LETTRE DE CH. HERMITE A M. JULES TAMNERY

(le la somme ne change pas quand on remplace p par un nombre qui lui soit congru (mod.6) et qui, par suite, est de la même parité; d'ailleurs, quand p prend les valeurs o, i, 51. ..., b — i, p — J 6 prend un système

iit/i

<le h valeurs incongrues (mod. 6), et, puisque la somme ^6 ^ ne dépend pas du système de b valeurs incongrues que parcourt r, on voit de suite que l'on a

On n'a alors, en supposant b = 9^*61, ô| impair, qu'à appliquer les règles précédentes et, en outre, quand h est pair, la formule bien connue dans les éléments de la théorie des nombres

pour trouver les résultats suivants, dont le lecteur constatera sans peine l'identité avec ceux que Ch. Hermite a donnés dans son Mémoire et qui seront rappelés dans sa Lettre.

Si h est impair, on a

'■« / V / \ /'rt

s = /6e-T (^) = /6 {^) er^""-'\ si a = i(mod. 1 ;;

S = /Âe * (—. — j, sia = — i(mod.4). Si h est pair, on a

lie j / V

s = /Ze* ( —7 — j 9 si a s — i(mod. 4).

Il reste enfîn à évaluer la somme S quand b est impair. Ayant déterminé les entiers m et n tels que l'on ait a = mb — 8 /i, et remplaçant a par celte valeur dans l'expression de S, on trouve sans peine

— "'"^i V^ *"^^ ri tfiTti __ mizi

S = e *~ y] ^ '' '^ =« ~o{.in,b) = e ^ o(n,b),

puisque n est premier au nombre impair b. On n'a plus qu'à remplacer <p(/t, b) par sa valeur.