut prendre les valeurs o, i, 2, ..., /i; r étant choisi, v doit prendre les valeurs o, I, 2, ... jusqu'à ou > suivant que n — r

est pair ou impair. La généralité de la loi se démontre par induction et l'on parvient en même temps à la formule

AJ.^^ »> = 2r(2r — I) AJ.^, .^-f- (ar + i)» AJ«^ -h (2r -+- 2) (2/- -f- 3) Ai.':^,,^^, ;

r ajant été choisi parmi les nombres o, i, 2, . . ., w -f- i,

Y doit prendre les valeurs depuis o jusqu'à ou ,

suivant que n — /* est pair ou impair; d'ailleurs, dans le second membre, ceux des coefficients où le premier indice inférieur est plus grand que /i, ceux où le second indice inférieur est plus grand

que sont nuls, ainsi que ceux dont un indice inférieur est

négatif. Tous les nombres AJ.'^^ sont entiers et positifs.

Observons que la relation que nous venons d'établir donne, en particulier,

A;?AVo = (^'i -M)(2n -i- 2) k%, Ai^Ji' = Ai%, d^où l'on déduit sans peine

T. et M. - III. 5

Les calculs se font assez rapidement, et Ton observe avec un peu d'attention que l'on a (')

i(ni —5 -+-9.3*"— 5.5*"-+- 75" ..... li — uS.aï^-hao.S*"— 7.7*'»-f-92«

423. Si la fonction y est impaire et s'annule pour w = o, comme ioa('^) ou Sïi{u), on a, dans le voisinage de u = o,

en désignant par J'ot y'oyyj'^ ... les valeurs pour u = 0 des dérivées d'ordre impair; on a d'ailleurs

du*»+^ du ^" du'

vX il est clair que, pour // = o, Q^, se réduit à AJ('' et ^ à y/c; on peut donc écrire

*^ Li " i.'2.3 " I. Si. 3.4.3 "(2/1-4-1)! J

par exemple, pour y = ;oa(«^), on a a — {e^ — e^) {col— e^)^

0 = 3ea, c = I ; pour y ^= sn//, on a a =: A-, 6 = — (1 -h Â'2),

c= I ; on aura donc le développement de $oa('^) et celui de snw.

Pour cette dernière fonction, les quantités A'J" sont des poljr-

(') Dans sa Thèse {Annales de V École Normale supérieure, 2* série, t. VI, p. 365), M. D. André a montré que, quand on se donne arbitrairement /* et y* les quantités k\l^i sont des fonctions de n définies par la relation

OÙ 9?„(/i), $,(/i), ..., ^JPrC'O sont des polynômes en n, de degré y, à coefficienls rationnels, qu'il reste à calculer, tandis que pour chacun des indices t > /•, ^^{n) est un polynôme en n de degré y — t -\- r.

Ce résultat est déduit de recherches fort intéressantes qui ont permis à M. D. André d'établir l'équaiion génératrice 1res simple de la série récurrente dont Aj.'y est le terme général.

nomes en A'-, de degré n en A'2, comme il résulte évidemment de la formule (a), qui s'écrit alors

il est manifeste, sur cette formule, que ces poljnomes sont réciproques.

424. Si y est une fonction paire et prenant pour w = o la valeur I, comme ^^y^, en a, dn;/, on a, dans le voisinage de u == o,

«n désignant par QijQa, --mQ/o •••ce que deviennent, pour j* = I, les fonctions Qi, Qa, . • ., Qw, ... ; on a, en général,

Q„ = A(^'')^-A(«) -+-... 4- A^,f; si Ton se place, par exemple, dans le cas de cnu, on trouve

A'/»> == 2 ^'" 0'^^Ar?Y^*^'"*"^K2A:2— i)'*-'-2Y(i — A'»)Y. (Y)

Dans ce cas, les polynômes A^"' sont, en A^, de degré maximum

€gal à /i ; il en est de même de Q/i ; dans ce dernier polynôme, le terme indépendant de A^ est i; danslasommeAo''^-}-A^^''^-f-...-i-A^J", il n'y a, en effet, que l'élément A'"' qui contienne un terme indépendant de A*, terme qui n'est autre chose que AqJJj. Dans ce même polynôme Q^, le terme en A'^" fait défaut, cela tient à ce que l'on aicia-h6 + c = o, ia-\- b ^^ — i; en sorte que l'expression générale Q^ (o^* -h by- -h c) + Q« (a^r^ + At) ^^ Q«+, , quand on y remplace j^ par i, se réduit à — Q)^, en désignant par

Q), ce que devient la dérivée de Q/i prise par rapport à y après qu'on y a fait j^= i ; comme Q,i ne peut contenir A^ qu'au degré /î,

il est clair qu'il en sera de même de Q«+i ; par suite, Q« est un polynôme du degré /i — i par rapport à A"^.

42o. En résolvant par rapport aux puissances dey les expressions des dérivées d'ordre pair de la fonction y^ on voit que les puis-

sances impaires àe y s'expriment linéairement en fonction Ae y et de ses dérivées d'ordre pair; j^^w+i contiendra les dérivées jusqu'à Tordre a/i; mais il est plus commode de calculer directement les expressions de ces puissances, qui sont utiles dans le calcul intégral; du même coup, on montrera que les puissances d'ordre pair s'expriment linéairement au moyen de y'^ et de ses dérivées. On a, en effet,

et il est manifeste que si l'on a exprimé y" et^""* en fonction linéaire dey et de ses dérivées dans le cas où n est impair, en fonction linéaire dey^ et de ses dérivées dans le cas où n est pair, on obtiendra par cette formule une pareille expression pour y""^^.

426. Si l'on veut fractionner les calculs, on procédera comme il suit.

Pour le cas des puissances impaires, remplaçons dans l'égalité précédente n par 2/i — i, et posons

rftn y ffm—lrY

nV /ziv*'»-^-» — B-/*' — - -^ -+- B^"^ - — -+■ . -J- B'^^'v

on trouvera aisément la relation

Bf«>=BJ«-i; — (2/i — i;«^>B^/L-i»>—(2/i — 2)«(2n — 3)(2/i — i)acB;«-;«',

qui, jointe aux relations BJ,"^=i, BJj*^=i, B^/'= — 6, permet de calculer facilement les quantités B^"'. L'indice r doit prendre les valeurs o, i, 2, . . ., /i; dans le second membre celles des quantités BJ."' pour lesquelles l'indice inférieur est négatif, ou plus grand que l'indice supérieur, doivent être regardées comme nulles. Il est clair que B'J" est toujours égal à i ; les quantités B^"' sont des polynômes entiers en b et en ac à coefficients entiers. On trouvera dans le Tableau (CXIII) les expressions de ces polynômes, pour les premières valeurs de /i.

427. Si Ton veut fractionner le calcul davantage, on observera, sur les premières valeurs de ces polynômes, qu'ils sont homogènes et du degré r en 6 et en ac, quand on regarde b comme du pre-

mier degré et ac comme du second. On est ainsi conduit à poser

les coefficients B)'Ç étant purement numériques.

L'indice r étant choisi parmi les nombres o, i, 2, ..., /i, Tindiccy

doit prendre les valeurs o, i, 2, . . ., - ou • > selon que /• est

pair ou impair. La généralité de cette supposition apparaît immédiatement et l'on trouve du même coup la relation

B(.^==B;.y«)-(9.n-i)«BÎ.'Li;^-(2/i~2)M2/2-3)(2/i-i)B;,r,fj,.

Pour ce qui concerne sn^^, on reconnaît immédiatement que les poljnomes BJ."^, regardés comme des fonctions de A'^, sont réciproques.