htl-k-tabd-^ah*t

et, à cause de la congruence (A), qui peut se mettre sous la forme M H- 'xabd -^ ab-c ^^. bda -\- 1 -- 'id) (mod. 16),

on peut encore écrire, en remplaçant b par 26',

ô' ~{Za \-i-td)b-

mais ici, pour calcuhîr S', on doit commencer par déterminer les entiers m et /i, tels que l'on ait

a = mb' — 8/1, et l'on a alors

En tenant compte enfin des relations

on en conclut

OÙ

M =2{Za-\-9. — 'xd)b'—im —2 — 'Hab'-^ i)* -+- A'»— i-h 46'(a -f- 1);

en réduisant on trouve

à cause de la relation ad — 6c = i , où 6 et c sont pairs, on voit

que les nombres impairs a et rf sont congrus (mod. 4)? en sorte

que Ton a

4(a — û?) = o (mod. i6);

les congruences

86'=- 8, a«-sm«6'«, /?i*6'* -- m» (mod. i6)

sont évidentes, et il en résulte que Ton a

or cette dernière expression est congrue (mod. i6) à

a' — xab' — I = rri^b'^ — 2m b'^ — i, puisque la différence

( j. — :im — i m^ -h b'^ ) — (m*b'* — 'imb'^— i)

est égale à

et que m et 6' sont impairs. La relation fondamentale (I) est donc établie quels que soient les nombres pairs b ei c]

On en lire les deux systèmes de formules concernant les fonctions cp(T) et ^{1) pour tous les cas que présentent les entiers a, 6, c, rf, pris selon le module u. Ces cas sont indiques dans le Tableau suivant, que j'ai donné dans mon article Sur risquation du cinquième degré (' ) :

(') Voir la Noie 1 de la page 63 du Tome 1[. Les cas II cl V de Hermite correspondenl aux cas que nous avons désignes par 5° el 2".

LETTRE DE Cil. IIERMITE A M. JULES TANNBRY.

Soi

Kn premier lien, je change, dans Inéquation (I), t en A, c, d en />, — r/, rf, — c; on trouve ainsi ( ' )

- et«,

Dans la même équation, je remplace ensuite t par t — i , a Ql c par a -r h et c + rf; il vient

•— ia^-hab- i) e *

Passant à Téquation (Il ), je change t en t -h i . « et c en « r — ciy ce qui donne

— ù cl