LETTRE DE CH. HKRMITE A M. JULES TANNERY

nous en concluons Fégalité

K,io\-.)^ts..%,.{o\l±^)

J'ajoute qu'on peut mettre sous une forme plus simple la quantité

qui entre dans la valeur du facteur

V^— ib{a -i- bx)

Des hypothèses faites sur les entiers a, 6, c, d résulte, en effet, la

congruence

bd -^ labd -\- ab^ c ^= — bd (mod. 8),

ce qui permet d'écrire

ô = tf *

bi nous passons ensuite a la quantité ^n i ( o n — 1* ou o =-

et c'= 2C remplacent 6 et c, a et rf ne changeant pas, on a

le premier de ces deux nombres est encore pair et le second impair, mais ol\ n'est pas nécessairement divisible par 4^ et, par conséquent, on a l'égalité

b'-^ab' / \ I . j \

où 5' représente ce que devient, dans ce second cas, le facteur G. Désignons aussi par 8' et S' les nouvelles valeurs de 5 et de S ; on aura

V^— ib'{a -h b' .'iz) c'est-à-dire

y — J ib{a -+- bi)

et nous en concluons

agB FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Je m'arrêterai à cette formule, et je remarquerai en premier lieu

que, en passant de S à S', le nombre b est remplacé par -• Il en

résulte que, a^^ant posé b=^i^bi^ l'exposant h varie de l'une à l'autre d'une unité. [Je supposerai d'abord A > i .] Cela étant, la comparaison des valeurs de S et de S' nous donne l'égalité

d'où résulte

Ceci posé, écrivons le facteur ( — i) * sous la forme e * ,

et employons l'expression de S', à savoir

^, -'-^{ù't/-hiab'fi-^ah'*c') -'-^iM-^iaM-^ab'n

on aura ainsi

^ j^ Ç/ '--[a'*-l-htù{i-¥-a)-lOd-tabd—ah*e]

Or on vérifie facilement la congruence suivante (A) 2b(t -h a) — ibd — iabd—ab^c^= — ab (mod. iG);

faisant, en effet, passer tous les termes dans un même membre et divisant par 6, qui est pair, elle peut s'écrire

2(1 — arf)-h3(a — </) — a6c £= o (mod. 8),

puis, d'après la condition ad — 6c = 1 ,

— 26c-f-3(a — d) — a(ad — i) = o (mod. 8);

mais 6 et c étant pairs et a impair, on a

nbc^i^o, a^ —- i (mod. 8;;

elle deviendra donc simplement

4(a — d) = o (mod. 8),

ce qui a lieu, en effet, a et (fêtant impairs. Nous avons, en conséquence,

ir --,,,^-ab-h

LETTRB DE Cil. UËUMITK A M. JULES TANNBRY. rîQO

Nous obtenons ensuite, au moyen de l'expression qui a été notre

point (le départ,

la relation fondamentale

- 'rt'— «/; — Il

[Lorsque l'exposant h est égal à i , 6| est égal à // et le calcul (le S' n'est plus le même; cependant la même relation subsiste toujours; on a, en effet, comme lorsque h était plus grand que 1, l'égalité