LKTTRE DE CH. HERMITE A M. JULES TANNERY

on aura donc

/ c -^ fi'z\ ^ \ a -f- 6 T / "~

Dans cette égalité, a, 6, c, <i désignent des entiers assujettis à la condition ad — ic = i ; je fais la supposition qu'ils appartiennent an premier cas (p. .{) ('), où b et c sont pairs, rt et rf impairs, et je ferai

nous aurons ainsi

et, comme nous conservons la condition ad — ù'c =^ i, la question se trouve ramenée à celle qui concerne la transformation de la fonction 6a,p((^). Dans l'article cité tout à l'heure, j'ai obtenu les résultats suivants, dont je vais faire usage.

Soit en général, pour des valeurs quelconques de «, 6, c, rf,

Œi ~ «a -h ôp ~ ab, ^1 = ca -h d^ -^ cd, ^ (.ac a'->- î 6r aS ■+- 6rf8" -+- s abc a -h 1 abd S -t- a6»r)

puis, en supposant /> positif,

le signe de la racine carrée étant pris de manière que sa partie réelle soit positive. Nous avons l'égalité

et nous en concluons, pour i^ = o,

e,.?(oIx) = (S0„.3,(o|f^;).

(') Cas !«» du Tableau XX^.

T. et M. — IV. ao

La condition de b posilif peut toujours s'obtenir en changeant, comme il est permis, le signe des quatre entiers a, 6, c, d. Cela étant, la somme S s'exprime comme il suit, au moyen du symbole f T-j de la théorie des résidus quadratiques.

Supposons (en premier lieu) que b soit pair. Je ferai b^=2^bi^ ii étant impair, et l'on aura, suivant que l'exposant h est pair ou impair (*),

ou bien

En second lieu, supposons 6 impair; alors on pourra déterminer deux nombres entiers m et n par l'équation

a = mb — 8n, et l'on aura

s = ^M -^ 1 eT""-'-'"'*-"•-'^-""

-''Ki)

'-?l(fc-l)«-ïml

Je vais faire, en entrant dans tous les détails du calcul, l'application de ces formules aux quantités

Je supposerai qu'on ait

a^i, 6=so, c^o, d^^i (moil.!i).

Ce sera donc le premier des six cas qu'il faudra considérer; nous verrons bientôt que tous les autres s'en déduisent immédiatement. Soient d'abord a = o, ^ = i . Des deux nombres

ai = 6 -h abf

p, = É? -4- cd,

le premier est pair, et même multiple de 4, le second est impair. Ayant donc en général

OîO(,îp-^l(i'|'T:)=:(-l)^Oo,(p|T),

(*) Le Mcmoire du Journal de Liouville contient ici une faute d'im pression les mois pair et impair ont été transposés.